Калькулятор удельной теплоёмкости

Q = m · c · ΔT (равносильно c = Q / (m · ΔT), m = Q / (c · ΔT), ΔT = Q / (m · c))

Q

Количество теплоты, подведённое к материалу, в килоджоулях. Оно может быть отрицательным, и отрицательное значение — не ошибка: это значит, что теплота ушла от материала, а так и происходит каждый раз, когда что-нибудь остывает. Калькулятор держит этот смысл до конца: случай охлаждения даёт отрицательные Q и ΔT и положительные массу и удельную теплоёмкость — ровно как говорит физика. Килоджоули, а не джоули, потому что бытовые случаи попадают в сотни: нагрев двух литров воды на 50 градусов берёт около 419 кДж, и печатать это как 418 600 Дж не помогает никому

m

Масса материала в килограммах. Она не может быть нулевой или отрицательной, и это свойство уравнения, а не придуманное калькулятором правило: и m, и c, когда их ищут, стоят в знаменателе, поэтому нулевая масса попросила бы делить на ноль. Физическое чтение то же: у вещи без массы нет теплоёмкости, значит, и решать нечего. Масса — самая скучная из четырёх величин, но именно на ней чаще всего отказывает интуиция, потому что теплоёмкость растёт с ней линейно: вдвое больше воды — вдвое больше энергии на тот же подъём температуры, и поэтому полный чайник закипает куда дольше, чем наполовину полный

c

Удельная теплоёмкость: энергия, нужная, чтобы поднять один килограмм материала на один кельвин, в кДж/(кг·К). Это то число, которое делает материал материалом, и причина, по которой металлическая ложка в кипятке становится непригодной, а сама вода при этом всего лишь горячая. У воды оно знаменито велико — 4,186, примерно в десять раз больше, чем у железа, и в пять раз больше, чем у стекла, — поэтому воду и используют, чтобы переносить тепло, и поэтому морской берег смягчает погоду вглубь материка. В справочниках эти значения обычно печатают в Дж/(кг·К), и вода там выглядит как 4186; таблица ниже приведена в кДж/(кг·К), чтобы совпадать с полем, и это одно и то же число

ΔT

Изменение температуры в градусах Цельсия — и, поскольку это изменение, а не температура, градус Цельсия и кельвин здесь одного размера, так что шкалы взаимозаменяемы. Оно может быть отрицательным: остудить что-то на 30 градусов — это ΔT = −30, и энергия тогда выходит отрицательной, а это и есть верное утверждение, что теплота была отведена. И именно в этом поле живёт самая частая ошибка — вписать конечную температуру вместо разности. Переход с 20 °C на 80 °C — это ΔT = 60, а не 80 и не 20

любые три из четырёх

Страница не спрашивает, какую величину вы ищете: она определяет, какое поле осталось пустым, и находит его. Оставить заполненными все четыре тоже можно, и тогда она делает нечто более полезное, чем решение, — сверяет четыре величины друг с другом, так что неверно переписанное из справочника число всплывает как расхождение, а не растворяется молча. Оставьте пустыми два поля — и страница скажет об этом вместо того, чтобы угадывать: нет никакого правила, которое указывало бы, какую из двух недостающих величин вы имели в виду

Пользуйтесь этим всюду, где сходятся энергия и температура: при подборе водонагревателя или теплового насоса, при оценке того, за сколько закипит кастрюля, при проверке того, правдоподобна ли заявленная мощность нагрева для той массы, которую обещают нагреть, и при определении того, из какого металла сделана безымянная деталь, — по тому, сколько теплоты нужно, чтобы её прогреть. Кухня — это тот же расчёт: чугунная сковорода держит тепло, а тонкая алюминиевая нет. Беритесь за него, когда вопрос стоит об изменении температуры. Для фазового перехода он не годится: плавление льда и кипение воды требуют энергии при постоянной температуре, чего это уравнение не выражает вовсе, и это самый частый способ получить уверенно неверный ответ из Q = m · c · ΔT.

1. Первый экран: 2 кг воды, на 50 градусов

   1. Q = m · c · ΔT = 2 · 4,186 · 50
   2. 2 · 4,186 = 8,372 кДж на кельвин
   3. 8,372 · 50 = 418,6 кДж

   418,6 кДж — это около 116 Вт·ч, то есть десятая часть киловатт-часа: полезный образ, чтобы помнить, потому что он говорит, что нагрев воды электричеством занимает время и никакая инженерия этого не отменяет. Два литра (2 кг) воды, поднявшиеся на 50 градусов, — обычная задача размером с чайник, и она стоит около 419 кДж; та же энергия подняла бы примерно 9 кг алюминия на те же 50 градусов, потому что удельная теплоёмкость алюминия меньше четверти воды. Панель печатает все четыре строки, хотя пустой была только одна, — так вы проверяете, что три введённых числа прочитаны именно так, как вы имели в виду.

2. Ищем массу: 900 кДж в железо

   1. m = Q / (c · ΔT)
   2. c · ΔT = 0,45 · 20 = 9 кДж на килограмм
   3. 900 / 9 = 100 кг

   Железный брусок массой с человека, прогретый на 20 градусов, за 900 кДж. Поставьте это рядом с примером выше: те же 900 кДж сдвинули бы 2 кг воды больше чем на 100 градусов, а 100 кг железа едва шевелят. Этот контраст и есть причина, по которой удельная теплоёмкость вообще носит имя: сравнивать материалы по их отклику на одну и ту же энергию — ровно то, что делает это уравнение, когда масса и ΔT известны.

3. Охлаждение, где знаки уходят в минус: медь остывает на 30 градусов

   1. Q = 0,5 · 0,385 · (−30)
   2. 0,5 · 0,385 = 0,1925 кДж на кельвин
   3. 0,1925 · (−30) = −5,78 кДж

   Полкилограмма меди, остывая на 30 градусов, отдаёт 5,78 кДж. Минус здесь и есть смысл примера: теплота уходит, и калькулятор об этом говорит, а не возвращает тихо модуль, как было бы, если бы знак считался ошибкой. Два минуса — тот, что вы ввели в ΔT, и тот, что вернулся в Q, — заодно дают полезную проверку направления задачи: если вы описывали нагрев, а энергия вышла отрицательной, значит, у одного из введённых значений знак не тот.

4. Ищем c: что это за металл?

   1. c = Q / (m · ΔT)
   2. m · ΔT = 2 · 100 = 200 кг·К
   3. 179,4 / 200 = 0,897 кДж/(кг·К)

   Это направление того же уравнения — измерение, и именно так удельную теплоёмкость и измеряют впервые: подводят известное количество теплоты к известной массе, измеряют подъём температуры и делят. Ответ здесь 0,897 кДж/(кг·К), а это алюминий: он есть в таблице ниже, и значение, попавшее между двумя строками, — это способ отличить чистый образец от сплава. На практике измерение труднее деления, потому что теплота утекает в комнату, — поэтому и существуют справочные таблицы, и поэтому страница скорее предложит посмотреть значение, чем измерять его.

Уравнение предполагает отсутствие фазового перехода, и на кухне это допущение отказывает громко: плавление килограмма льда берёт 334 кДж, а кипение килограмма воды — 2 257 кДж, оба при постоянной температуре, и ни одного из этих чисел в Q = m · c · ΔT нет. Если ваша задача пересекает 0 °C или 100 °C, вам нужна ещё и удельная теплота фазового перехода, а страница вроде этой выдаст неверный ответ без предупреждения. Она же обращается с c как с постоянной, а он не постоянен: удельная теплоёмкость материала меняется с температурой (у воды она растёт примерно с 4,18 при 20 °C до 4,22 у кипения), поэтому справочное значение — это среднее по интересующему вас диапазону, и применять его на размахе в 500 градусов означает экстраполяцию. Табличные числа зависят и от давления, а для газов различие между cp и cv — это множитель около 1,4 для воздуха: здешние 1,005 — это cp, значение при постоянном давлении, и применять его к газу в закрытом жёстком сосуде было бы ошибкой. И наконец, сама модель: Q = m · c · ΔT описывает тело при одной температуре, а у реальных предметов внутри есть градиенты, и они всё это время теряют теплоту в окружающее. Возвращённое значение — это энергия, которая вошла в материал, а не та, за которую вы заплатили: изоляция, время прогрева и КПД остаются за пределами уравнения.

Какова формула удельной теплоёмкости?

Q = m · c · ΔT: количество теплоты равно массе, умноженной на удельную теплоёмкость и на изменение температуры. В перестроенном виде она даёт c = Q / (m · ΔT) для удельной теплоёмкости, m = Q / (c · ΔT) для массы и ΔT = Q / (m · c) для изменения температуры. Все четыре записи — одно утверждение об одних и тех же четырёх величинах, поэтому калькулятор и берёт те три, что у вас есть, а возвращает четвёртую. Единица c видна из перестроенной формы: килоджоули, делённые на килограммы, умноженные на кельвин.

Почему теплоёмкость воды так велика и что это меняет?

Значение 4,186 кДж/(кг·К) примерно в десять раз больше, чем у железа, и в пять раз больше, чем у стекла, потому что молекула воды умеет запасать энергию сразу несколькими способами: перестраиваются связи между молекулами, а не только движутся сами молекулы. Практические следствия: вода долго нагревается и долго остывает, поэтому её и используют, чтобы разносить тепло по зданию, и поэтому кастрюля с водой закипает последней; большие водоёмы смягчают климат соседней суши; а человек в основном состоит из воды, и это часть того, почему температура при болезни поднимается часами и спадает тоже часами.

Почему получилось отрицательное число?

Потому что теплота уходит, и арифметика не умеет сказать это иначе. Отрицательное изменение температуры (охлаждение), умноженное через уравнение, даёт отрицательное количество теплоты, и это верный ответ, а не ошибка. Именно поэтому на входе разрешены оба знака: страница была бы бесполезна для половины своих применений, если бы охлаждение приходилось вводить положительным числом. Запрещены только ноль и минус у массы и удельной теплоёмкости — потому что уравнение делит на них.

Можно оставить два поля пустыми?

Нет. Три из четырёх величин должны быть известны — в уравнении четыре неизвестных и одна связь, поэтому оно способно закрепить не более одного неизвестного. Оставить два пустыми не так однозначно, как кажется: нет правила, которое говорило бы, какую из двух вы имели в виду пропустить, и сразу несколько ответов были бы согласованы с теми двумя числами, что вы всё-таки дали. Страница скажет, что ввод неполон, вместо того чтобы выбирать за вас.

А если заполнить все четыре?

Тогда она не решает, а сверяет. Всё, что вы оставили пустым, находится; когда пустого нет, все четыре сравниваются друг с другом, и при несовпадении страница сообщает о расхождении. Эта проверка не для красоты: удельная теплоёмкость, переписанная не из той строки справочника, или конечная температура, введённая там, где нужна разность температур, дают четыре числа, которые выглядят нормально и противоречат друг другу, — и это единственное место, где противоречие становится видимым.

Удельная теплоёмкость материала постоянна?

Нет, а таблицы всегда дают на материал всего одно значение. Удельная теплоёмкость меняется с температурой — у воды она растёт примерно на процент между комнатной и кипением — и с давлением, а для газов зависит ещё и от того, что держат постоянным, давление или объём (у воздуха cp равно 1,005, а cv равно 0,718, отношение 1,4). Единственное число в справочнике — это представительное значение при обычных условиях. На умеренном диапазоне температур оно верно в пределах нескольких процентов; на диапазоне масштаба печи это экстраполяция, и ответ получается лучшей оценкой, чем кажется, но не измерением.

• 14.2 Temperature change and heat capacity — the equation with its definition, a table of representative specific heats, and worked examples — OpenStax (Rice University)
• Specific heat of common materials — the reference values this page's table is drawn against (water, air, aluminium, copper, iron and more) — The Engineering ToolBox