Calculadora de radicais

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), em que m² é o maior quadrado que divide r termos semelhantes: k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r

O radical: a raiz quadrada de um número inteiro r. Todo termo desta página é um múltiplo de um desses, e dois termos são semelhantes exatamente quando os r coincidem — o coeficiente na frente é o que se soma.

c

O coeficiente: o número inteiro que multiplica o radical, igual a 1 quando nada está escrito. Ele conta quantas cópias de √r estão sendo somadas, então 3√2 mais 2√2 são cinco delas, e 3√2 menos 3√2 não deixa nenhuma.

r

O radicando: o número embaixo da raiz. Simplificar um radical sozinho significa achar o maior quadrado m² que divide r e mover m para fora, o que deixa um radicando menor atrás. O menor radicando que um termo pode alcançar é 1, e √1 é simplesmente 1.

m²

O maior quadrado que divide o radicando — 36 para 72, 25 para 50, 4 para 8. Tomar o maior é o que faz a resposta ser a forma mais simples, e não apenas uma forma menor: 72 dividido por 4 dá 18, e 18 ainda tem um fator quadrado dentro.

termos semelhantes

Termos cujos radicandos coincidem depois da simplificação. Somar radicais é sempre somar termos semelhantes: o radicando é a unidade que está sendo contada, e ele nunca muda quando dois deles são somados. É por isso que juntar 6√2 e 3√2 dá 9√2, e não 9√4.

Recorra a esta página quando uma expressão com radicais — uma soma de raízes quadradas — precisar ser escrita na forma simplificada: conferir uma tarefa, arrumar uma resposta antes de usá-la em uma fórmula, ou descobrir se dois radicais que parecem diferentes são de fato o mesmo número por baixo. A conferência que acompanha isso é elevar o coeficiente ao quadrado e multiplicá-lo de volta para dentro da raiz: 6√2 é 36 × 2 = 72, então 6√2 e √72 são mesmo o mesmo número.

1. √72 + 3√2 - √8

   1. √72: 72 = 36 × 2, então o maior fator quadrado, 36, sai como 6 e deixa 6√2
   2. 3√2: o radicando 2 não tem fator quadrado, então este termo já está na forma mais simples
   3. √8: 8 = 4 × 2, então o 4 sai como 2 e deixa -2√2
   4. Os três termos agora são 6√2 + 3√2 - 2√2 — todos múltiplos de √2, então o radicando fica e os coeficientes se somam
   5. 6 + 3 − 2 = 7, então a soma é 7√2
   6. 7√2 é 9,899495 com seis casas

   O caso padrão, e a razão de esta página existir em vez de três simplificações separadas: os três radicais começam parecendo sem relação (72, 2 e 8) e acabam sendo o mesmo radical contado 6, 3 e 2 vezes. O radicando nunca muda enquanto eles são somados — só a contagem na frente dele muda.

2. √50 + 5 - √18

   1. √50: 50 = 25 × 2, então o 25 sai como 5 e deixa 5√2
   2. √18: 18 = 9 × 2, então o 9 sai como 3 e deixa -3√2
   3. 5 já é um número inteiro — não há nada embaixo de uma raiz para simplificar
   4. Os termos com radical são 5√2 - 3√2 = 2√2
   5. O número inteiro fica onde está, então a resposta é 5 + 2√2
   6. 5 + 2√2 é 7,828427 com seis casas

   Um número inteiro e um radical não são termos semelhantes, então eles ficam lado a lado em vez de serem somados em um só. Ainda assim são impressos em uma ordem fixa, o número inteiro primeiro, e é isso que faz 5 + 2√2 ser a resposta aqui e 2√2 + 5 ser a resposta da mesma soma escrita na ordem inversa.

3. √2 + √3, onde nada se junta

   1. √2: o radicando 2 não tem fator quadrado além de 1, então nada sai
   2. √3: 3 também não tem fator quadrado, então nada sai
   3. Os dois radicandos são 2 e 3 — diferentes, então os termos não são semelhantes
   4. A soma é escrita como está, √2 + √3
   5. √2 + √3 é 3,146264 com seis casas

   Aqui nada é feito, e isso é a resposta: radicais com radicandos diferentes não podem ser somados em um único radical, porque não existe número cujo quadrado seja 5 que possa representar √2 + √3. O decimal é informado mesmo assim, já que o valor está perfeitamente definido — ele só não tem uma forma exata mais curta.

Só raízes quadradas. Raízes cúbicas e de índice maior se juntam pela mesma regra — comparam-se os radicandos e somam-se os coeficientes —, mas escrevê-las exige um símbolo que carregue o índice, e a notação desta página não tem espaço para ele; a calculadora de raízes trata os índices maiores, um termo por vez. Só números inteiros são aceitos, tanto no coeficiente quanto embaixo da raiz: 2.5√2 tem forma exata (5√2)/2, que precisa de uma fração, e √2.5 é √10 ÷ 2 pelo mesmo motivo. Radicandos negativos são recusados porque nenhum número real ao quadrado dá um negativo. São aceitos até oito termos, e cada coeficiente e cada radicando é limitado a um milhão. Os decimais da resposta são arredondados em seis casas, então são aproximações de um valor exato, e não o valor em si. A forma exata é impressa como texto puro, e não como um número formatado: ela não recebe separador de milhar nenhum. Com √1000000 a forma exata sai como 1000, sem ponto, enquanto o decimal logo ao lado sai como 1.000,000000, com ponto — e com 1000000√2 a forma exata traz o coeficiente inteiro sem separador, 1000000√2, contra 1.414.213,562373 na outra leitura. Esta página não multiplica nem divide radicais entre si, e não racionaliza denominadores.

O que significa simplificar um radical?

Mover todo fator quadrado de dentro da raiz para fora dela, na forma de um coeficiente. √72 vira 6√2 porque 72 = 36 × 2 e 36 é um quadrado perfeito. O valor não muda — 6√2 é 8,485281 e √72 também —, mas a forma é a que um cálculo seguinte consegue usar.

Quando dois radicais são termos semelhantes?

Quando os números embaixo das raízes ficam iguais depois da simplificação. 6√2 e 3√2 são termos semelhantes e somam 9√2; √2 e √3 não são, e a soma deles não pode ser escrita como um único radical. Só os coeficientes se somam — o radicando é a unidade que está sendo contada, então ele fica parado.

Por que a resposta vem na forma exata em vez de um decimal?

Porque a maioria dos radicais é irracional, e um decimal só consegue aproximá-los. 7√2 é o valor exato; 9,899495 é o mesmo número arredondado em seis casas e está errado na sétima. Manter a forma exata é o que permite usar a resposta em um passo seguinte sem que os arredondamentos se acumulem.

Posso informar uma raiz cúbica?

Não nesta página. ∛8 + ∛2 se junta pela mesma regra das raízes quadradas, mas a notação exige um índice escrito no sinal da raiz, e esta página imprime um √ sem índice. Use a calculadora de raízes para um termo por vez, com qualquer índice de 2 a 12.

Por que um número inteiro é aceito junto com os radicais?

Porque um número inteiro é um radical cujo radicando chegou a 1 — √25 é 5, e 5 é 5√1. Tratá-lo assim faz com que números inteiros e radicais se juntem por uma única regra, e dá a ordem fixa em que a resposta é impressa: 5 + √2, com o número inteiro primeiro.

Como conferir a resposta?

Em duas etapas, mais uma conferência numérica. Primeiro, cada termo reescrito volta ao original se você elevar o coeficiente ao quadrado e multiplicar pelo radicando: 6√2 dá 6² × 2 = 72, 3√2 dá 3² × 2 = 18 e 2√2 dá 2² × 2 = 8, que são exatamente os radicandos de partida. Depois, os coeficientes: 6 + 3 − 2 = 7, e só eles se somam, porque o radicando não muda. No fim, o valor: 7√2 é 9,899495, e 9,899495 ao quadrado dá 98, que é 49 × 2 — o quadrado do coeficiente vezes o radicando. Somar os radicandos de partida, 72 + 18 − 8 = 82, não confere nada: 82 não é a resposta nem o quadrado dela.

• Quadratic Surd — the canonical form a√b with b square-free, which is exactly what the simplified radicand column is — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign and the operation it names, including why two radicals can only be added when their radicands agree — Wolfram MathWorld (United States)
• Like terms — what makes two terms addable, which for radicals is decided by the number under the root — SplashLearn (United States)