Para que serve a função erro?

Para medir quanto de uma curva gaussiana fica entre o centro e um ponto dado, o que é a mesma coisa que uma probabilidade numa distribuição normal padrão. O valor em x = 1 é 0,842701, e somar um e dividir por dois dá 0,921351, a probabilidade de uma variável normal padrão ficar dentro de um desvio padrão em torno da média, dos dois lados.

O que é erfc e como ela se relaciona com erf?

É a função erro complementar, definida como um menos a função erro, então as duas leituras desta página sempre somam exatamente 1. Ela existe como função separada e não como detalhe porque é a que se quer para entradas grandes: em x = 4 a função erro já se achatou sobre 1 e só a complementar ainda carrega a informação.

Por que não posso informar um valor maior que seis?

Porque depois de seis não sobra nada para medir. O valor verdadeiro em x = 6 é 1 menos cerca de 2 × 10⁻¹⁷, e um double não consegue distinguir isso de 1, então a coluna da função erro imprimiria 1 e a complementar imprimiria exatamente zero. O limite é uma afirmação sobre o que pode ser representado, e não sobre o custo da conta — a série converge em cerca de duzentos termos ali.

Por que a complementar deixa de ser exata para entradas grandes?

Porque ela é obtida por subtração. Quando a função erro já está colada em 1, subtraí-la de um deixa apenas alguns algarismos significativos, e tudo o que vem antes deles é ruído de cancelamento. A complementar verdadeira em x = 5 é 1,5374598 × 10⁻¹² e esta página devolve 1,536438 × 10⁻¹². A própria função erro não sofre disso, e é por isso que ela é a leitura principal.

Posso obter aqui a probabilidade da distribuição normal?

Não diretamente, e a página de propósito não oferece isso. A função de distribuição normal padrão é construída a partir da função erro somando um e dividindo por dois, mas a calculadora de distribuição normal recebe também uma média e um desvio padrão além do valor e relata a probabilidade direto — o que é uma resposta melhor para essa pergunta do que um número padronizado seria.

Calculadora de função erro

Resultado

0,842701

erf(x)

erfc(x): 0,157299

Uma calculadora de função erro devolve erf(x) e a sua complementar erfc(x) para a mesma entrada, então as duas leituras sempre somam um. A função erro é a integral da curva em forma de sino de zero até x, e é por isso que ela aparece em toda medição de uma distribuição gaussiana: erf(1) é 0,842701 e, como erfc(1) é 0,157299, a função erro complementar é simplesmente um menos a primeira leitura. A página calcula os valores a partir da definição em série, porque a linguagem em que ela é escrita não traz nenhuma função erro embutida, e aceita entradas negativas além das positivas. As entradas são limitadas a seis para cima e para baixo, que é o ponto a partir do qual a curva se achata a ponto de não ter mais nada a distinguir.

A função erro e a sua complementar nos valores que as pessoas consultam

x	erf(x)	erfc(x)
0	0	1
0.25	0.276326	0.7236736
0.5	0.5205	0.4795001
0.75	0.711156	0.2888444
1	0.842701	0.1572992
1.5	0.966105	0.03389485
2	0.995322	0.004677735
2.5	0.999593	0.000406952
3	0.999978	0.0000220905

Toda linha soma um nas duas últimas colunas, que é a definição de uma complementar e a maneira mais rápida de conferir qualquer número desta tabela. A metade de cima é onde a complementar rareia: quanto maior o x, mais zeros aparecem antes do primeiro dígito significativo da coluna erfc(x). Ler a coluna do meio de cima para baixo mostra a curva se achatando — o primeiro meio ponto de x já cobre metade da subida, e todo o resto é o último meio por cento. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

erf x = (2 ÷ √π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt erfc x = 1 − erf x (função erro e função erro complementar)

x: O valor que está sendo medido, um número puro, sem unidades. Ele pode ser negativo, e nesse caso a função erro é ímpar e devolve o negativo da resposta positiva: erf(−1) é −0,842701. A faixa prática vai de −6 a 6, e fora dela a curva já se achatou tão por completo que um double não consegue distinguir o valor de 1.
e^(−t²): O sino gaussiano, a curva que está sendo integrada. É o formato dela que faz a função erro importar: a área sob ela entre dois valores é uma probabilidade, e é por isso que a mesma integral aparece em toda pergunta sobre distribuição normal e por que a companheira natural desta página é a calculadora de distribuição normal.
√π: O fator de normalização na frente da integral, aproximadamente 1,772454. Sem ele a curva inteira integraria √π em vez de 1, e a função erro não iria de −1 a 1. Aqui ele é uma constante e não uma variável, o que vale dizer porque ele tem cara de variável.
erf x: A própria função erro, impressa com seis casas decimais. Ela vai de −1 a 1, cruza o zero na origem e chega a 0,842701 quando x é 1. O valor é uma área de verdade e não uma probabilidade: para transformá-lo em uma, some um e divida por dois, que é exatamente como a função de distribuição normal padrão é construída a partir dele.
erfc x: A função erro complementar, um menos erf, que começa em 1 para entradas muito negativas e cai em direção a zero. Ela é relatada em notação científica quando fica abaixo de um milésimo, porque aí cobre uma faixa enorme de ordens de grandeza; acima disso o painel mantém a forma comum, com seis casas decimais. Não é uma segunda medição, e sim a mesma lida pelo outro extremo: erfc é a área da cauda, e a cauda é exatamente o que se quer quando x está longe de zero.

Use esta página quando a resposta de que você precisa for a função erro ou a complementar dela como estão escritas. Se o que você quer de fato é a probabilidade de uma variável normal ficar abaixo de um certo valor, a calculadora de distribuição normal recebe uma média e um desvio padrão e devolve essa probabilidade direto, que é o mesmo número alcançado por um caminho mais curto. A função erro é a primitiva por baixo disso, e esta página é onde a primitiva em si pode ser lida.

Exemplos resolvidos

O valor que todo mundo encontra primeiro: x = 1
1. A série é avaliada em x = 1, e converge em algumas dezenas de termos
2. erf(1) sai em 0,842701
3. A complementar é um menos isso: 1 − 0,842701 = 0,157299
4. Somar as duas leituras dá 1,000000, que é a conferência que vale rodar em qualquer linha desta página
O fato de as duas leituras somarem um não é coincidência de arredondamento, é a definição da palavra complementar. Lida como área, ela diz que tudo o que está sob a curva do sino ou está a menos de uma unidade do centro ou está além disso. É também esta a linha que se converte mais diretamente naquele número familiar de aproximadamente 68 por cento dentro de um desvio padrão.
Dois, onde a cauda vai ficando fina
1. erf(2) é 0,995322, então a curva quase terminou a subida
2. A complementar é 1 − 0,995322 = 0,004678, agora abaixo de meio por cento
3. Esse valor ainda está acima de um milésimo, então o painel o imprime na forma comum, com seis casas decimais, e não em notação científica
4. As duas leituras continuam somando um, com a complementar reduzida a quatro algarismos significativos
Repare na precisão da complementar, e não na da função erro. Calcular um menos um número muito próximo de um descarta os algarismos iniciais, e nesta linha a complementar já perdeu a maior parte deles — é por isso que a página trata a complementar por algarismos significativos em vez de casas decimais. Essa diferença só fica visível quando o valor sai da janela da forma comum e passa a ser escrito em notação científica, como acontece em x = 4; enquanto ele fica dentro da janela, o painel simplesmente imprime seis casas decimais.
Quatro, onde a complementar começa a acabar
1. O valor verdadeiro de erf(4) é um menos cerca de 1,54 × 10⁻⁸
2. Como double isso é indistinguível de 1, então a coluna da função erro imprime exatamente 1
3. A complementar é então calculada como 1 − erf e devolve 1,541726 × 10⁻⁸
4. É na subtração que a exatidão se perde: a resposta tem só alguns poucos algarismos bons sobrando
Este é o limite honesto da página e a razão pela qual a faixa de entrada para em 6. Aqui a complementar é a diferença entre dois números que concordam até a oitava casa decimal, então é o resto pequeno de um cancelamento; o valor verdadeiro é 1,5417 × 10⁻⁸ e alguns algarismos iniciais dele são confiáveis. Em x = 6 os dois doubles ficam iguais e a subtração devolve exatamente zero, com o painel imprimindo 0,000000, enquanto a verdade está em torno de 2 × 10⁻¹⁷.

Limitações

A entrada é limitada a 6 para cima e para baixo. Esse é um limite de precisão e não de desempenho: além dele a função erro fica tão próxima de 1 que um double não consegue representar a diferença, e a página estaria imprimindo ruído. Mesmo dentro da faixa há um limite que vale conhecer — a complementar é calculada por subtração, e depois que x passa de aproximadamente 4,5 essa subtração cancela a maior parte dos algarismos significativos, de modo que os valores de erfc ali carregam apenas alguns poucos algarismos bons. Isso não é corrigido aqui, e corrigir significaria uma segunda implementação da complementar em vez de um ajuste nesta. A própria função erro é exata dentro de uma ou duas unidades na última posição ao longo de toda a faixa. Só os dois valores são dados: a função de distribuição normal padrão não está entre as saídas, já que é a mesma informação por outro caminho e a calculadora de distribuição normal a relata como uma probabilidade, com uma média e um desvio padrão para trabalhar. Não há unidades envolvidas em lugar nenhum desta página; a entrada é um número puro. Os valores são calculados a partir de uma série escrita para esta página, e não de uma biblioteca da plataforma, porque a linguagem não oferece nenhuma. Por fim, a exibição: valores de erfc abaixo de um milésimo aparecem em notação científica, e um valor que o cancelamento reduza a zero aparece como 0,000000 sem nenhum aviso de que houve perda.

Perguntas frequentes

Para que serve a função erro?: Para medir quanto de uma curva gaussiana fica entre o centro e um ponto dado, o que é a mesma coisa que uma probabilidade numa distribuição normal padrão. O valor em x = 1 é 0,842701, e somar um e dividir por dois dá 0,921351, a probabilidade de uma variável normal padrão ficar dentro de um desvio padrão em torno da média, dos dois lados.
O que é erfc e como ela se relaciona com erf?: É a função erro complementar, definida como um menos a função erro, então as duas leituras desta página sempre somam exatamente 1. Ela existe como função separada e não como detalhe porque é a que se quer para entradas grandes: em x = 4 a função erro já se achatou sobre 1 e só a complementar ainda carrega a informação.
Por que não posso informar um valor maior que seis?: Porque depois de seis não sobra nada para medir. O valor verdadeiro em x = 6 é 1 menos cerca de 2 × 10⁻¹⁷, e um double não consegue distinguir isso de 1, então a coluna da função erro imprimiria 1 e a complementar imprimiria exatamente zero. O limite é uma afirmação sobre o que pode ser representado, e não sobre o custo da conta — a série converge em cerca de duzentos termos ali.
Por que a complementar deixa de ser exata para entradas grandes?: Porque ela é obtida por subtração. Quando a função erro já está colada em 1, subtraí-la de um deixa apenas alguns algarismos significativos, e tudo o que vem antes deles é ruído de cancelamento. A complementar verdadeira em x = 5 é 1,5374598 × 10⁻¹² e esta página devolve 1,536438 × 10⁻¹². A própria função erro não sofre disso, e é por isso que ela é a leitura principal.
Posso obter aqui a probabilidade da distribuição normal?: Não diretamente, e a página de propósito não oferece isso. A função de distribuição normal padrão é construída a partir da função erro somando um e dividindo por dois, mas a calculadora de distribuição normal recebe também uma média e um desvio padrão além do valor e relata a probabilidade direto — o que é uma resposta melhor para essa pergunta do que um número padronizado seria.

Referências

Erf — the definition as an integral of the gaussian, the series expansion, and the values at small arguments — Wolfram MathWorld (United States)
DLMF §7.2: Error Functions — the definition, the symmetry relation, and the series used to evaluate them — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions
DLMF §7.12: Asymptotic Expansions for Error Functions — why the complement loses accuracy and how it is recovered — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions

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