Калькулятор умножения

a × b: цифры b записываем как b₀ + 10·b₁ + …, берём a × b_k отдельной строкой, сдвигаем её на k разрядов, затем складываем строки произведение = (a × b) с запятой, поставленной на столько разрядов от правого края, сколько знаков после запятой всего

a

Множимое, то число, которое умножают. Оно целиком умножается на каждую цифру второго числа по очереди, поэтому остаётся одним куском, пока второе число разбирается на части.

b

Множитель, число, цифры которого берутся по одной справа. Каждая его цифра даёт одну строку, включая цифру ноль, потому что эта строка записывает, какой разряд занимала цифра: разряд, в котором ничего нет, — это тоже сведения.

сдвиг

На сколько разрядов влево записывается строка; равно позиции цифры множителя. Это работа позиционной записи: цифра 4 в числе 45 значит сорок, поэтому её неполное произведение в десять раз крупнее того, что даёт цифра единиц. На бумаге сдвиг показывают тем, что начинают строку левее; в таблице он вынужден стать числом.

знаков после запятой

Число цифр после запятой, сложенное по обоим множителям, а не взятое у одного из них. У 2,3 один знак и у 4,5 один, поэтому произведение несёт два, и 1 035 превращается в 10,35. От этого не зависит ничего в работе с цифрами: умножение идёт целиком на целых числах, а запятая ставится после.

Обращайтесь сюда, чтобы перемножить два числа вручную и сохранить ход работы: проверить произведение, посчитанное на бумаге, показать шаг со сдвигом или разобраться с дробями, где ошибается именно место запятой. Повторное умножение числа самого на себя — это калькулятор степеней, а умножение дробей идёт по своему правилу: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

1. 23 × 45

   1. Умножаем на цифру единиц: 23 × 5 = 115, строка пишется без сдвига
   2. Умножаем на цифру десятков: 23 × 4 = 92
   3. Цифра десятков в десять раз весомее, поэтому эта строка сдвигается на разряд влево и читается как 920
   4. Складываем строки: 115 + 920 = 1 035
   5. Ни у одного множителя нет знаков после запятой, поэтому их нет и у произведения
   6. Произведение равно 1 035

   Случай по умолчанию. Ноль на конце 920 — это сдвиг, ставший видимым: на бумаге та строка просто начинается на столбец левее, а в чтении он превращается в цифру, которую приходится дописывать. Две сложенные строки — это обычное сложение в столбик, а это уже соседняя страница.

2. Те же цифры, но с запятыми

   1. Забудем про запятые и перемножим цифры: 23 × 45 — это предыдущий пример
   2. Неполные произведения — 115 и 920, без изменений
   3. Считаем знаки после запятой: у 2,3 один и у 4,5 один, значит у произведения два
   4. Ставим запятую на два разряда от правого края 1 035
   5. Произведение равно 10,35

   Самое ясное объяснение того, как здесь работают дроби: работа с цифрами не отличается от умножения 23 на 45, и вся разница только в том, куда встанет запятая. Поэтому знаки после запятой и сообщаются суммой, а не берутся у одного из множителей.

3. Ноль среди цифр множителя

   1. Умножаем на цифру единиц: 23 × 0 = 0, строка пишется без сдвига
   2. Умножаем на цифру десятков: 23 × 4 = 92, со сдвигом на разряд влево, то есть 920
   3. Складываем строки: 0 + 920 = 920
   4. Произведение равно 920

   Нулевая строка сохраняется, а не пропускается. От руки её обычно не пишут, но её позиция — как раз то, что здесь записывается: она говорит, что цифра единиц числа 40 не дала ничего. Проверка «строки складываются в произведение» держится только тогда, когда строка на месте. Это противоположный выбор по сравнению со страницей метода FOIL, где член, обратившийся в ноль, отбрасывается: там пустого члена нет, а здесь строка действительно записывается.

У двух множителей вместе может быть не больше шести знаков после запятой, и ограничена именно сумма, а не каждое число по отдельности. Это ограничение показа, а не арифметики: панель печатает произведение до шести знаков, поэтому произведение, которому нужно восемь, было бы напечатано как 0,000000 — неверный ответ в одежде верного. По модулю каждый множитель ограничен миллионом, а целая форма произведения — наибольшим точно представимым целым: цифры читаются разряд за разрядом, и за этой границей неполные произведения перестают складываться в ответ. Отрицательные множители принимаются, и неполные произведения печатаются без знаков; знак появляется только у итогового произведения. Ноль — законный множитель, и произведение отрицательного числа на ноль печатается как 0, а не как отрицательный ноль. Эта страница умножает; деление — отдельная процедура со своими правилами записи столбиком.

Что такое умножение в столбик?

Это умножение двух чисел с разбором одного из них на цифры: каждая цифра множителя даёт строку, строки сдвигаются влево по тому разряду, который эта цифра занимала, и складываются. Произведение выходит то же, что и у калькулятора, но промежуточные строки остаются на виду.

Зачем неполные произведения сдвигают?

Потому что вес цифры зависит от того, где она стоит. Четвёрка в числе 45 значит сорок, поэтому всё, что она умножает, должно выйти в десять раз крупнее того, что дала пятёрка, и запись строки на разряд левее — это и есть способ это записать. То же правило выравнивает столбцы при сложении.

Как понять, куда встанет запятая?

Сосчитайте знаки после запятой у двух множителей и сложите их. У 2,3 один и у 4,5 один, поэтому у произведения два, и 1 035 превращается в 10,35. Цифры запятой вообще не видят: всё умножение идёт на целых числах, а запятая ставится в конце.

Почему строка из нулей сохраняется?

Потому что её позиция и есть сведения. Когда цифра единиц множителя — ноль, эта строка говорит, что разряд единиц не дал ничего, и, выбросив её, мы потеряли бы тот факт, что оставшаяся строка сдвинута. Благодаря ей строки всегда складываются в произведение, а это и есть проверка, ради которой страница сделана.

Что происходит с отрицательными множителями?

Произведение отрицательно, когда отрицателен ровно один из двух множителей, и положительно, когда оба. Неполные произведения в обоих случаях печатаются без знаков — так же, как письменная выкладка держит минус вне работы, — и именно это позволяет им складываться в произведение.

Почему у целого произведения печатается ряд нулей?

Потому что панель печатает произведение с фиксированными шестью знаками, поэтому 1 035 выходит как 1 035,000000. Альтернатива — печатать произведение как текст, а это поставило бы в ответ точку, и там, где десятичный разделитель — запятая, такая запись была бы хуже нескольких нулей на конце.

• Base — why shifting a partial product one place left multiplies it by ten, which is what the shift column records — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — multiplication applied to a number and itself, the case where both factors are the same — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the inverse operation, and the reason it needs a different column procedure rather than a variation on this one — Wolfram MathWorld (United States)