Калькулятор сложения в столбик

разряд k: сумма = цифра_k(a₁) + … + цифра_k(aₙ) + перенос записанная цифра = сумма mod 10 новый перенос = ⌊сумма ÷ 10⌋

a₁ … aₙ

Слагаемые: от двух до десяти целых чисел, каждое не больше одного триллиона. Первый столбец — это разряд единиц у всех чисел сразу, поэтому числа и приходится записывать так, чтобы цифры стояли друг под другом, прежде чем эта процедура вообще что-то будет значить.

разряд k

k-й разряд справа, если считать разряд единиц нулевым. Каждый разряд содержит по одной цифре от каждого слагаемого, а число, которое до него не дотягивается, даёт ноль, а не пропускается: разряд цифры определяется столбцом, в котором она стоит, а не числом, из которого она взята.

перенос

То, что переносится в следующий разряд слева. Это остаток после того, как записанная цифра уже вычтена, — десятки от суммы. Из одного разряда может выйти не больше 9, а самый старший разряд всё ещё может уйти на одну позицию дальше ширины самого длинного слагаемого — именно поэтому 9 + 9 даёт двузначный ответ.

сумма

Итог, а заодно и то, с чем сверяют цепочку переносов: в цепочке по одной записи на разряд, поэтому её длина равна числу цифр в сумме. Ведущие нули никогда не пишутся, так что 007 — это ответ 7.

К этому калькулятору обращаются, когда сложение нужно показать, а не просто посчитать: объяснить шаг с переносом, проверить итог, посчитанный от руки, или сложить сразу несколько чисел, где сбивается именно промежуточный перенос. Сложить числа, чтобы найти их среднее, — следующий вопрос после суммы, и калькулятор среднего значения принимает тот же список.

1. 1234 + 567 + 89

   1. Разряд единиц: 4 + 7 + 9 = 20, значит пишем 0 и переносим 2
   2. Разряд десятков: 3 + 6 + 8 + 2 = 19, значит пишем 9 и переносим 1
   3. Разряд сотен: 2 + 5 + 0 + 1 = 8, значит пишем 8 и переносим 0
   4. Разряд тысяч: 1 + 0 + 0 + 0 = 1, значит пишем 1 и переносим 0
   5. Записанные цифры, от старшего разряда вниз, — это 1, 8, 9, 0
   6. Сумма равна 1 890, а цепочка переносов — 2, 1, 0, 0

   У трёх слагаемых четыре, три и две цифры, поэтому два коротких числа в старших разрядах заканчиваются и ничего туда не добавляют. В цепочке четыре записи, и в сумме четыре цифры — это совпадение и есть то утверждение, вокруг которого построена страница, и оно выполняется при любом вводе, включая случаи, где не переносится ничего.

2. 9 + 9, где появляется новый разряд

   1. Разряд единиц: 9 + 9 = 18, значит пишем 8 и переносим 1
   2. Разрядов больше не осталось, поэтому перенос открывает новый: пишем 1 и переносим 0
   3. Записанные цифры — 1 и 8
   4. Сумма равна 18, значит цепочка переносов — 1, 0

   Два однозначных слагаемых и двузначный ответ. В цепочке переносов есть запись для разряда, которого у слагаемых никогда не было, — поэтому цепочка на одну запись длиннее самого широкого слагаемого. Читать 1, 0 как вычитание из ответа было бы ошибкой: записи идут от разряда единиц вверх, поэтому первая из них — перенос из разряда единиц.

3. Итог вообще без переносов

   1. Разряд единиц: 0 + 0 + 0 = 0, пишем 0, переносим 0
   2. Разряд десятков: 0 + 0 + 0 = 0, пишем 0, переносим 0
   3. Разряд сотен: 1 + 2 + 3 = 6, пишем 6, переносим 0
   4. Сумма равна 600, а цепочка переносов — 0, 0, 0

   Здесь не переносится ничего, и нули всё равно напечатаны. Цепочка, обрывающаяся на первой ненулевой записи, была бы нечитаема рядом со столбцами, а весь смысл этого чтения — во взаимно однозначном соответствии записей и разрядов. В этом примере слагаемые разделены пробелами, а не точками с запятой; принимаются оба способа, и пробел обходит запятую, которую во многих странах читают как десятичный разделитель. При этом пробел — именно разделитель: запись 1 500 будет прочитана как два числа, 1 и 500, поэтому тысячу пятьсот в поле пишут без пробела: 1500.

Принимаются только целые числа. Десятичная запятая потребовала бы сначала выровнять слагаемые по ней, дополнив нулями до одинаковой длины, а это уже другая процедура, не добавление столбцов, поэтому нецелые слагаемые отклоняются, а не трактуются молча как целые. Отрицательные слагаемые отклоняются по той же причине: минус — не цифра, ему нужен свой столбец и своё правило. Принимается от двух до десяти слагаемых: у одного числа нет столбца, в котором что-то писать, а больше десяти — это уже случай для суммы по списку. Каждое слагаемое ограничено одним триллионом, а сумма — наибольшим точно представимым целым, то есть 9 007 199 254 740 991: цифры читаются разряд за разрядом, и дальше записанные цифры перестают совпадать с ответом. Эта страница складывает; она не вычитает, не умножает и не делит — у каждого из этих действий своя процедура со столбцами.

Что такое сложение в столбик?

Это сложение чисел так, как их записывают на бумаге: выровнять цифры по разрядам, идти от разряда единиц влево и переносить всё лишнее в следующий столбец. Сумма получается та же, что и на калькуляторе, но промежуточные шаги остаются, а не выбрасываются.

Почему начинают с разряда единиц?

Потому что перенос идёт влево. Каждому разряду нужен перенос, приходящий в него, а приходит он из разряда справа, поэтому с разрядом единиц нужно разобраться раньше, чем с разрядом десятков. Начни с любого другого места — и пришлось бы возвращаться, когда придёт перенос.

Что показывает цепочка переносов?

Она перечисляет, что каждый разряд перенёс в следующий, начиная с разряда единиц. Её длина равна числу цифр в сумме, поэтому она же служит проверкой: если перенос потерялся или разряд выпал, две длины перестают совпадать.

Почему в ответе может быть больше цифр, чем в самом длинном слагаемом?

Потому что последний столбец всё ещё может перенести. Сложение 9 и 9 заполняет разряд единиц и оставляет перенос, которому некуда идти, поэтому открывается новый разряд, и 9 + 9 даёт 18, а не 8. Из-за этого лишнего разряда цепочка переносов и может оказаться на одну запись длиннее самого широкого слагаемого.

Можно ли складывать десятичные дроби?

На этой странице — нет. Десятичные дроби тоже складывают в столбик, но только выровняв их по запятой и дополнив нулями, а это меняет смысл столбца: из разряда он превращается в позицию после запятой. Страница отклоняет нецелое слагаемое, а не пытается угадать, чем оно должно было быть. Разделяйте слагаемые точкой с запятой, запятой или пробелом, а внутри числа запятую не ставьте: запись 1,500 будет отклонена, потому что она одновременно похожа и на 1,5, и на тысячу пятьсот, — поэтому пишите 1500.

Имеет ли значение порядок слагаемых?

Сумма одинакова в любом порядке. А цепочка переносов — нет: другой порядок меняет то, какую цифру получает каждый разряд, и столбец, цифры которого в сумме дают ровно 9, перенесёт там, где при другом расположении не перенёс бы. Промежуточный ход зависит от порядка, хотя ответ — нет.

• Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is what makes the ones column the right place to start — Wolfram MathWorld (United States)
• Binary — the identical carry procedure in base two, where a single 1 + 1 already carries and the chain is easiest to watch — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, and the reason a negative addend cannot simply be written into the column — Wolfram MathWorld (United States)