Калькулятор модуля числа

|x| = x (x ≥ 0) |x| = −x (x < 0) противоположное = −x

x

Введённое число. В пределах диапазона страницы принимается любое действительное число: положительное, отрицательное, ноль, целое или дробное. На вход не наложено никаких ограничений, потому что модуль определён для каждого действительного числа, — это единственная операция на сайте, у которой нет области определения, требующей оговорки.

|x|

Модуль, главное чтение: расстояние от нуля до числа на числовой прямой, которое никогда не бывает отрицательным. Числовая прямая — это ось, каждая точка которой есть действительное число, поэтому расстояние на ней читается как длина отрезка. Записывается модуль двумя правилами, а не одним, потому что в нуле правило меняется: у неотрицательного числа попросту ничего не отбрасывается, а у отрицательного берётся его отрицание — именно оно и делает результат положительным.

−x

Противоположное число — то, что стоит по другую сторону от нуля на том же расстоянии. Это не то же самое указание, что модуль: противоположное к 7 равно −7, тогда как модуль 7 равен 7, и совпадают эти два чтения только тогда, когда введённое число нулевое или отрицательное. То, что во втором столбце читается тот же знак, — не ошибка калькулятора, а определение операции, применённое к отрицательному числу.

1. Модуль положительного числа

   1. 7 не отрицательно, поэтому работает первое правило: |7| = 7
   2. Модуль равен 7 и остаётся без изменений
   3. Противоположное равно −7 — то же расстояние по другую сторону от нуля
   4. Два чтения различаются, и это обычный случай для положительного числа

   Случай, с которого страница открывается, и самый наглядный способ увидеть, что два столбца отвечают на разные вопросы. Убрать знак и перевернуть знак на бумаге выглядят похоже, но на положительном числе они дают разные ответы, и читатель, увидевший эту строку, больше их не спутает.

2. Модуль отрицательного числа

   1. −9 отрицательно, поэтому работает второе правило: |−9| = −(−9)
   2. Это 9, то есть расстояние от нуля до −9
   3. Противоположное к −9 тоже равно 9
   4. Оба столбца печатают 9 — одно и то же число дважды, и это не ошибка

   Строка, которую чаще всего принимают за ошибку. Когда введённое число отрицательно, две операции совпадают, потому что убрать знак и перевернуть знак приводят в одно и то же место: −x — это ровно то, чему равен модуль при отрицательном x. То, что столбцы сошлись, — это сведения, а не продублированный расчёт: они говорят, что введённое число было отрицательным.

3. Модуль числа между 1 и −1

   1. 0,125 положительно, поэтому модуль равен 0,125
   2. Противоположное равно −0,125
   3. Оба числа меньше единицы, и это не меняет ни одного из правил
   4. Модуль по-прежнему остаётся расстоянием от нуля

   Дроби ведут себя здесь ровно так же, как целые числа: правила говорят только о знаке и ни о чём больше, поэтому величина в них не участвует. У числа между 0 и 1 и модуль маленький, и противоположное такое же маленькое, а пара по-прежнему стоит на числовой прямой симметрично относительно нуля.

Страница принимает одно число и возвращает его модуль и противоположное к нему. Расстояние между двумя точками она не считает, хотя это расстояние и записывается через знак модуля: длина промежутка между a и b равна |a − b|, а для этого нужно два числа, и калькулятор общего расстояния, на который ведёт ссылка с этой страницы, принимает обе координаты. Когда введённое число отрицательно, оба столбца печатают одно и то же число, и это следствие определения, а не погрешность округления: при отрицательном x модуль и противоположное — это одно и то же выражение, −x. Ноль — единственное число, равное своему противоположному, и модуль у него тоже ноль. Входные значения ограничены пятнадцатью разрядами: дальше странице пришлось бы переходить на научную запись вместо обычной. Результат округляется до шести знаков после запятой для показа, тогда как вычисление идёт с полной точностью. Значка с классификацией на этой странице нет, потому что положительным, отрицательным или нулевым было введённое число, уже видно по самим двум числам.

Что такое модуль числа?

Это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой, поэтому оно никогда не бывает отрицательным. Модуль −9 равен 9, и модуль 9 тоже равен 9: оба числа стоят в девяти единицах от нуля, только по разные стороны. Две черты вокруг числа — это обозначение такого расстояния, а не скобка.

Почему для отрицательного числа калькулятор печатает одно и то же дважды?

Потому что при отрицательном числе модуль и противоположное — это одно и то же выражение. Определение говорит, что |x| = −x, когда x отрицательно, а противоположное по определению равно −x, поэтому столбцы обязаны совпасть. У числа −9 противоположное равно 9, и модуль тоже равен 9. Совпадение не является продублированным расчётом, оно сообщает сведения: оно сообщает, что введённое число было отрицательным или нулевым.

Чем модуль отличается от противоположного числа?

Модуль убирает знак, а противоположное число переворачивает его. На положительном числе это разные указания: модуль 7 равен 7, а противоположное к 7 равно −7. На отрицательном числе они приводят в одно место, а на нуле оба дают ноль. Страница показывает оба столбца, чтобы это различие было видно, а не принималось на веру.

Может ли модуль быть отрицательным?

Нет. Это расстояние, а расстояние отрицательным не бывает. Это верно для каждого действительного числа, включая очень большие по величине отрицательные: модуль −1 000 000 равен 1 000 000. Если вычисление дало отрицательный модуль, значит где-то определение применили неверно — чаще всего тем, что взяли противоположное у числа, которое и без того было положительным.

Есть ли у модуля нуля знак?

Модуль нуля равен нулю, а ноль — единственное число, равное своему противоположному. В арифметике JavaScript у нуля бывает ещё отрицательный ноль, который печатается как 0, но при строгом сравнении оказывается не равным нулю. Страница нормализует оба столбца, поэтому на входе ноль в каждом из них получается обычный ноль без затаившегося минуса.

Находит ли эта страница расстояние между двумя точками?

Нет. Она принимает одно число, а для расстояния между двумя точками нужно два: промежуток между a и b равен |a − b|. Справочная таблица ниже показывает такой расчёт на числовой прямой, а калькулятор расстояния, на который ведёт ссылка внизу страницы, делает это на плоскости, где в ответ входит квадратный корень из суммы двух квадратов, а не одно вычитание.

• Absolute Value — the two-case definition, the number-line reading as distance from zero, and the notation — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, the operation behind the page's second column — Wolfram MathWorld (United States)
• Real Line — the axis whose every point is a real number: the picture the absolute value is a distance on, and where the opposite sits — Wolfram MathWorld (United States)