Калькулятор золотого сечения

Большая часть ÷ меньшая часть = φ Вся линия ÷ большая часть = φ Меньшая часть = большая часть ÷ φ Большая часть = меньшая часть × φ Вся линия = большая часть + меньшая часть

Какая часть известна

Выбор из трёх: большая часть, меньшая часть или вся линия. Он решает, какое из полей будет вашим вводом и какие два чтения из него вычисляются. По умолчанию выбрана вся линия, потому что длина, которую можно измерить напрямую, — обычный вход в эту задачу.

Известная длина

Какова эта часть: 100, или 1920, или 0,5. Она должна быть больше нуля, потому что у нуля нет золотого сечения — обе части были бы нулями, — а отрицательная длина это не длина. Целыми числами она не ограничена и единицы измерения не несёт: пиксели, миллиметры и дюймы работают одинаково.

Большая часть

Больший кусок рассечения и главное чтение. Зная всю линию, это вся линия, делённая на φ; зная меньшую часть, это та часть, умноженная на φ; зная саму себя, это введённое вами число.

Меньшая часть

Меньший кусок. Зная всю линию, это то, что остаётся, когда большую часть отняли; зная большую часть, это она же, делённая на φ; зная саму себя, это введённое вами число.

Вся линия

Два куска, сложенные вместе, — то есть длина, с которой вы начали, когда именно это поле и заполняли. Это чтение, которое связывает два других: большая плюс меньшая всегда возвращает её, и эта сумма и есть проверка того, что три строки согласны.

Округление

Все три чтения печатаются с четырьмя знаками после запятой, потому что само φ никогда не заканчивается. Три числа вычисляются из одной и той же пары, поэтому, когда введённая длина лежит на четырёхзначной сетке, напечатанные строки всё равно складываются точно: 61,8034 + 38,1966 это 100.

Первое применение — вёрстка: страница, холст, фотография или рамка, которую надо разделить в золотом сечении, где вся ширина известна, а нужны две части. Второе — обратное направление, столь же частое: вы уже нарисовали большую часть и теперь нужна меньшая, или у вас фиксирована меньшая часть и большую надо вывести из неё. Третье — проверка чужого рассечения: введите большую часть и посмотрите, та ли вся линия из неё следует, что стоит на чертеже. Четвёртое — пропорция поперёк масштабов, когда одно и то же отношение применяют к большому и малому варианту одного проекта; поскольку отношение безразмерно, пересчитывать между ними ничего не нужно. Пятое — то, с которым приходят после встречи с фразой, а не с числом: увидеть, что линия 100 превращается в 61,8 и 38,2, — это и делает определение конкретным, и таблица ниже повторяет это для нескольких привычных ширин, чтобы эффект масштабирования читался по одному столбцу.

1. Вся линия длиной 100

   1. Большая часть: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Меньшая часть: 100 − 61,8034 = 38,1966
   3. Проверка: 61,8034 + 38,1966 = 100, то есть исходная длина
   4. И само отношение: 61,8034 ÷ 38,1966 = 1,618

   Случай по умолчанию и самый наглядный: на входе круглое 100, на выходе два неудобных числа, а в сумме они дают ровно 100. Последнее не случайность — меньшая часть находится вычитанием, а не вторым делением, поэтому две напечатанные строки не могут разойтись с той, которую вы ввели. Четвёртый шаг — это определение, прочитанное в обратную сторону, и его стоит проделать один раз: деление большей части на меньшую обязано вернуть φ.

2. Известна большая часть 100

   1. Меньшая часть: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Вся линия: 100 + 61,8034 = 161,8034
   3. Значит, большая часть 100 принадлежит линии 161,8034

   То направление, которое и нужно, когда в проекте уже есть длинная сторона: большая часть зафиксирована, и остальная линия должна за ней последовать. Заметьте, что главное чтение здесь — просто введённое число: панель держит большую часть в первой строке, какую бы ветку вы ни выбрали, поэтому ответ всегда на одном и том же месте. И заметьте, что вторая строка — те же 61,8034, что и в случае выше, в этом и суть: большая часть 100 влечёт точно такую же меньшую, независимо от того, пришла ли она из линии 161,8 или из линии 100, разделённой иначе.

3. Известна меньшая часть 100

   1. Большая часть: 100 × 1,6180339887 = 161,8034
   2. Вся линия: 100 + 161,8034 = 261,8034
   3. Значит, меньшая часть 100 принадлежит линии 261,8034

   Третья ветка, и именно она закрепляет умножение: от меньшей части к большей идут умножением на φ, а от большей к меньшей — делением на него. Оба направления встречаются в примерах выше, и сравнить их — самый быстрый способ запомнить, в какую сторону идёт постоянная. Меньшей части 100 нужна линия более чем в два с половиной раза длиннее её самой, и это практическое предупреждение: меньшая часть золотого сечения всегда оказывается меньшей долей линии, которая длиннее, чем кажется.

4. Ширина 1920 пикселей

   1. Большая часть: 1920 ÷ 1,6180339887 = 1186,6253
   2. Меньшая часть: 1920 − 1186,6253 = 733,3747
   3. Проверка: 1186,6253 + 733,3747 = 1920

   Ширина экрана — то, для чего это вычисление чаще всего и делают на практике: холст или колонка контента, разделённые в золотом сечении. Обе части попадают на четвёртый знак после запятой, а в пикселях это доля пикселя — округлите их до целых пикселей, и рассечение всё равно останется золотым в пределах, которые глаз различить не может. Это ещё и случай, показывающий, почему чтения печатаются с четырьмя знаками, а не с двумя: на таком размере два знака поставили бы обе части на почти целые числа и скрыли бы, что ни одна из них не точна.

5. Вся линия длиной 2

   1. Большая часть: 2 ÷ 1,6180339887 = 1,2361
   2. Меньшая часть: 2 − 1,2361 = 0,7639
   3. Проверка: 1,2361 + 0,7639 = 2

   Наименьшая целая длина, на которой рассечение всё ещё видно по обе стороны от запятой, и случай, который делает странность отношения заметной: большая часть линии 2 больше её половины, как и всегда, а меньшая — чуть меньше четырёх десятых. Умножение этой линии на десять даёт те 20, что есть в таблице ниже, и обе части умножаются вместе с ней на десять — ни единицы, ни масштаба в отношении нет, только пропорция между двумя кусками того, что вы измерили.

Введённая длина должна быть больше нуля. Ноль отвергается, потому что его золотое сечение было бы двумя нулями, а это ничего не говорит, а отрицательная длина отвергается, потому что это не маленькая длина, а несуществующая. За раз берётся одна длина, и страница никогда не проверяет рассечение, сделанное вами где-то ещё: если у вас уже отрезаны два куска, ввод одного из них вернёт то сечение, которому этот кусок принадлежит, а не подтвердит имеющуюся пару. Три чтения печатаются с четырьмя знаками после запятой, поэтому точными эти числа не бывают никогда — у φ вообще нет точной десятичной записи, и страница округляет в каждой строке; когда и вся линия, и большая часть введены по четырёхзначной сетке, напечатанные строки всё равно складываются точно, но длина с пятью и более знаками может оставить последнюю цифру на единицу в стороне, и это печать, а не арифметика. Длины намеренно безразмерны, а значит, страница не может сказать, миллиметры у вас или мили, и не предупредит, что рассечение в пикселях придётся округлять до целых пикселей, чтобы его можно было построить. Страница применяет отношение и ничего больше: она не говорит, подходит ли золотое сечение для вашей задачи, и не строит логарифмическую спираль, которой обычно рисуют последовательные золотые прямоугольники.

Что такое золотое сечение, если точно?

Единица плюс квадратный корень из пяти, делённое на два, то есть 1,6180339887498948482 — и так до бесконечности без повторений. Это единственное отношение, которое переживает разрезание: возьмите прямоугольник с такими сторонами, отрежьте наибольший квадрат, и у оставшегося прямоугольника отношение снова будет тем же. Евклид описал это как деление отрезка в крайнем и среднем отношении — та самая операция, которую выполняет эта страница.

Как разделить длину в золотом сечении?

Разделите всю линию на 1,6180339887, чтобы получить большую часть, а затем вычтите её из всей линии и получите меньшую. Линия 100 превращается в 61,8034 и 38,1966. Вычитание вместо второго деления выбрано намеренно: оно гарантирует, что два куска сложатся обратно в введённую вами длину.

Я уже знаю одну из частей, а не всю линию. Можно так?

Да — выберите в первом поле, какая часть известна, и введите её длину. Если известна большая часть, меньшая это она, делённая на φ, а вся линия — их сумма. Если известна меньшая, большая это она, умноженная на φ. Все три ветки — одна и та же арифметика в перестановках, и панель всегда печатает одни и те же три строки.

Почему числа выходят с четырьмя знаками после запятой?

Потому что φ никогда не заканчивается и ни одно чтение на этой странице не может быть точным — четыре знака это то место, где округление останавливается, одно и то же для всех трёх строк. Когда во введённой длине не больше четырёх знаков, три напечатанные строки всё равно складываются точно, потому что меньшая часть находится вычитанием. Длина с пятью и более знаками может оставить последнюю цифру на единицу в стороне.

Имеет ли значение, в каких единицах я считаю?

Нет, и поэтому нигде на странице не появляется единица измерения. Золотое сечение — это пропорция между двумя длинами, а не длина, поэтому пиксели, миллиметры, дюймы и простые доли ведут себя одинаково, а масштабирование введённой длины масштабирует все три чтения на тот же коэффициент. Следствие: страница не может сказать, нужно ли округлять ваш ответ до целых пикселей, прежде чем его можно будет построить.

Достаточно ли 1,618?

Чтобы отрезать кусок картона, — да; для определения — нет. Золотое сечение это не 1,618 — это единица плюс квадратный корень из пяти, делённое на два, и с этих цифр оно только начинается. Если пользоваться четырёхзначным 1,618 везде, большая часть линии 100 сместится примерно на тысячную, что в большинстве работ незаметно, но золотым сечением уже не является. Эта страница использует всю доступную ей точность и округляет только то, что печатает.

Это не то же самое, что калькулятор отношений или пропорций?

Нет, и разница в том, что вы должны задать. Калькулятор отношений берёт два ваших числа и сокращает их, а калькулятор пропорций решает уравнение с неизвестным членом, которое вы записали. Отношение на этой странице не ваш выбор: оно зафиксировано и равно φ, а вводите вы длину. Три страницы, три разных вопроса.

• Golden Ratio — the definition of phi as the unique ratio which survives cutting a rectangle into a square and a remainder, its exact value of one plus the square root of five over two, its other names (divine proportion, golden mean, golden section), and Euclid's equivalent definition by extreme and mean ratio — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Ratio Conjugate — the smaller quantity, equal to phi minus one and to one over phi, which is the ratio of the short piece to the long piece on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Rectangle — the rectangle whose sides are in the golden ratio and which keeps that ratio when a square is cut from it, the figure that makes the definition of phi unique — Wolfram MathWorld (United States)
• Fibonacci Number — the sequence whose terms are connected to the golden ratio, and whose neighbouring pairs approach the same proportion this page applies — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — the relation between two quantities of the same kind, written as a quotient, which is the form both of the equalities in the expression above take — Wolfram MathWorld (United States)