Calculadora de valor absoluto

|x| = x (x ≥ 0) |x| = −x (x < 0) oposto = −x

x

O número informado. Qualquer número real é aceito dentro da faixa da página: positivo, negativo, zero, inteiro ou fracionário. Nada na entrada é restringido, porque o valor absoluto está definido para todo número real — é a única operação deste site que não tem domínio a declarar.

|x|

O valor absoluto, a leitura principal: a distância do zero até o número na reta numérica, que nunca é negativa. Está escrito como duas regras em vez de uma porque a regra muda no zero — para um número não negativo você simplesmente não tira nada, e para um número negativo você toma a negação dele, que é o que faz o resultado ficar positivo.

−x

O oposto, o número do outro lado do zero à mesma distância. Não é a mesma instrução que o valor absoluto: o oposto de 7 é −7, enquanto o valor absoluto de 7 é 7, e os dois só coincidem quando a entrada é zero ou negativa. Ler o sinal na segunda coluna não é defeito da calculadora; é a definição da operação aplicada a um número negativo.

1. O valor absoluto de um número positivo

   1. 7 não é negativo, então vale a primeira regra: |7| = 7
   2. O valor absoluto é 7, sem alteração
   3. O oposto é −7, a mesma distância do outro lado do zero
   4. As duas leituras diferem, que é o caso comum para uma entrada positiva

   É o caso com que a página abre, e o jeito mais claro de ver que as duas colunas respondem a perguntas diferentes. Remover um sinal e trocar um sinal até parecem a mesma coisa no papel, mas em um número positivo dão respostas diferentes, e quem viu esta linha não confunde mais as duas.

2. O valor absoluto de um número negativo

   1. −9 é negativo, então vale a segunda regra: |−9| = −(−9)
   2. Isso dá 9, a distância do zero até −9
   3. O oposto de −9 também é 9
   4. As duas colunas imprimem 9 — o mesmo número duas vezes, e não um erro

   A linha que mais volta como relato de defeito. Quando a entrada é negativa, as duas operações coincidem, porque remover o sinal e trocar o sinal levam ao mesmo lugar: −x é exatamente o que o valor absoluto é para um x negativo. As colunas concordarem é informação, não um cálculo duplicado — diz que a entrada era negativa.

3. O valor absoluto de um número entre 1 e −1

   1. 0,125 é positivo, então o valor absoluto é 0,125
   2. O oposto é −0,125
   3. Os dois números são menores que 1, o que não muda nenhuma das regras
   4. O valor absoluto continua sendo a distância até o zero

   Frações se comportam exatamente como números inteiros aqui — as regras são sobre o sinal e sobre mais nada, então o tamanho nunca entra na conta. Um número entre 0 e 1 tem valor absoluto pequeno e um oposto igualmente pequeno, e o par continua simétrico em relação ao zero na reta numérica.

A página recebe um número e devolve o valor absoluto e o oposto dele. Ela não calcula a distância entre dois pontos, ainda que essa distância se escreva com barras de valor absoluto — o comprimento do intervalo entre a e b é |a − b|, que precisa de dois números para começar, e a calculadora de distância ligada nesta página recebe as duas coordenadas. Quando a entrada é negativa, as duas colunas imprimem o mesmo número, e isso é consequência da definição, não um artefato de arredondamento: para um x negativo, o valor absoluto e o oposto são a mesma expressão, −x. Zero é o único número igual ao próprio oposto, e o valor absoluto dele também é zero. O campo aceita valores de até 10¹⁵ em qualquer direção, e fora dessa faixa a página recusa a entrada em vez de responder. O resultado é arredondado para seis casas decimais na exibição, enquanto a aritmética por trás dele roda em precisão total. Não há faixa de classificação nesta página, porque se a entrada era positiva, negativa ou zero já está visível nos dois números que ela imprime.

O que é o valor absoluto de um número?

É a distância desse número até o zero na reta numérica, e é por isso que ele nunca é negativo. O valor absoluto de −9 é 9 e o de 9 também é 9: os dois números ficam a nove unidades do zero, só que de lados opostos. As duas barras em volta do número são a notação dessa distância, não um colchete nem um parêntese.

Por que a calculadora imprime o mesmo número duas vezes quando a entrada é negativa?

Porque para um número negativo o valor absoluto e o oposto são a mesma expressão. A definição diz que |x| = −x quando x é negativo, e o oposto é −x por definição, então as duas colunas têm de concordar. −9 tem oposto 9 e valor absoluto 9. Longe de ser um cálculo duplicado, a coincidência informa uma coisa: informa que a entrada era negativa ou zero.

Qual é a diferença entre o valor absoluto e o oposto?

O valor absoluto remove o sinal; o oposto troca o sinal. Em um número positivo essas são instruções diferentes — o valor absoluto de 7 é 7 e o oposto dele é −7. Em um número negativo as duas levam ao mesmo lugar, e no zero as duas dão zero. A página mostra as duas colunas para que a distinção fique visível, em vez de ser algo que o leitor precise aceitar sem conferir.

O valor absoluto pode ser negativo?

Não. Ele é uma distância, e distâncias não são negativas. Isso vale para todo número real, inclusive os negativos muito grandes: o valor absoluto de −1.000.000 é 1.000.000. Se uma conta produzir um valor absoluto negativo, algum passo aplicou a definição errado — na maioria das vezes negando um número que já era positivo.

O valor absoluto de zero tem sinal?

É zero, e zero é o único número que é o oposto de si mesmo. Na aritmética do JavaScript, negar o zero pode produzir um zero negativo, que é impresso como 0 mas se comporta como diferente de 0 em verificações de identidade estrita. A página normaliza as duas colunas, de modo que uma entrada igual a zero devolve um zero comum em cada uma, sem nenhum sinal de menos escondido no valor.

Esta página encontra a distância entre dois pontos?

Não. Ela recebe um número, e a distância entre dois pontos precisa de dois — o intervalo entre a e b é |a − b|. A tabela de referência abaixo mostra essa conta feita na reta numérica, e a calculadora de distância ligada no fim da página resolve o mesmo caso no plano, onde a resposta envolve a raiz quadrada da soma de dois quadrados, e não uma subtração.

• Absolute Value — the two-case definition, the number-line reading as distance from zero, and the notation — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, the operation behind the page's second column — Wolfram MathWorld (United States)
• Real Line — the axis whose every point is a real number: the picture the absolute value is a distance on, and where the opposite sits — Wolfram MathWorld (United States)