Калькулятор вычитания

столбец k: необработанное = цифра_k(уменьшаемое) − входящее заимствование − цифра_k(вычитаемое) исходящее заимствование = 1, если необработанное < 0, иначе 0 записанная цифра = необработанное + 10 × исходящее заимствование

уменьшаемое

Уменьшаемое — число, из которого вычитают, целое и не больше одного триллиона. Оно стоит в верхней строке записи, и каждый столбец читается по его цифрам, включая те столбцы, где у него цифр уже не осталось: они считаются нулями

вычитаемое

Вычитаемое — число, которое отнимают; оно записывается снизу и выравнивается по разряду единиц. Оно может оказаться большим из двух, и тогда работа идёт наоборот, а разности приписывается знак минус

столбец k

k-й разряд справа, если считать разряд единиц нулевым. Столбец можно закрыть только после того, как закрыт соседний справа, потому что заимствование идёт влево, — поэтому разряд единиц и решает всё, что над ним

заимствование

Единица, взятая у соседнего левого столбца, когда верхняя цифра меньше нижней. В столбце, который её получает, она стоит десяти, поэтому 4 − 7 превращается в 14 − 7, а столбец, откуда её взяли, теряет единицу

разность

Ответ, а также то, с чем соразмеряется цепочка заимствований: в цепочке по одной записи на каждый столбец большего числа, поэтому последняя запись всегда равна 0. Ведущие нули не пишутся, поэтому 099 — это ответ 99

Берите это, чтобы вычесть одно целое число из другого, когда важен сам ход решения, а не только ответ: объяснить заимствование в тот момент, когда столбец не может покрыть стоящую под ним цифру, или проверить разность, посчитанную от руки. Встроенная проверка сложением: прибавьте разность обратно к вычитаемому, и должно вернуться уменьшаемое.

1. 1 234 − 567

   1. Разряд единиц: 4 − 7 не вычитается, поэтому занимаем 1 у десятков и читаем 14 − 7 = 7
   2. Разряд десятков: 3 уже потеряла единицу на этом заимствовании, поэтому и 2 − 6 не вычитается — занимаем снова и читаем 12 − 6 = 6
   3. Разряд сотен: 2 тоже потеряла единицу, поэтому 1 − 5 не вычитается — занимаем и читаем 11 − 5 = 6
   4. Разряд тысяч: 1 потеряла единицу, остаётся 0 − 0 = 0
   5. Записанные цифры, от старшего столбца вниз: 0, 6, 6, 7
   6. Разность равна 667, а цепочка заимствований — 1, 1, 1, 0

   Случай по умолчанию — и тот, который объясняет, зачем вообще записывать ход решения: каждый столбец, взявший заимствование, оставляет столбец над собой на единицу меньше, поэтому заимствование приходит раньше, чем читаются его собственные цифры. Последняя запись равна 0, потому что над верхним столбцом ничего нет и занять там не у чего: этот нуль — остановка цепочки, а не пропущенный шаг.

2. 1 000 − 1, заимствование через нули

   1. Разряд единиц: 0 − 1 не вычитается, поэтому занимаем у разряда десятков
   2. В разряде десятков стоит 0, и дать он не может, поэтому сначала занимает у сотен
   3. В разряде сотен тоже 0, поэтому он занимает у тысяч — и 1 000 превращается в 990 с десятком в разряде сотен
   4. Отдать одну из этих десяток разряду десятков оставляет там 9 и десять в разряде единиц
   5. Разряд единиц: 10 − 1 = 9. Разряд десятков: 9 − 0 = 9. Разряд сотен: 9 − 0 = 9
   6. Разность равна 999, а цепочка заимствований — 1, 1, 1, 0

   Цепочка здесь та же, что и в примере по умолчанию, — в этом и суть: заимствование проходит всю ширину числа, а ответ оказывается дополнением до девяток. Нуль в середине — не место, которое может дать в долг: ему сначала придётся занять слева, и на бумаге это и есть та цепочка зачёркиваний, которую пишут над примером.

3. 3 − 5, где ответ уходит в минус

   1. Верхнее число меньше нижнего, поэтому вычитание ведётся наоборот: 5 − 3
   2. Разряд единиц: 5 − 3 = 2, занимать нечего
   3. Записанные цифры — просто 2
   4. Так как числа поменяли местами, ответ несёт знак минус
   5. Разность равна −2, а цепочка заимствований — 0

   Работа всегда идёт как большее минус меньшее, поэтому столбец цифр в таблице ниже никогда не показывает строку с минусом — знак минус живёт на ответе и больше нигде. Именно поэтому цепочка заимствований и читается: в ней по одной записи на столбец большего числа, а будь столбцы способны идти в другую сторону, длина была бы не фиксированной.

Принимаются только целые числа. Десятичные тоже можно вычитать в столбик, но лишь после того, как их выровняли по запятой и дополнили нулями, а это меняет смысл столбца, — поэтому десятичные отклоняются, а не трактуются молча как целые. Отрицательные входные значения отклоняются по той же причине: знак — не цифра, и ему понадобился бы собственный столбец и собственное правило. Чисел берётся ровно два; цепочка вычитаний — это несколько таких действий подряд. Каждое число ограничено одним триллионом, потому что цифры читаются разряд за разрядом, а за этой границей записанные цифры перестают совпадать с ответом. Когда второе число больше, ответ отрицательный, но цифры в записи — это цифры большего минус меньшее, поэтому таблица читается не по числам в том виде, в каком их набрали.

Что такое вычитание в столбик?

Это вычитание чисел так, как они записаны: цифры выравнивают по разрядам, идут от разряда единиц влево и занимают десяток у соседнего столбца всякий раз, когда верхняя цифра слишком мала. Ответ получается тот же, что и у калькулятора, но промежуточные шаги сохраняются, а не выбрасываются.

Что означает заимствование?

Это единица, взятая у столбца слева и потраченная здесь как десять. 4 − 7 не вычитается, поэтому один десяток переносится сюда, и столбец читается как 14 − 7 = 7. Столбец, откуда его взяли, становится на единицу меньше — поэтому каждое заимствование задевает два столбца, а не один.

Заимствование и перегруппировка — это одно и то же?

Да: перегруппировка, переименование и обмен — это один и тот же приём под разными названиями, и то, какое слово прижилось в классе, — вопрос моды. Заимствование всегда обменивает одну единицу следующего левого разряда на десять единиц этого, так что ничего не создаётся и не исчезает.

Почему цепочка заимствований заканчивается нулём?

Потому что верхний столбец никогда не занимает. Заимствование случается только тогда, когда столбец не может покрыть стоящую под ним цифру, а самый старший столбец большего числа всегда больше меньшего целиком, так что цепочка там и останавливается. Последний нуль — это и есть остановка, и в цепочке на одну запись больше, чем заимствований, которые вы видите.

Как проверить ответ?

Прибавьте разность обратно к вычитаемому и посмотрите, получится ли уменьшаемое. 1 234 − 567 = 667, и 667 + 567 = 1 234. Такая проверка точна и стоит одного сложения в столбик — поэтому вычитание и сложение и преподают как одну процедуру с заменой знаков.

Можно ли вычесть большее число из меньшего?

Да, и ответ вернётся отрицательным. Работа всё равно ведётся как большее минус меньшее, потому что процедуре по столбцам нужно, чтобы верхние цифры где-то были большими; меняется только знак разности. 3 − 5 считается как 5 − 3 = 2 и сообщается как −2.

• Subtraction — the operation itself, and the fact that a difference can be checked by adding it back — Wolfram MathWorld (United States)
• Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is why a borrow is worth exactly ten — Wolfram MathWorld (United States)
• Subtraction with regrouping — the column-by-column procedure taught in schools, and the names it goes by — SplashLearn (United States)