Калькулятор последовательностей

арифметическая — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 геометрическая — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) кроме случая r = 1, когда S(n) = n * a(1)

n

Номер члена, о котором вы спрашиваете, считая с 1. Это же и число членов в сумме, поэтому одно поле отвечает на оба вопроса. Десятый член записывается как a(10), а сумма первых десяти — как S(10).

a(1)

Первый член, та точка, с которой последовательность начинается. Всё остальное выводится из него, поэтому отрицательный первый член переворачивает знак каждого чётного по счёту члена геометрической последовательности, а арифметическую просто начинает ниже.

d

Постоянная разность арифметической последовательности: величина, которая прибавляется на каждом шаге. Она может быть отрицательной — тогда последовательность убывает, — или нулевой, и тогда все члены равны первому; из-за этого последнего случая печатаемая формула сворачивается во что-то вроде a(n) = 6.

r

Постоянный знаменатель геометрической последовательности, то же самое постоянное отношение: число, на которое умножается каждый член. Знаменатель между 0 и 1 заставляет члены убывать к нулю, отрицательный — менять знак, а ровно 1 делает все члены равными первому.

S(n)

Сумма первых n членов — этой последовательности и никакой больше. Для арифметической последовательности это среднее первого и последнего члена, умноженное на n, — тот приём с парами, который, как говорят, Гаусс применил к 1 + 2 + … + 100. Это никогда не сумма бесконечного ряда: увеличивайте n, и итог будет расти.

Обращайтесь к нему всякий раз, когда величина растёт или убывает по фиксированному правилу, а нужно значение далеко по списку — баланс через тридцать лет при одном и том же ежегодном взносе, высота после двадцатого отскока, суммарный путь, когда каждый шаг составляет фиксированную долю предыдущего. Два поля, которые решают всё, — это шаг и его знак, поэтому полезная привычка: сначала посчитать вручную первые три члена и сверить их со справочной таблицей ниже. Проще всего запомнить так: арифметическая прогрессия прибавляет на каждом шаге одно и то же число, а геометрическая — умножает на одно и то же.

1. 3, 7, 11, … — десятый член и сумма первых десяти

   1. Шаг равен 4, поэтому члены такие: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
   2. Десятый член равен 3 + 9 × 4 = 39
   3. Сложите члены парами с краёв к середине: 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42 и так далее
   4. Таких пар пять, и все они равны 42
   5. 5 × 42 = 210

   Сложение парами — это и есть вся формула суммы: при n членах среднее первого и последнего равно (3 + 39) / 2 = 21, и 21 × 10 даёт те же 210. Формула, напечатанная рядом с ответом, — это правило, а не именно эта последовательность: a(n) = 3 + 4(n - 1) восстанавливает любой член по одному n, так что n = 1 возвращает 3, а n = 10 даёт 39, и перечислять ничего не нужно.

2. 8; 4; 2; 1; 0,5 — убывающая геометрическая последовательность

   1. Знаменатель равен 0,5, поэтому каждый член вдвое меньше предыдущего: 8; 4; 2; 1; 0,5
   2. Пятый член равен 8 × 0,5⁴ = 8 × 0,0625 = 0,5
   3. Сложим их: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 15,5

   Сумма убывающей геометрической последовательности приближается к 16, но никогда её не переходит — это 8 / (1 − 0,5). Здесь показан итог тех пяти членов, которые вы запросили, 15,5, а не этот предел, и разница между ними — ровно то, ради чего число членов вообще стало входным полем.

3. 1 + 2 + … + 1 000, где формула быстрее сложения

   1. Шаг равен 1, поэтому тысячный член равен 1 + 999 = 1 000
   2. Сложите первый с последним: 1 + 1 000 = 1 001
   3. Таких пар 500, потому что 1 000 членов дают 500 пар
   4. 500 × 1 001 = 500 500

   Здесь ничего не нужно выписывать, в этом и смысл формулы суммы: те же три поля ответили бы на вопрос и для миллиона членов, если бы n доходил до миллиона. Это тот расчёт, который, как говорят, задали Гауссу в наказание, а сложение парами выше — то, что он, как говорят, сделал вместо этого.

Только два вида последовательностей: арифметическая, где шаг прибавляется, и геометрическая, где он умножается. Всё остальное — квадраты, кубы, числа Фибоначчи, последовательность, заданная двумя своими предыдущими членами, — правила для этого здесь не имеет и требует собственного инструмента. Число членов должно быть целым от 1 до 1 000; дробное или отрицательное значение отклоняется, а не округляется, потому что 2,5 члена — это не величина, у которой есть ответ. Итог — это сумма только первых n членов, никогда не бесконечного ряда, поэтому при знаменателе меньше 1 накопленная сумма всё подбирается к своему пределу, не достигая его. Ответы округляются до шести знаков после запятой, а геометрическая последовательность может переполнить арифметику задолго до того, как n дойдёт до предела: 10³⁰⁰ проходит, 10⁶⁰⁰⁰ — уже нет, и такой случай сообщается как неудачный расчёт, а не как бесконечность. Страница отвечает на два из четырёх вопросов, которые ставит последовательность: чему равен n-й член и что дают в сумме первые n членов. Обратного она не делает — по двум членам восстановить правило, по сумме найти n, — и единиц не печатает, потому что последовательность есть список чисел.

Чем n-й член отличается от суммы?

n-й член — это одно число, то, которое стоит на позиции n; для 3, 7, 11, … при n = 10 это 39. Сумма — это всё до него включительно, сложенное вместе; для той же последовательности это 210. Их печатают двумя отдельными строками, потому что они отвечают на два разных вопроса, и потому что сумма обычно и нужна: баланс, суммарный путь, накопленное количество.

Откуда берётся формула суммы?

Из сложения членов парами с краёв к середине. В 3, 7, 11, … первый и последний члены первой десятки дают в сумме 42, и любая другая такая пара тоже, поэтому десять членов дают пять пар по 42 — это 210. В общем виде это n, умноженное на среднее первого и последнего члена, то есть n * (a(1) + a(n)) / 2. У геометрической суммы и вывод другой, и вид другой — поэтому их и печатают отдельно.

Шаг может быть отрицательным, нулевым или дробным?

И таким, и таким, и таким. Отрицательная постоянная разность даёт убывающую последовательность, например 100, 93, 86, …, а отрицательный знаменатель — ту, что меняет знак, например 1, -1, 1, -1. Знаменатель 0,5 даёт убывающую последовательность из второго примера. Отдельно стоит посмотреть на два случая: разность, равная нулю, и знаменатель, равный единице, — тогда все члены равны первому, и печатаемая формула правильно сокращается до чего-то вроде a(n) = 6.

Сумма — это итог всей бесконечной последовательности?

Нет, это сумма первых n членов, где n — введённое вами число. Эта разница видна только у убывающей геометрической последовательности, где накопленная сумма приближается к пределу (16 для 8; 4; 2; 1; 0,5; …), никогда его не достигая. Изредка нужен именно предел — это сумма бесконечной геометрической прогрессии, другой расчёт и другая формула.

Сколько членов можно запросить?

Любое целое число от 1 до 1 000. Верхняя граница не произвольна: геометрическая последовательность со знаменателем 10 достигает 10³⁰⁰ при n = 300, а ещё несколько сотен членов выведут за наибольшее число, которое вмещает арифметика. Такой случай сообщается как неудачный расчёт, а не как бесконечность, поэтому вместо тихо неверного ответа вы получите сообщение.

Почему в напечатанной формуле стоит a(n), а не a с нижним индексом?

Потому что a(n) читается в любом языке и любом шрифте, а символ нижнего индекса — нет: на некоторых системах он выводится пустым прямоугольником. Остальные обозначения обычные: ^ для степени, * для умножения и скобки вокруг отрицательного знаменателя, чтобы чередующаяся последовательность читалась как a(n) = (-1)^(n - 1), а не как что-то похожее на -1 в степени n - 1 со знаком минус снаружи.

• Arithmetic progression — the rule, the nth-term formula and the sum used on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric progression — the same three questions when the step is a multiplier rather than an addend — Wolfram MathWorld (United States)
• OEIS A000217, the triangular numbers — 1, 3, 6, 10, … the running totals of 1 + 2 + … + n, which is the third example on this page — OEIS Foundation (United States)