Calculadora de quartis

Q1 = valor na posição (n − 1) × 0,25, Q2 na posição (n − 1) × 0,5, Q3 na posição (n − 1) × 0,75 (interpolando entre vizinhos); IIQ = Q3 − Q1

xᵢ

Um valor do conjunto de dados. Quartis são posições na lista ordenada, então o que importa é a ordem dos valores, não o tamanho deles: uma leitura extrema desloca um pouco os marcadores das pontas, mas deixa a metade central quase intacta

n

Quantos valores a lista tem, até 200 aqui. As posições são contadas a partir de 0 e a última é n − 1, que é o motivo de as três posições dos quartis ficarem distribuídas nesse intervalo

Q1

O primeiro quartil, com cerca de 25% dos dados nele ou abaixo dele. Marca onde termina o quarto inferior da lista ordenada, e não é obrigatoriamente um valor que aparece nos seus dados

Q2

O segundo quartil, que é exatamente a mediana: metade dos dados nele ou abaixo dele. Ele aparece aqui para comparação, e a página dedicada à mediana calcula o mesmo número pela mesma regra

Q3

O terceiro quartil, com cerca de 75% dos dados nele ou abaixo dele. Junto com Q1 ele limita a metade central dos dados — a parte que um box plot desenha como uma caixa

IIQ

O intervalo interquartil, Q3 − Q1: a dispersão da metade central. Ele tem as unidades dos dados e, ao contrário do desvio padrão, quase não sente os valores atípicos, porque ignora os quartos das pontas por completo

Os quartis são o resumo certo quando os dados são assimétricos, têm valores atípicos ou estão em uma escala em que somar coisas não significa nada — rendas, preços de imóveis, tempos de resposta, notas de prova. Onde a média e o desvio padrão descrevem um sino simétrico, o resumo dos cinco números descreve uma distribuição de qualquer forma: a mediana diz onde fica o centro, Q1 e Q3 dizem quanto a metade central se estica, e o menor e o maior valor limitam todo o resto. O intervalo interquartil é o companheiro habitual da mediana pelo mesmo motivo que o desvio padrão acompanha a média, e é o número que as pessoas citam quando querem uma dispersão que uma leitura fora da curva não consegue inflar. Ele é também a base do box plot e da regra de 1,5 × IIQ para sinalizar possíveis valores atípicos: a cerca é traçada aqui, mas a sinalização é outro trabalho. Use os quartis ao lado de um histograma quando puder: quatro pontos de corte não conseguem mostrar se os dados têm dois picos, e um conjunto bimodal produz um resumo dos cinco números com aparência perfeitamente comum. A convenção usada aqui é a de Hyndman–Fan tipo 7, a mesma da função quantile do R e do quartil do NumPy: ela interpola entre valores vizinhos. Muitos livros, entre eles o texto de estatística da OpenStax, dividem os dados na mediana e tomam o meio de cada metade, o que dá números diferentes sempre que a contagem não é múltipla de quatro.

1. Oito valores: Q1 = 4, Q3 = 5,5, IIQ = 1,5

   1. Ordene: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — oito valores, então n − 1 = 7
   2. Q1: posição 7 × 0,25 = 1,75, que fica entre o 4 da posição 1 e o 4 da posição 2, então Q1 = 4
   3. Q2: posição 7 × 0,50 = 3,5, entre 4 e 5, então Q2 = 4,5 — a mesma mediana que a página da mediana informa
   4. Q3: posição 7 × 0,75 = 5,25, entre o 5 da posição 5 e o 7 da posição 6: 5 + 0,25 × 2 = 5,5
   5. IIQ: 5,5 − 4 = 1,5, ou seja, a metade central dos dados ocupa uma faixa de 1,5

   A metade central aqui são os quatro valores de 4 a 5,5, e o IIQ é a largura dessa faixa. Repare que Q1 caiu exatamente sobre um ponto dos dados e Q3 não: quais quartis coincidem com valores observados depende inteiramente da contagem, e o resumo dos cinco números é uma descrição de posições, não um subconjunto dos dados.

2. Quatro valores, em que todo quartil é interpolado

   1. Ordene: 1, 2, 3, 4 — quatro valores, então n − 1 = 3
   2. Q1: posição 3 × 0,25 = 0,75, três quartos do caminho de 1 até 2, então Q1 = 1,75
   3. Q2: posição 3 × 0,50 = 1,5, no meio entre 2 e 3, então Q2 = 2,5
   4. Q3: posição 3 × 0,75 = 2,25, um quarto do caminho de 3 até 4, então Q3 = 3,25
   5. IIQ: 3,25 − 1,75 = 1,5

   É este o caso que separa as convenções, então vale saber o que a alternativa dá. O método usado pela OpenStax e por muitos livros divide os dados na mediana e toma o meio de cada metade: a metade inferior é 1 e 2, então Q1 = 1,5; a superior é 3 e 4, então Q3 = 3,5, e o IIQ passa a 2. Esta página interpola entre vizinhos, que é o padrão do R e do NumPy, e imprime Q1 e Q3 para que você veja qual convenção produziu os números.

3. Os mesmos 14 valores do livro, calculados do outro jeito

   1. Ordene: 1, 1, 2, 2, 4, 6, 6,8, 7,2, 8, 8,3, 9, 10, 10, 11,5 — quatorze valores, então n − 1 = 13
   2. Q2: posição 13 × 0,50 = 6,5, no meio entre 6,8 e 7,2, então Q2 = 7 — exatamente a mediana que o livro informa
   3. Q1: posição 13 × 0,25 = 3,25, um quarto do caminho do 2 da posição 3 até o 4 da posição 4, então Q1 = 2,5
   4. Q3: posição 13 × 0,75 = 9,75, três quartos do caminho de 8,3 até 9, então Q3 = 8,825
   5. IIQ: 8,825 − 2,5 = 6,325

   Os mesmos quatorze números aparecem na seção sobre medidas de posição da OpenStax, que usa o método das metades e informa Q1 = 2 e Q3 = 9, com IIQ igual a 7. As duas respostas vêm de uma regra documentada e ensinável; elas diferem porque interpolam de maneiras diferentes entre as mesmas observações. A mediana coincide exatamente, e é essa a parte tranquilizadora: seja qual for a convenção, o meio de um conjunto de dados é o meio de um conjunto de dados.

Quatro pontos de corte não descrevem uma distribuição sozinhos. Dois conjuntos de dados podem compartilhar todos os quartis e não se parecer em nada — um agrupado, outro com dois picos — então leia o resumo dos cinco números ao lado de um histograma quando a forma importar. Os quartis também são uma convenção, não um fato: esta página interpola entre valores vizinhos, seguindo Hyndman–Fan tipo 7, e o método das metades usado por muitos livros dará números diferentes sempre que a contagem não for múltipla de quatro. A contagem importa de outra maneira também: com menos de quatro valores todo quartil é uma interpolação, e com um único valor os cinco números são aquele valor e o IIQ é zero, porque não há dispersão a medir. A lista é limitada a 200 valores, e um número como 1.500 é recusado em vez de adivinhado, já que uma vírgula entre dígitos é separador decimal em alguns países e separador de milhar em outros. Nada nesta página sinaliza valores atípicos: a cerca de 1,5 × IIQ é a regra padrão para isso, e aplicá-la é trabalho de outra ferramenta.

Como encontrar os quartis de um conjunto de dados?

Ordene a lista e leia três posições: (n − 1) × 0,25 para Q1, (n − 1) × 0,50 para Q2 e (n − 1) × 0,75 para Q3, interpolando quando a posição cair entre dois valores. Com oito valores as posições são 1,75, 3,5 e 5,25, o que dá Q1 = 4, Q2 = 4,5 e Q3 = 5,5. O intervalo interquartil é então Q3 − Q1, que aqui vale 1,5. Os três quartis, o menor e o maior valor aparecem impressos acima, então o resumo inteiro cabe em uma tela.

Por que o meu Q1 é diferente do de outra calculadora?

Porque os quartis são uma convenção, não um fato, e as duas convenções comuns discordam sempre que a contagem não é múltipla de quatro. Esta página interpola entre valores vizinhos, seguindo Hyndman–Fan tipo 7, o padrão do R e do NumPy. Muitos livros, entre eles o da OpenStax, dividem os dados na mediana e tomam o meio de cada metade: para os quatorze valores dele isso dá Q1 = 2 e Q3 = 9, enquanto esta página devolve 2,5 e 8,825. As duas são regras documentadas. Já Q2, a mediana, sai idêntico dos dois jeitos.

O que o intervalo interquartil me diz?

É a largura da metade central dos dados: a faixa que contém os 50% de valores entre Q1 e Q3. Ele carrega as unidades dos seus dados, então um IIQ de 1,5 quer dizer que a metade central ocupa 1,5 daquilo que você mediu. Como ele descarta os quartos de cima e de baixo, uma leitura extrema quase não o move, e é por isso que ele é a dispersão habitual a citar ao lado de uma mediana. Um IIQ igual a zero significa que a metade central é um único valor repetido — metade dos seus dados ou mais é idêntica —, e não que algo deu errado.

O que é o resumo dos cinco números?

O menor valor, Q1, a mediana, Q3 e o maior valor: os cinco números que esta página imprime, em geral escritos nessa ordem. É a maneira padrão de descrever um conjunto de dados sem supor nenhuma forma em particular, e é exatamente o que um box plot desenha: uma caixa de Q1 a Q3 com uma linha na mediana, e hastes até os extremos. O IIQ mostrado no topo não é um dos cinco; ele é Q3 − Q1, a largura da caixa.

Um quartil pode ser um valor que não está nos meus dados?

Pode, e com listas pequenas em geral é. Um quartil é uma posição na escala dos dados, então 1,75 para os quatro valores 1, 2, 3 e 4 é um primeiro quartil perfeitamente comum, ainda que nenhum valor 1,75 apareça na lista. Quando a posição cai exatamente sobre um número inteiro, o quartil coincide com um valor observado. Os dois casos são impressos com a contagem ao lado, para que você veja qual deles está na sua frente.

Esta página sinaliza valores atípicos?

Não. Ela entrega o intervalo interquartil, que é a entrada da regra padrão: um valor é tratado como possível atípico se estiver mais de 1,5 × IIQ abaixo de Q1 ou acima de Q3. Aplicar essa cerca é deliberadamente trabalho de outra ferramenta, para que esta página continue sendo uma descrição honesta dos dados em vez de um veredito sobre quais pontos descartar. Para os oito valores acima, 1,5 × IIQ é 2,25, então a cerca vai de 1,75 a 7,75.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 (defines the quartiles and the interquartile range as the spread of the middle half, and works through the 14-value example; its halves method differs from the interpolation used here) — OpenStax, Rice University
• quantile — R stats package reference (documents the nine quantile types; type 7, the default, is the convention used here for all three quartiles) — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy reference (the method=linear default interpolates exactly as this page does) — NumPy