Калькулятор идеального газа

pV = nRT, перестроенное относительно той из четырёх величин, которую вы оставили пустой

p

Абсолютное давление, по умолчанию в килопаскалях, а паскали, бар, миллибары, гектопаскали, атмосферы, psi, миллиметры ртутного столба, торр и дюймы ртутного столба лежат в том же поле. Это абсолютное давление, а не избыточное: манометр показывает разницу с окружающим воздухом, поэтому его 200 кПа на автомобильной шине — это примерно 300 кПа той величины, которая нужна уравнению. Килопаскали взяты базовой единицей по причине, которую стоит знать: один литр-килопаскаль равен ровно одному джоулю, поэтому газовая постоянная равна 8,31446 и в J/(mol·K), и в L·kPa/(mol·K), а литр в паре с килопаскалем — это то сочетание, которое даёт привычные 8,314 за одно умножение

V

Объём, который занимает газ, в литрах, а миллилитры, кубические метры, кубические сантиметры, кубические футы, кубические дюймы и американские галлоны лежат в том же поле. Литр взят базовой единицей потому, что он образует пару с килопаскалем, как описано выше. Ноль принимается и является настоящим ответом, а не ошибкой: без объёма уравнению нечего описывать, и страница сообщает давление как неопределённое вместо того, чтобы выдумать для него число. Отрицательные объёмы отвергаются, потому что газ не может занимать меньше, чем ничего

n

Количество газа в молях, а миллимоли и киломоли можно выбрать в том же поле. Моль — это счёт, а не масса: 6,02214076 × 10²³ частиц, поэтому один моль азота весит около 28 граммов, один моль гелия — около 4, и оба занимают одни и те же 22,414 литра при одинаковых условиях. В этом и смысл считать частицы, а не взвешивать их, и поэтому именно это поле связывает уравнение с химией. Если у вас масса в граммах, а не количество молей, сначала разделите её на молярную массу

T

Абсолютная температура в градусах Цельсия, градусах Фаренгейта или кельвинах. Внутри арифметики работает только кельвин, и причина здесь физическая, а не договорная: уравнение говорит о том, как сильно частицы бьют в стенки, а ноль шкалы Кельвина — это место, где такое движение останавливается. Поэтому удвоение 20 °C до 40 °C не удваивает давление: оно идёт с 293 K до 313 K, и давление растёт примерно на 7 %. Поле переводит то, что вы набрали, и отвергает сам абсолютный ноль, потому что при −273,15 °C уравнение предсказывает объём, равный нулю, и этим сообщает, что перестало описывать что-либо реальное

R

Универсальная газовая постоянная, 8,314462618 J/(mol·K), она же 8,314 L·kPa/(mol·K) — то же самое число, потому что литр-килопаскаль равен джоулю. В других единицах давления она перестаёт быть 8,314, и первая таблица ниже перечисляет шесть таких значений, включая 0,08206, которое старые учебники печатают для литров и атмосфер. R измерена, а не определена: это постоянная Больцмана, умноженная на постоянную Авогадро, — иначе говоря, давление газа есть эффект отдельных частиц, посчитанный оптом

pV / nT

Четыре величины движутся не независимо, и полезнее всего читать уравнение как утверждение о паре отношений: pV, делённое на nT, — одно и то же число для любого газа при любых условиях, пока газ идеальный. Зафиксируйте это отношение, и всё остальное из него следует. Удвойте количество молей при неизменных температуре и давлении — объём удвоится; удвойте кельвины при неизменном объёме — удвоится давление; а нагрев закрытого сосуда с 20 °C до 40 °C поднимает давление на 7 %, а не на 100 %, потому что шкала начинается с абсолютного нуля, а не с точки замерзания воды

Пользуйтесь этой страницей для любой задачи о газе, где три из четырёх величин известны или нужны, а газ достаточно далёк от конденсации, чтобы уравнение идеального газа работало: это покрывает воздух, азот, кислород, углекислый газ и продукты сгорания при обычных комнатных и технологических температурах и при давлениях от грубого вакуума до нескольких атмосфер. Это то же уравнение, что и объединённый газовый закон, с одним отличием: объединённый газовый закон держит количество газа фиксированным и сравнивает два состояния, а эта страница считает количество величиной, которую можно найти, поэтому она отвечает и на вопросы вроде того, сколько молей осталось в баллоне. Первая таблица нужна по одной причине: газовая постоянная — единственное число в уравнении, которое люди берут неверно, и берут его неверно потому, что в одних единицах оно равно 8,314, а в других 0,08206. При 0 °C и одной атмосфере молярный объём газа равен 22,414 литра, и это число прямо выпадает из уравнения при количестве, равном одному молю, — поэтому оно и попало во вторую таблицу и в разобранные примеры ниже.

1. Значения по умолчанию: один моль при 0 °C в 22,414 литра

   1. Объём 22,414 л, температура 0 °C, количество 1 моль — давление оставлено пустым
   2. Переводим температуру в кельвины: 0 °C + 273,15 = 273,15 K
   3. Перестраиваем уравнение относительно той величины, которую оставили пустой: p = nRT / V
   4. p = (1 × 8,314 × 273,15) / 22,414 = 101,325 кПа
   5. Панель печатает 101,325 кПа, то есть одну стандартную атмосферу

   Это то состояние, вокруг которого откалибровано всё уравнение, и стоит увидеть, почему оно попадает ровно в одну атмосферу. Газовую постоянную не подбирали так, чтобы это сошлось, — её измерили; но моль большую часть двадцатого века определяли как количество вещества в 12 граммах углерода-12, а атмосферу — как фиксированное давление в 101325 паскалей. Закон идеального газа стоит между этими двумя определениями, а 22,414 литра на моль при 0 °C — наблюдаемое следствие: молярный объём газа, одинаковый для любого газа, который достаточно близок к идеальному. Поэтому же его приводит вторая таблица ниже и поэтому 22,4 — то число, которое большинство помнит со школы наполовину.

2. Два моля при 25 °C и одной атмосфере: какой объём они займут

   1. Давление 101,325 кПа, температура 25 °C, количество 2 моль — объём оставлен пустым
   2. Переводим температуру в кельвины: 25 + 273,15 = 298,15 K
   3. Перестраиваем уравнение относительно объёма: V = nRT / p
   4. V = (2 × 8,314 × 298,15) / 101,325 = 48,9308 л
   5. Панель печатает 48,9308 л, и строка объёма несёт четыре знака после запятой, потому что литр — крупная единица рядом с молем

   Здесь происходит сразу две вещи, и их стоит разделить. Переход от одного моля к двум удваивает объём, потому что при неизменных температуре и давлении количество и объём прямо пропорциональны: это закон Авогадро, то же уравнение с двумя замершими переменными. Переход от 0 °C к 25 °C делает меньше: с 273,15 K до 298,15 K — это множитель 1,092, поэтому объём вырастает на 9,2 %, а не на 25 %. Это работает шкала Кельвина, и именно эта арифметика ломается, когда кто-то вводит 25 в поле температуры и обращается с ними как с 25 градусами тепловой энергии. Результат равен 48,93 литра, что есть также 2 × 24,4654 — молярный объём при 25 °C из второй таблицы.

3. Один моль при 101,325 кПа в 22,414 литра: какая это температура

   1. Давление 101,325 кПа, объём 22,414 л, количество 1 моль — температура оставлена пустой
   2. Перестраиваем уравнение относительно температуры: T = pV / nR
   3. T = (101,325 × 22,414) / (1 × 8,314) = 273,15 K
   4. Переводим обратно в единицы поля: 273,15 K − 273,15 = 0,00 °C
   5. Панель печатает 0,00 °C, и это первый пример, посчитанный в обратную сторону

   Те же три числа, что в первом примере, но пропущено другое, и ответ возвращается как 0 °C с точностью до двух знаков. Такой круговой проход — самая дешёвая проверка того, что страница понята: любые два из четырёх перестроений согласуются между собой, а переводы в кельвины и обратно должны сократиться ровно, чтобы это получилось. В арифметике остаток не равен нулю — он равен 0,0004 °C — и печатается как 0,00 потому, что строка температуры округляется до двух знаков. Это артефакт округления при выводе, а не ошибка расчёта, и именно поэтому страница не печатает температуру −0,00.

4. Все четыре заполнены и согласуются

   1. Все четыре поля заполнены согласованным состоянием
   2. Решать нечего, поэтому страница четыре раза обращает уравнение — по одному разу на каждую величину — и сравнивает каждый результат с введённым числом
   3. Все четыре сходятся в пределах точности вывода, поэтому панель сообщает состояние, а не ошибку
   4. Измените любую из четырёх — и та же проверка не пройдёт: 102 кПа вместо 101,325 расходятся на 0,67 %, и страница об этом скажет

   Заполнить все четыре разрешено, и это самый быстрый способ проверить набор измерений, потому что страница не станет их усреднять и не выберет победителя: она сообщит о расхождении. Это важнее, чем звучит. Если вы измерили в сосуде давление, объём и температуру и вычислили количество молей из взятой из справочника газовой постоянной, интересен не результат, а то, согласуются ли четыре величины вообще, и страница, которая молча предпочла бы три из них, скрыла бы ровно то ошибочное допущение, которое вы пытались поймать. Заполнить только два поля не разрешено вовсе, и это то поведение, которое удивляет людей сильнее всего: pV = nRT — одно уравнение, поэтому два известных значения оставляют два неизвестных, и единственного ответа нет.

Закон идеального газа — приближение, и любой реальный газ от него отклоняется. Молекулы реального газа занимают объём, и это важно, когда они упакованы плотно, и притягиваются друг к другу, а это важно, когда они движутся медленно, поэтому уравнение хуже всего при высоком давлении и низкой температуре — то есть ровно там, где газы хранят и сжижают. Уравнение Ван-дер-Ваальса добавляет по члену на каждый из этих эффектов и обычно и есть следующий шаг. Воздух — смесь, а не чистый газ, хотя ниже нескольких атмосфер ведёт себя достаточно хорошо. Водяной пар — неудобный компонент: он конденсируется, поэтому влажный воздух перестаёт следовать уравнению, как только из него начинает выпадать вода, а давление, достаточное для сжижения любой части смеси, меняет количество газа, оставшегося в газовой фазе. Всё на этой странице — ещё и одно равновесное состояние, без учёта того, как быстро газ в него приходит.

Какова формула идеального газа?

pV = nRT: давление, умноженное на объём, равно количеству газа в молях, умноженному на газовую постоянную и на абсолютную температуру. Любая другая запись закона идеального газа — это то же утверждение, перестроенное иначе, и страница переписывает его ещё трижды, потому что нужное перестроение зависит от того, какое поле вы оставили пустым: p = nRT / V для давления, V = nRT / p для объёма, T = pV / nR для температуры и n = pV / RT для количества. Полезно читать это как предложение, а не как формулу: давление газа растёт с его количеством и с температурой и падает по мере того, как объём, в который его зажали, увеличивается. Постоянными на самом деле остаются два отношения в уравнении, поэтому pV / nT имеет одно и то же значение для любого газа при любых условиях.

Что такое универсальная газовая постоянная и какое значение брать?

Универсальная газовая постоянная равна 8,314462618 J/(mol·K), и она не круглая потому, что это измеренная постоянная природы: постоянная Больцмана, умноженная на постоянную Авогадро. Если давление у вас в килопаскалях, а объём в литрах, те же 8,314 работают без изменений, потому что один литр-килопаскаль равен ровно одному джоулю. Переведите давление в атмосферы — и она станет 0,08206; переведите объём в кубические метры, а давление в паскали — и она снова 8,314, поскольку это сочетание опять даёт джоули. Первая таблица на странице перечисляет шесть таких пар, и на неё стоит взглянуть, прежде чем копировать значение из учебника: скопировать 8,314 рядом с давлением в атмосферах — самый обычный способ получить ответ, который выглядит разумно и ошибается в сто раз.

Что такое молярный объём газа?

Это объём, который занимает один моль любого идеального газа при заданных условиях, и вторая таблица даёт его для четырёх наборов условий. При 0 °C и одной атмосфере это 22,414 литра; при 0 °C и 100 кПа — 22,711 литра; при 25 °C — 24,465 или 24,790 литра в зависимости от того, какое давление выбрать. Разница в 1,3 % между двумя строками для 0 °C не ошибка и не округление: у стандартного состояния есть два определения в обращении, одно основано на одной атмосфере, а более старое — на 100 кПа, и молярные объёмы следуют из того, какое из них взято. Поэтому в учебниках встречаются и 22,4, и 22,7 и поэтому стоит понимать, какое из них использует задача. Значение выпадает из уравнения при количестве, равном одному молю, так что запоминать здесь нечего: введите условия и прочитайте строку объёма.

Почему температура должна быть в кельвинах?

Потому что уравнение говорит о кинетической энергии частиц, а шкала Кельвина — та, у которой ноль стоит там, где это движение останавливается. В градусах Цельсия арифметика дала бы положительный ответ для газа при −100 °C, что бессмысленно, и к тому же удвоение температуры не удваивало бы давление. Проверьте на настоящих числах: нагрев закрытого сосуда с 20 °C до 40 °C переводит его с 293 K на 313 K, то есть даёт рост на 6,8 %, а не на 100 %. Страница принимает в поле температуры градусы Цельсия, Фаренгейта или кельвины и переводит их до всех остальных действий, так что поле это удобство, а не ловушка; но именно значение в кельвинах стоит держать в голове, когда проверяете результат на здравый смысл.

Как пользоваться этим калькулятором идеального газа?

Заполните ровно три из четырёх полей и оставьте четвёртое пустым: пустое и есть ответ. Двух недостаточно, а четыре — это другая операция: при двух известных величинах единственного решения нет, а при четырёх страница проверяет их друг через друга вместо того, чтобы решать. Если в условии дана масса газа, а не количество, разделите её на молярную массу, прежде чем вводить, а если дано избыточное давление, а не абсолютное, сначала прибавьте атмосферное: показание манометра 200 кПа на шине — это около 300 кПа той величины, которую хочет калькулятор. Оставляйте поле пустым, а не вписывайте ноль, потому что ноль — настоящее значение, и страница отнесётся к нему именно так.

Когда закон идеального газа перестаёт работать?

При высоком давлении и низкой температуре — то есть, к сожалению, там, где газы обычно хранят и всегда сжижают. Ломаются два допущения: реальные молекулы занимают объём, поэтому места для движения меньше, чем объём сосуда, и они притягиваются друг к другу, поэтому создаваемое ими давление ниже предсказанного. Для воздуха при комнатной температуре эффект мал вплоть до нескольких атмосфер и становится заметным по мере приближения к условиям, при которых газ сконденсировался бы. Водяной пар — особый случай, поскольку конденсируется при обычных температурах: как только воздух насыщен, дальнейшее охлаждение удаляет воду, а не понижает температуру газа, и уравнение перестаёт описывать то, что находится в сосуде. Для таких случаев обычный следующий шаг — уравнение Ван-дер-Ваальса или коэффициент сжимаемости.

• The Ideal Gas Law (College Physics 2e, §13.3) — the equation in both the pV = NkT and pV = nRT forms, the value of the gas constant in several unit systems, and the molar volume at standard temperature and pressure — OpenStax
• Ideal gas law — the derivation from the kinetic theory of gases, the statement of Avogadro's law as the constant-temperature and constant-pressure case, and the list of ways real gases deviate from it — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the pascal, the litre and the conversions between the pressure units this page's dropdown offers — NIST