Калькулятор радикалов

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), где m² — наибольший квадрат, делящий r подобные члены: k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r

Радикал: квадратный корень из целого числа r. Каждое слагаемое на этой странице кратно одному из таких корней, и два слагаемых подобны ровно тогда, когда у них совпадает r, — складывается то, что стоит перед корнем

c

Коэффициент: целое число, умножающее радикал; когда перед корнем ничего не написано, он равен 1. Он считает, сколько копий √r складывают, поэтому 3√2 плюс 2√2 — это пять таких копий, а 3√2 минус 3√2 не оставляет ни одной

r

Подкоренное число — число под корнем. Упростить один радикал — значит найти наибольший квадрат m², делящий r, и вынести m наружу, отчего под корнем остаётся меньше. Наименьшее подкоренное число, до которого может дойти слагаемое, — это 1, а √1 — это просто 1

m²

Наибольший квадрат, делящий подкоренное число: 36 для 72, 25 для 50, 4 для 8. Именно выбор наибольшего и делает ответ простейшей формой радикала, а не просто формой поменьше: 72, делённое на 4, даёт 18, а в 18 квадратный множитель ещё остался

подобные члены

Слагаемые, у которых подкоренные числа совпали после упрощения. Сложение радикалов всегда есть сложение подобных членов: подкоренное число — это та единица, которую считают, и она не меняется, когда две таких единицы складывают. Поэтому 6√2 и 3√2 дают 9√2, а не 9√4

Берите это, когда выражение с радикалами — сумму квадратных корней — нужно записать в простейшей форме: проверить домашнюю работу, привести в порядок ответ перед подстановкой в формулу или посмотреть, не окажутся ли два внешне разных радикала на самом деле одним и тем же числом под корнем. Идущая в комплекте проверка — возвести коэффициент в квадрат и внести его обратно под корень: 6√2 — это 36 × 2 = 72, значит 6√2 и √72 действительно одно и то же.

1. √72 + 3√2 - √8

   1. √72: 72 = 36 × 2, поэтому наибольший квадратный множитель 36 выходит наружу как 6, и остаётся 6√2
   2. 3√2: в подкоренном числе 2 нет квадратного множителя, так что это слагаемое уже в простейшей форме
   3. √8: 8 = 4 × 2, поэтому 4 выходит как 2, и остаётся −2√2
   4. Теперь три слагаемых — это 6√2 + 3√2 − 2√2, все они кратны √2, значит подкоренное число остаётся, а коэффициенты складываются
   5. 6 + 3 − 2 = 7, поэтому сумма равна 7√2
   6. 7√2 — это 9,899495 до шестого знака

   Случай по умолчанию и причина, по которой эта страница существует вместо трёх отдельных упрощений: три радикала поначалу выглядят никак не связанными (72, 2 и 8), а оказываются одним и тем же радикалом, взятым 6, 3 и 2 раза. Пока их складывают, подкоренное число не меняется — меняется только счётчик перед ним.

2. √50 + 5 - √18

   1. √50: 50 = 25 × 2, поэтому 25 выходит как 5, и остаётся 5√2
   2. √18: 18 = 9 × 2, поэтому 9 выходит как 3, и остаётся −3√2
   3. 5 — уже целое число: под корнем нет ничего, что можно упростить
   4. Слагаемые с радикалами дают 5√2 − 3√2 = 2√2
   5. Целое число остаётся на своём месте, поэтому ответ — 5 + 2√2
   6. 5 + 2√2 — это 7,828427 до шестого знака

   Целое число и радикал не являются подобными членами, поэтому они стоят рядом, а не складываются в одну цифру. Печатаются они всё равно в фиксированном порядке, сначала целое число, — именно поэтому ответ здесь 5 + 2√2, а у той же суммы, записанной наоборот, ответ 2√2 + 5.

3. √2 + √3, где ничего не объединяется

   1. √2: в подкоренном числе 2 нет квадратного множителя, кроме 1, поэтому наружу ничего не выходит
   2. √3: в 3 тоже нет квадратного множителя, поэтому ничего не выходит
   3. Подкоренные числа здесь 2 и 3 — они не равны, значит слагаемые не подобны
   4. Сумма записывается как есть: √2 + √3
   5. √2 + √3 — это 3,146264 до шестого знака

   Здесь не делается ничего, и это и есть ответ: радикалы с разными подкоренными числами нельзя сложить в один радикал, потому что нет такого числа, квадрат которого равен 5 и которое могло бы заменить √2 + √3. Десятичная запись всё равно приводится, так как значение прекрасно определено — у него просто нет более короткой точной формы.

Только квадратные корни. Кубические корни и корни более высоких степеней объединяются ровно по тому же правилу — подкоренные числа сравниваются, а коэффициенты складываются, — но для записи нужен символ, несущий показатель, а в обозначениях этой страницы места для него нет; корни более высоких степеней разбирает калькулятор корней, по одному слагаемому за раз. Принимаются только целые числа, и в коэффициенте, и под корнем: у 2.5√2 точная форма — это (5√2)/2, а для неё нужна дробь, и √2.5 — это по той же причине √10 ÷ 2. У дробных чисел здесь нет точной формы: пишите √8, а не √2.5. Отрицательные подкоренные числа отклоняются, потому что никакое действительное число в квадрате не даёт отрицательного. Берётся до восьми слагаемых, и каждое подкоренное число вместе с коэффициентом ограничено миллионом. Десятичные знаки в ответе округляются до шести, поэтому они — приближение точного значения, а не само значение.

Что такое упрощение радикала?

Это вынос каждого квадратного множителя из-под корня наружу, в коэффициент. √72 превращается в 6√2, потому что 72 = 36 × 2, а 36 — полный квадрат. Значение при этом не меняется: 6√2 — это 8,485281, и √72 — тоже, но форма получается та, которой можно пользоваться в дальнейшем вычислении.

Когда два радикала считаются подобными?

Когда числа под корнями после упрощения совпали. 6√2 и 3√2 подобны и дают в сумме 9√2; √2 и √3 не подобны, и их сумму нельзя записать одним радикалом. Складываются только коэффициенты — подкоренное число это та единица, которую считают, поэтому оно остаётся на месте.

Почему ответ даётся точной формой, а не десятичной дробью?

Потому что большинство радикалов иррациональны, и десятичная дробь может их только приблизить. 7√2 — это точное значение; 9,899495 — то же число, округлённое до шестого знака, и в седьмом оно уже неверно. Точная форма и позволяет использовать ответ на следующем шаге, не накапливая округление.

Можно ли ввести кубический корень?

На этой странице — нет. ∛8 + ∛2 объединяется ровно по тому же правилу, что и квадратные корни, но для записи нужен показатель, вписанный в знак корня, а эта страница печатает голый √. Для одного слагаемого с любым показателем от 2 до 12 используйте калькулятор корней.

Почему рядом с радикалами допускается целое число?

Потому что целое число — это радикал, у которого подкоренное число дошло до 1: √25 — это 5, а 5 — это 5√1. Такой взгляд означает, что целые числа и радикалы объединяются по одному правилу, и он же задаёт фиксированный порядок печати ответа: 5 + √2, сначала целое число.

Как проверить ответ?

Возведите коэффициент в квадрат и внесите его обратно под корень. Для 7√2 проверка даёт 49 × 2 = 98, а это не исходная сумма, — поэтому проверяйте по слагаемым: 6√2 — это 36 × 2 = 72, 3√2 — это 18, а 2√2 — это 8, и 72 + 18 − 8 = 82. Это сумма подкоренных чисел в том виде, в каком они записаны, поэтому проверку и нужно делать до объединения слагаемых.

• Quadratic Surd — the canonical form a√b with b square-free, which is exactly what the simplified radicand column is — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign and the operation it names, including why two radicals can only be added when their radicands agree — Wolfram MathWorld (United States)
• Like terms — what makes two terms addable, which for radicals is decided by the number under the root — SplashLearn (United States)