Calculadora de multiplicação

a × b: escreva os algarismos de b como b₀ + 10·b₁ + …, calcule a × b_k em uma linha própria, aplique o deslocamento de k casas e some as linhas produto = (a × b) com a vírgula colocada tantas casas a partir da direita quantas forem as casas decimais somadas

a

O multiplicando, o número que está sendo multiplicado. Ele entra inteiro em cada linha, então permanece de uma peça só enquanto o outro número é desmontado.

b

O multiplicador, o número cujos algarismos são tomados um de cada vez a partir da direita. Cada algarismo dele produz uma linha, inclusive o algarismo zero, porque essa linha registra qual casa o algarismo ocupava — uma casa vazia ainda é informação.

deslocamento

Quantas casas a linha é escrita mais à esquerda, igual à posição do algarismo do multiplicador. É o valor posicional em ação: o 4 de 45 vale quarenta, então o produto parcial dele é dez vezes maior que o produzido pelo algarismo das unidades. No papel o deslocamento é mostrado começando a linha mais à esquerda; em uma tabela ele precisa virar um número.

casas decimais

A quantidade de algarismos depois da vírgula, somada entre os dois fatores em vez de contada em um deles. O 2,3 tem uma e o 4,5 tem uma, então o produto carrega duas, e 1.035 vira 10,35. Nada no trabalho com os algarismos depende disso: a multiplicação roda inteira sobre números inteiros e a vírgula é colocada depois.

Use esta página para multiplicar dois números à mão e guardar o desenvolvimento: conferir um produto feito no papel, ensinar o passo do deslocamento, ou lidar com casas decimais quando a posição da vírgula é justamente a parte que dá errado. Multiplicar um número por ele mesmo repetidas vezes é a página de potenciação; a multiplicação de frações segue uma regra própria, numerador por numerador e denominador por denominador.

1. 23 × 45

   1. Multiplique pelo algarismo das unidades: 23 × 5 = 115, escrito sem deslocamento
   2. Multiplique pelo algarismo das dezenas: 23 × 4 = 92
   3. O algarismo das dezenas vale dez vezes mais, então essa linha se desloca uma casa para a esquerda e passa a ler 920
   4. Some as linhas: 115 + 920 = 1.035
   5. Nenhum dos fatores tem casas decimais, então o produto também não tem
   6. O produto é 1.035

   O caso padrão. O 0 no fim de 920 é o deslocamento tornado visível — no papel aquela linha simplesmente começa uma coluna mais à esquerda, e na leitura ele vira um algarismo que precisa ser escrito. As duas linhas somadas são uma adição em colunas comum, que é a página ao lado. Repare que o produto sai como 1.035,000000: seis casas decimais fixas, mesmo sem nenhuma casa decimal de verdade nos fatores.

2. Os mesmos algarismos, com vírgulas

   1. Ignore as vírgulas e multiplique os algarismos: 23 × 45 é o exemplo anterior
   2. Os produtos parciais são 115 e 920, sem nenhuma mudança
   3. Conte as casas decimais: 2,3 tem uma e 4,5 tem uma, então o produto tem duas
   4. Coloque a vírgula duas casas a partir da direita de 1.035
   5. O produto é 10,35

   A declaração mais clara de como as casas decimais funcionam aqui: o trabalho com os algarismos é idêntico ao de multiplicar 23 por 45, e toda a diferença está em onde a vírgula cai. É também por isso que as casas decimais são informadas como uma soma, e não contadas em um dos fatores. Os produtos parciais impressos são 115 e 920, e não 1,15 e 9,20 — eles são os produtos da forma inteira dos fatores, anteriores à vírgula.

3. Um algarismo zero no multiplicador

   1. Multiplique pelo algarismo das unidades: 23 × 0 = 0, escrito sem deslocamento
   2. Multiplique pelo algarismo das dezenas: 23 × 4 = 92, deslocado uma casa para a esquerda, então 920
   3. Some as linhas: 0 + 920 = 920
   4. O produto é 920

   A linha de zero é mantida em vez de pulada. Escrita à mão ela costuma ser omitida, mas a posição dela é justamente o que está sendo registrado — ela diz que o algarismo das unidades do 40 não contribuiu com nada — e a conferência de que as linhas somam o produto só vale se a linha estiver lá. Esta é a escolha oposta à da página de produtos notáveis, em que um termo que dá zero é descartado: lá o termo vazio não existe, enquanto aqui uma linha é de fato escrita.

Os dois fatores podem carregar no máximo seis casas decimais somadas entre eles, e o que é limitado é a soma, não cada número. Essa é uma limitação de exibição, não de aritmética: o painel imprime o produto com seis casas decimais, e se essa guarda não existisse um produto que precisasse de oito casas sairia impresso como 0,000000 — uma resposta errada com cara de resposta certa. Ela existe, então esse valor errado nunca chega a aparecer: o que a página faz com esses fatores é recusá-los e dizer quantas casas vieram. Cada fator é limitado a um milhão em valor absoluto, e a forma inteira do produto ao maior inteiro representável com exatidão, porque os algarismos são lidos casa por casa e além desse limite os produtos parciais deixam de somar o resultado. Fatores negativos são aceitos, e os produtos parciais saem sem sinal; o sinal aparece apenas no produto final. O zero é um fator legítimo, e o produto de um negativo com um zero sai como 0,000000, e não como um zero negativo. Os produtos parciais são impressos como texto puro, e não como números formatados: os itens são separados por vírgula e espaço e nenhum deles recebe separador de milhar, mesmo os de sete, treze algarismos. Com 1.000 e 1.000 como fatores, o produto aparece como 1.000.000,000000, com pontos de milhar, enquanto os produtos parciais logo ao lado saem como 0, 0, 0, 1000000 — o último deles sem nenhum ponto. Esta página multiplica; a divisão é outro procedimento, com regras próprias de coluna.

O que é multiplicação passo a passo?

É multiplicar dois números desmontando os algarismos de um deles: cada algarismo do multiplicador produz uma linha, as linhas são deslocadas para a esquerda conforme a casa que aquele algarismo ocupava e no fim as linhas são somadas. Dá o mesmo produto que uma calculadora, com as linhas intermediárias guardadas.

Por que os produtos parciais são deslocados?

Porque o valor de um algarismo depende de onde ele está. O 4 de 45 vale quarenta, então tudo o que ele multiplica precisa sair dez vezes maior do que o que o 5 produziu, e escrever a linha uma casa mais à esquerda é como isso é registrado. É a mesma regra que faz as colunas de uma adição se alinharem, e é o valor posicional em ação.

Como sei onde a vírgula decimal fica?

Conte as casas decimais dos dois fatores e some. O 2,3 tem uma e o 4,5 tem uma, então o produto tem duas e 1.035 vira 10,35. Os algarismos nunca veem a vírgula: a multiplicação inteira roda sobre números inteiros e a vírgula é colocada no fim.

Por que uma linha de zeros é mantida?

Porque a posição da linha é a informação. Quando o algarismo das unidades do multiplicador é zero, aquela linha diz que a casa das unidades não contribuiu com nada, e descartá-la perderia o fato de a linha restante estar deslocada. Mantê-la também garante que as linhas sempre somem o produto, que é a conferência que a página foi feita para sustentar.

O que acontece com fatores negativos?

O produto é negativo quando exatamente um dos fatores é negativo, e positivo quando os dois são. Os produtos parciais saem sem sinal nos dois casos, acompanhando o modo como uma conta escrita à mão mantém o sinal de menos fora do desenvolvimento — e é isso que os mantém somando o produto.

Por que um produto inteiro sai com uma fila de zeros?

Porque o painel imprime o produto com seis casas decimais fixas, então 1.035 sai como 1.035,000000. A alternativa seria imprimir o produto como texto, e isso colocaria um ponto no meio da resposta — errado em um site que atende dez idiomas, vários deles com vírgula decimal, e pior do que alguns zeros no fim.

• Base — why shifting a partial product one place left multiplies it by ten, which is what the shift column records — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — multiplication applied to a number and itself, the case where both factors are the same — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the inverse operation, and the reason it needs a different column procedure rather than a variation on this one — Wolfram MathWorld (United States)