Calculadora de dilatação térmica

ΔL = α · L · ΔT e, para um sólido isotrópico, ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

O coeficiente de dilatação linear, em partes por milhão por grau — uma constante do material, medida observando uma barra crescer sob uma variação de temperatura conhecida. É um número pequeno, e vale dizê-lo em voz alta: um metro de alumínio ganha alguns micrômetros por kelvin, e é por isso que nada na vida diária parece estar se dilatando. Entre os materiais comuns o coeficiente varia mais de trinta vezes. De um lado ficam as ligas projetadas justamente para quase não sentir o efeito, como o Invar, usado em hastes de pêndulo e em instrumentos de precisão; do outro ficam os plásticos, que respondem cerca de quatro vezes mais que o aço. Escolher a linha certa da tabela é, portanto, a maior parte do trabalho; a aritmética depois disso é uma multiplicação.

L

O comprimento na temperatura inicial, em milímetros, na unidade que você escolher. É o comprimento original, não o final — uma distinção que só aparece quando se tenta o caminho inverso, do comprimento final medido para o coeficiente, e é aí que uma quantidade surpreendente de contas feitas à mão erra em silêncio. O milímetro é a unidade base porque é a que mantém a resposta legível: um metro de alumínio aquecido em quarenta graus cresce menos de um milímetro, e escrever isso em metros não ajudaria ninguém. Zero é entrada válida — uma barra de comprimento nenhum não se dilata —, mas valor negativo não é, e é por isso que o limite inferior do campo é fechado em zero e a verificação recusa qualquer coisa abaixo disso.

ΔT

A variação de temperatura em kelvin, ou em graus Celsius — as duas escalas têm o mesmo tamanho, e aqui se trata de uma variação, não de uma temperatura, então qualquer uma das duas serve. Valores negativos são normais e significam resfriamento: o aço que esfria quarenta graus se contrai, e a dilatação sai negativa, que é exatamente o que a aritmética deve dizer. Os limites de -500 K a 500 K cobrem de nitrogênio líquido a um forno e deixam o campo bem aberto para quem trabalha na casa das dezenas de graus, que é onde quase todos os casos reais vivem.

ΔL

A variação do comprimento, em milímetros, impressa ao lado do comprimento novo para que a quantidade e o resultado de somá-la fiquem visíveis ao mesmo tempo. O número é pequeno em termos absolutos, e é justamente aí que mora a armadilha: menos de um milímetro parece trivial até a barra não ter para onde ir. Uma barra presa não consegue simplesmente deixar de se dilatar — a dilatação vira tensão, e como o módulo de elasticidade é grande, a força não é pequena de jeito nenhum. É por isso que trilhos são assentados com folga entre os segmentos, e por que uma ponte longa tem junta de dilatação numa das extremidades em vez de um tabuleiro contínuo. Esta página dá a dilatação livre; a tensão que aparece quando a dilatação é impedida é uma segunda conta, e é nela que mora o dano de verdade.

3 · α · ΔT

A parte volumétrica, mostrada como deformação em porcentagem e não como volume, porque é isso que a mesma medição entrega de graça: cada uma das três dimensões cresce a fração α · ΔT, então o volume de um cubo sólido cresce aproximadamente 3 · α · ΔT. Duas ressalvas vêm junto com o fator três. Ele vale para materiais isotrópicos — metais, vidros e plásticos tratados como uniformes —, mas não para a madeira, que se dilata de forma diferente ao longo da fibra e atravessando-a, nem para compósitos laminados, nem para monocristais. E é uma aproximação de pequena deformação: o fator exato é (1 + α·ΔT)³ - 1, que concorda com 3·α·ΔT em muitas casas decimais nesta ordem de grandeza e não concordaria numa variação de temperatura grande o bastante para importar.

Use isto antes de fixar as duas pontas de alguma coisa numa estrutura rígida: assentar trilho, pendurar uma linha de tubulação entre ancoragens, colocar um vidro que entra justo, parafusar uma peça de alumínio numa de aço ou escolher a folga do tabuleiro de uma ponte. Também serve para a versão cotidiana da mesma pergunta — a tampa metálica que solta depois da água quente, ou o pote que só abre depois de aquecido —, onde o mecanismo é a tampa se dilatar primeiro porque o coeficiente dela é maior ou a massa menor. A resposta vale para dilatação livre, sem restrição. Se a peça estiver presa nas duas pontas, esta página diz o comprimento que ela quer atingir, e o número muito mais útil — a tensão que aparece no lugar — vem do módulo de elasticidade do material, não daqui.

1. Primeira tela: um metro de alumínio, 40 K mais quente

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23,1×10⁻⁶ · 1.000 mm · 40 K
   2. 23,1×10⁻⁶ · 1.000 = 0,0231 mm por kelvin
   3. 0,0231 · 40 = 0,924 mm
   4. Comprimento novo: 1.000 + 0,924 = 1.000,924 mm
   5. Deformação volumétrica: 3 · 23,1×10⁻⁶ · 40 = 0,2772%

   Pouco menos de um milímetro num metro, para uma variação de temperatura que uma tarde de sol produz — é por isso que a página existe e que o resultado sai com três casas decimais. A linha da deformação é o mesmo resultado visto pelo outro lado: uma fração pequena do volume, mas não nula, e uma peça presa nas três direções não tem como absorvê-la. Repare também que o painel devolve o coeficiente escolhido: aquela linha é o material que você selecionou, e está ali para você conferir a lista suspensa antes de confiar no resto.

2. O caso clássico: um trilho de aço de 25 m, 60 K de sol

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25.000 mm · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25.000 = 0,3 mm por kelvin
   3. 0,3 · 60 = 18 mm
   4. Comprimento novo: 25.000 + 18 = 25.018 mm

   Dezoito milímetros numa única barra de trilho, entre uma noite de inverno e uma tarde de verão. É esse número que decide a largura da folga do trilho, e é por isso que as vias são assentadas com as folgas que têm em vez de um trilho contínuo soldado — e por que a via soldada moderna é tracionada e ancorada sob tensão controlada: assim os mesmos dezoito milímetros viram uma tensão administrável distribuída ao longo do trilho, e não dezoito milímetros de flambagem numa junta. A escolha não é sobre se o aço se dilata; ele sempre se dilata.

3. Resfriando, com resposta negativa: aço inoxidável, 40 K mais frio

   1. ΔL = 17,3×10⁻⁶ · 500 mm · (-40 K)
   2. 17,3×10⁻⁶ · 500 = 0,00865 mm por kelvin
   3. 0,00865 · (-40) = -0,346 mm
   4. Comprimento novo: 500 - 0,346 = 499,654 mm

   Nada muda além do sinal da variação de temperatura, e a calculadora relata a contração como dilatação negativa e um comprimento final menor. Essa é a convenção honesta e é a que se mantém na montagem: uma luva de aço inoxidável encolhida em nitrogênio líquido entra num eixo onde não caberia à temperatura ambiente, e o comprimento novo dela é o 499,654 mm mostrado acima, e não os 500 mm de usinagem. As duas linhas são impressas porque as duas importam: a quantidade de encolhimento para o ajuste, o comprimento final para o desenho de montagem.

4. O extremo da tabela: ferro fundido, 100 m, +500 K

   1. ΔL = 10,8×10⁻⁶ · 100.000 mm · 500 K
   2. 10,8×10⁻⁶ · 100.000 = 1,08 mm por kelvin
   3. 1,08 · 500 = 540 mm
   4. Comprimento novo: 100.000 + 540 = 100.540 mm
   5. Deformação volumétrica: 3 · 10,8×10⁻⁶ · 500 = 1,62%

   Meio metro, em cem metros, para uma variação de ambiente até forno. O coeficiente baixo do ferro fundido é a razão de ele ter sido o material de blocos de motor e de barramentos de máquina — entre os metais comuns é o que menos se move —, e o exemplo está aqui para mostrar a escala em que o efeito deixa de ser ignorável: 540 mm não é tolerância, é característica de projeto. Ele também mostra por que os limites do campo são tão largos: a página precisa sobreviver a quem realmente tem cem metros de tubulação indo do frio ao quente, e prefere responder a isso em vez de recusar.

A linha volumétrica supõe que o material se dilata do mesmo jeito em todas as direções, o que vale para metais e vidros e não vale para a madeira, para monocristais nem para compósitos laminados — nesses, cada eixo precisa do seu próprio coeficiente e o fator três não significa nada. Os coeficientes são citados para uma temperatura de referência próxima de 20 °C, e o α sobe devagar com a temperatura, então uma resposta para uma variação de 500 K é uma extrapolação a partir de uma medição feita à temperatura ambiente, não uma medição naquela temperatura. Os valores publicados também discordam entre si: o alumínio aparece com um valor numa das fontes abaixo e com outro maior na outra, uma diferença de alguns por cento, então trate a terceira casa decimal de qualquer resposta como enfeite e o primeiro dígito como a informação de verdade. Esta página dá a dilatação livre e não diz nada sobre o que acontece quando a peça fica presa nas duas pontas — a mesma dilatação, impedida, vira uma tensão da ordem de E·α·ΔT, que no aço ao longo de 60 K passa bem de cem megapascals, o suficiente para flambar um trilho ou trincar uma solda, e nada disso aparece nos números acima. Ela também não diz nada sobre o tempo: uma peça fundida grossa aquece de forma desigual, então a dilatação chega como gradiente e empenamento, e não como uma variação uniforme de comprimento. E supõe que a mudança acontece abaixo do ponto de amolecimento do material — um plástico perto da transição vítrea, ou qualquer coisa perto da fusão, está fora do que um único coeficiente consegue descrever.

Qual é a fórmula da dilatação térmica?

ΔL = α · L · ΔT: a variação do comprimento é igual ao coeficiente de dilatação linear do material vezes o comprimento original vezes a variação de temperatura. Para um sólido que se dilata igualmente em todas as direções, o volume cresce três vezes mais em termos relativos, e a deformação volumétrica é 3 · α · ΔT — a mesma relação com um fator que vem de haver três dimensões, e não de física extra. As duas aparecem nesta página, e a segunda é informada como deformação em porcentagem, não como volume, porque é a forma que o coeficiente entrega diretamente.

Quanto o aço se dilata por grau?

Cerca de doze milionésimos por kelvin, ou seja, um metro de aço cresce aproximadamente doze micrômetros a cada grau — mais ou menos um oitavo da espessura de uma folha de papel, que fica na casa dos décimos de milímetro. Ao longo dos sessenta kelvin entre uma noite de inverno e uma tarde de verão, um trilho de vinte e cinco metros cresce dezoito milímetros, e é por isso que existem folgas de trilho e que a via soldada precisa ser tracionada e ancorada. O alumínio responde cerca de duas vezes mais que o aço, e o PVC responde mais de quatro vezes o aço, e é por isso que tubulação plástica precisa de mais apoios e de liras de dilatação mais generosas que a metálica no mesmo trecho.

Por que a variação de volume é três vezes a variação de comprimento?

Porque um sólido cresce nas três direções ao mesmo tempo. Cada dimensão cresce a fração α·ΔT, então o volume de um cubo cresce (1 + α·ΔT)³ - 1, que para os números pequenos envolvidos é 3·α·ΔT com muito mais casas decimais do que qualquer um precisa. O fator três é consequência da isotropia, porém: ele supõe que o material se dilata de forma idêntica em cada eixo. A madeira não se comporta assim (ela se move muito mais atravessando a fibra do que ao longo dela), nem os monocristais, nem os compósitos laminados, e para esses a linha volumétrica desta página não é uma aproximação da resposta certa, e sim a resposta para outra pergunta.

O comprimento que eu informo é o original ou o final?

O original — o comprimento na temperatura inicial, antes de qualquer aquecimento. Isso importa mais do que parece: ir do comprimento final medido para o coeficiente significa dividir pelo comprimento original, e usar o final no lugar introduz um erro relativo da ordem de α·ΔT, desprezível no aço e nada desprezível num plástico sob uma variação grande de temperatura. A página imprime tanto a variação quanto o comprimento novo, para você ver qual é qual, e a variação é sempre relativa ao que você digitou.

Onde entram as juntas de dilatação?

Elas são o que se constrói quando não dá para deixar a dilatação livre. Uma peça presa nas duas pontas não fica com o comprimento que queria ter: a dilatação é impedida e vira tensão, da ordem do módulo de elasticidade do material vezes α·ΔT — no aço ao longo de sessenta kelvin isso passa bem de cem megapascals, o suficiente para flambar um trilho, arquejar uma tubulação ou trincar uma solda. Juntas de dilatação, liras, furos oblongos e apoios deslizantes são todas formas de dar ao material para onde ir, e existem porque a conta desta página precisa ser paga de um jeito ou de outro.

Por que tabelas diferentes trazem coeficientes diferentes?

Porque o coeficiente não é perfeitamente constante nem perfeitamente consensual. O α varia com a temperatura, então um valor citado a 20 °C e um valor médio entre 0 °C e 100 °C são números diferentes para o mesmo material, e manuais diferentes agrupam ligas diferentes sob o mesmo nome — o alumínio aparece com um valor numa das fontes abaixo e com outro maior na outra, e o aço inoxidável é uma família cujos coeficientes vão de cerca de dez a dezoito milionésimos por kelvin. Para a maioria dos usos a discordância é de alguns por cento e não muda a decisão. Quando ela muda — instrumentos de precisão, trechos longos, ajustes justos —, é motivo para medir o lote real, e não para procurar outra tabela.

• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids — ΔL = αLΔT with the definition of the coefficient, the β ≈ 3α relation for volume, and a table of coefficients for common metals — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — the handbook values this page's table is drawn against, including cast iron, brass, stainless and PVC — The Engineering ToolBox
• Dilatação térmica: o que é, tipos, exercícios - Brasil Escola — Brasil Escola