제곱합 계산기

SS = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n

x

목록에 들어 있는 값 하나하나입니다. 값마다 자기 몫의 제곱된 거리를 보태므로, 어느 하나도 빼놓지 않고 그대로 합에 들어갑니다

x̄

값들의 평균입니다. 거리를 재는 기준점이고, 편차를 그냥 더하면 0으로 상쇄되기 때문에 이 점을 씁니다. 그것이 평균을 기준으로 삼는 이유입니다

SS

편차 제곱합이고 이 페이지의 주 결과입니다. 모든 값이 똑같을 때만 정확히 0이 되며, 편차의 크기와 값의 개수가 늘어날수록 함께 커집니다

Σx²

값의 제곱합, 즉 값마다 먼저 제곱한 뒤 더한 값입니다. 계산기에서 원래 제곱합이라는 이름으로 함께 인쇄됩니다. 항등식의 오른쪽 첫 항이고, 둘 다 제곱합이라고 불리기 때문에 답과 헷갈리기 쉬운 쪽입니다

Σx

제곱하기 전의 평범한 합계입니다. 이것을 제곱해 n으로 나누면 Σx²를 편차 제곱합으로 바꾸는 보정항이 됩니다

n

들어간 값의 개수이고 여기서는 최대 200개까지 받습니다. 두 번 등장합니다. 보정항의 제수로 한 번, 그리고 검산용으로 인쇄되는 개수로 한 번입니다

완성된 측도가 아니라 그 앞의 한 단계를 보고 싶을 때 씁니다. 분산이나 표준편차를 손으로 검산할 때, 그 둘이 왜 편차를 제곱하는지 설명할 때, 그리고 어떤 모형이 전체 변동 가운데 얼마를 설명하는지 견줄 때가 그렇습니다. 평균이 아니라 합으로 일하는 자리, 예컨대 분산 분석에서는 이것이 산포를 적는 자연스러운 방식입니다. 분산 분석이라는 방법 자체가 제곱합들의 장부 정리이기 때문입니다. 절편이 있는 회귀에서도 같은 양이 총제곱합이라는 이름으로 등장하고, 적합도는 적합선이 그 가운데 얼마를 덜어 내는지로 잽니다. 오른쪽 항등식은 다른 이유로도 알아 둘 만합니다. 기계가 없던 시절에 이 수를 구하던 방법이고 오늘날에도 많은 공식이 그 모양으로 적혀 있습니다. 다만 값이 크고 흩어짐이 작으면 그 길은 정밀도를 잃습니다. 그래서 위 계산기는 정의를 그대로 따르고, 항등식의 항들은 둘이 일치하는지 확인할 수 있도록 인쇄만 합니다.

1. 여덟 개의 값: 두 경로 모두 32

   1. 평균은 40 ÷ 8 = 5
   2. 편차는 −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4이고 합은 0입니다. 언제나 그렇습니다
   3. 제곱하면 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16이고 더하면 32
   4. 다른 경로: Σx² = 232이고 (Σx)² ÷ n = 1600 ÷ 8 = 200이므로 232 − 200 = 32

   두 경로가 모두 32에 닿고, 그것을 눈으로 보는 것이 이 페이지의 요점의 대부분입니다. 앞의 세 편차는 음수이고 뒤의 두 편차는 양수인데, 제곱이 필요한 이유가 바로 이것입니다. 편차를 그대로 더하면 0이 되어 어느 데이터인지 아무것도 말해 주지 못합니다.

2. 평균이 소수로 떨어지는 두 값

   1. 평균은 3 ÷ 2 = 1.5이므로 편차는 −0.5와 +0.5
   2. 제곱하면 0.25와 0.25이고 더하면 0.5입니다. 1이 아닙니다
   3. 다른 경로: 5 − 3² ÷ 2 = 5 − 4.5 = 0.5이고, 소수 부분은 뺄셈 자리에서 나타납니다

   값이 둘이면 제곱합은 두 값 사이 거리의 제곱을 반으로 나눈 값보다 클 수 없고, 여기가 가장 작은 경우입니다. 두 편차가 거리의 절반씩을 나눠 갖습니다. 흔한 실수는 거리 자체를 제곱하는 것인데, 그러면 0.5가 아니라 1이 나옵니다. 거리는 이미 두 편차의 차이이므로 두 번 세어지기 때문입니다.

3. 값이 하나일 때: 0과 1,764

   1. 값이 하나면 평균이 그 값이므로 평균은 42
   2. 편차는 42 − 42 = 0이고 0²은 0이므로 편차 제곱합은 0
   3. 원래 제곱합은 전혀 다른 양입니다. 42² = 1,764

   같은 패널 안에 제곱합이라는 이름의 두 수가 세 자릿수 차이로 나란히 앉아 있습니다. 둘을 갈라 놓는 것이 이 경우입니다. 목록이 길면 두 수가 대개 비슷한 크기가 되어 잘못된 쪽에 손이 가기 쉽습니다. 편차 제곱합이 0인 것은 값 하나가 자기 자신에서 떨어질 수 없기 때문이고, 그것은 실패가 아니라 진짜 답입니다. 이 페이지가 분산과 달리 값 두 개를 요구하지 않는 이유도 여기 있습니다.

4. 똑같은 값이 네 번

   1. 평균은 12 ÷ 4 = 3이므로 모든 편차가 0
   2. 편차 제곱합은 0
   3. 원래 제곱합은 3² + 3² + 3² + 3² = 36이고, 0이 될 일이 없습니다

   여기서 0은 데이터에 흩어짐이 전혀 없다는 뜻이고, 위의 값 하나짜리 경우와는 다른 상황입니다. 둘 다 0을 인쇄하지만 여기에는 관측이 넷 있고 그 넷이 정확히 일치하며, 저기에는 관측이 하나뿐입니다. 원래 제곱합은 반대 방향으로 움직여서, 흩어짐과 무관하게 값이 더해질 때마다 커집니다.

이름이 가장 큰 위험입니다. 서로 다른 두 양이 똑같이 제곱합이라고 불리고, 둘 다 이 페이지에 나옵니다. 답인 편차 제곱합 Σ(x − x̄)²와, 항등식의 한 항일 뿐인 원래 제곱합 Σx²입니다. 값이 하나일 때 둘은 세 자릿수만큼 벌어집니다. 수를 인용하기 전에 어느 줄의 라벨인지 확인하세요. 두 번째 한계는 이 페이지가 하지 않는 일입니다. 회귀는 총제곱합을 적합선이 설명하는 몫과 잔차 몫으로 쪼개는데, 그 분할은 여기서 할 수 없습니다. 두 번째 변수와 데이터를 지나는 직선이 필요하고, 이 갈래에는 직선을 맞추는 페이지가 없습니다. 공분산 페이지도 상관계수에서 멈춥니다. 다만 알아 둘 만한 사실이 하나 있습니다. 절편이 있는 회귀의 총제곱합은 결과 변수에 이 페이지의 계산을 그대로 적용한 것과 같은 양이고, 빠져 있는 것은 분할뿐입니다. 계산기가 항등식이 아니라 정의를 따르는 데에도 실용적인 이유가 있습니다. 크기가 비슷한 큰 두 수를 빼면 정밀도를 잃으므로, 값이 크고 흩어짐이 작은 목록에서는 오른쪽 경로가 눈에 띄게 틀린 답을 낼 수 있습니다. 항등식은 검산용으로 인쇄되는 것이지 빠른 길로 인쇄되는 것이 아닙니다. 목록은 200개까지이며, 1,500 같은 표기는 추측하지 않고 거부합니다. 자릿수 사이의 쉼표가 어떤 나라에서는 소수점이고 다른 나라에서는 천 단위 구분 기호이기 때문입니다.

제곱합은 어떻게 구하나요?

평균을 구한 뒤 값마다 평균을 빼고, 그 결과를 각각 제곱해 모두 더합니다. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 에서는 평균이 5이고 편차가 −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4이며 제곱의 합이 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32입니다. 평균 위에 앉아 있는 값도 0을 보태면서 빠짐없이 참여합니다.

편차를 그냥 더하지 않고 왜 제곱하나요?

편차를 그대로 더하면 언제나 정확히 0이 되기 때문입니다. 평균보다 작은 값들이 평균보다 큰 값들을 정확히 상쇄하므로, 편차의 합은 어떤 목록에서든 흩어짐에 대해 아무것도 말해 주지 못합니다. 제곱은 두 가지 일을 한 번에 합니다. 모든 항을 양수로 만들어 상쇄를 없애고, 평균에서 멀리 있는 값에 비례해서 더 큰 무게를 줍니다. 두 단위 벗어난 값은 4를 보태고 스무 단위 벗어난 값은 400을 보탭니다. 그 두 번째 효과는 의도된 것이고, 제곱합과 그 위에 세워진 분산이 극단값 하나에 크게 흔들리는 이유이기도 합니다.

이 페이지에 제곱합이라는 수가 왜 둘이나 나오나요?

통계에서 서로 다른 두 양이 그 이름을 나눠 쓰고, 이 페이지가 둘 다 인쇄하기 때문입니다. 편차 제곱합 Σ(x − x̄)²는 여기서의 답이고 분산의 분자입니다. 원래 제곱합 Σx²는 평균을 빼기 전에 값마다 제곱해서 더한 값입니다. 둘은 항등식 Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n으로 이어져 있어서 원래 쪽도 화면에 있지만, 서로 바꿔 쓸 수 있는 수가 아닙니다. 값이 42 하나일 때 편차 제곱합은 0이고 원래 제곱합은 1,764입니다.

표본과 모집단 가운데 무엇을 고르면 답이 달라지나요?

달라지지 않습니다. 그래서 이 페이지에는 선택 상자가 없습니다. 표본과 모집단의 공식은 제수, 즉 n − 1과 n에서만 갈리고 제곱합은 아무것으로도 나누지 않습니다. 주어진 목록에 대해 하나의 수입니다. 그 선택은 나눗셈이 실제로 일어나는 분산과 표준편차 페이지에 있고, 같은 데이터가 분산은 둘인데 제곱합은 하나뿐인 이유도 그것입니다.

분산과 표준편차와는 어떻게 이어지나요?

분산은 이 수를 자유도로 나눈 값입니다. 표본이면 n − 1, 모집단이면 n입니다. 표준편차는 그 분산의 제곱근입니다. 그래서 제곱합은 재료이고, 나눗셈이 이 수를 크기가 다른 데이터끼리 견줄 수 있게 만듭니다. 값 여덟 개에 대한 합은 흩어짐이 같더라도 값 네 개에 대한 합보다 자연히 큽니다. n이 아니라 n − 1로 나누는 것은 참평균이 아니라 표본 평균을 기준으로 편차를 쟀기 때문에 생기는 약간의 과소평가를 보정하는 일이기도 합니다.

제곱합이 음수가 될 수 있나요?

될 수 없습니다. 모든 항이 제곱이므로 항마다 0이거나 양수이고 합도 그렇습니다. 정확히 0이 되는 것은 모든 값이 평균과 같을 때, 즉 모든 값이 서로 같을 때입니다. 목록이 값 하나뿐이어서 그런 경우도 포함됩니다. 0이라는 결과는 데이터에 흩어짐이 없다는 진짜 답이지 무언가 잘못되었다는 신호가 아닙니다. 음수가 보인다면 부호를 잘못 적은 Σx²를 보고 있거나, 제곱의 차를 손으로 계산한 것입니다.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — 분산을 편차 제곱합을 n − 1로 나눈 값으로 정의하고, 평균에서의 거리를 제곱하면 멀리 떨어진 값에 더 큰 무게가 실린다고 설명하는 절 — National Institute of Standards and Technology
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — 분산을 편차의 제곱의 평균으로 정의하고, 표본에서 그 편차가 x − x̄라고 밝히는 절. 이 페이지가 나누기 전에 구하는 양이 그것입니다 — OpenStax, Rice University
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 — 분산과 그 분산이 세워지는 제곱합을 다루는 중국 국가 어휘 표준(기록 페이지에 온라인 전문을 제공하지 않는다고 적혀 있음) — State Administration for Market Regulation, China