표준편차 계산기

표준편차 = √( Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) ) (표본). 모집단은 같은 합을 n으로 나눕니다

xᵢ

데이터에 들어 있는 값 하나하나입니다. 모든 값은 평균에서 얼마나 떨어져 있는지의 형태로 들어가고, 그 거리를 제곱하는 것이 평균보다 큰 쪽과 작은 쪽이 서로 상쇄되는 일을 막습니다

x̄

데이터의 평균, 즉 모든 값을 더해 개수로 나눈 값입니다. 답 옆에 함께 인쇄되므로 계산 과정을 되짚어 볼 수 있습니다

n

데이터에 들어 있는 값의 개수이며 여기서는 최대 200개까지 받습니다. 제수는 표본이면 n − 1, 모집단이면 n이고, 두 표준편차의 차이는 그것뿐입니다

Σ(xᵢ − x̄)²

편차 제곱합입니다. 각 값이 평균에서 떨어진 거리를 제곱한 뒤 모두 더한 값이며 단위가 제곱이 되어 있습니다. 분산은 이 값을 자유도로 나눈 값이고, 그래서 마지막에 제곱근을 씌웁니다

s

표준편차이며 데이터의 원래 단위를 갖습니다. 모든 값에 같은 수를 더해도 이 값은 변하지 않고, 모든 값을 두 배로 하면 두 배가 됩니다

어떤 측정값 묶음이 얼마나 흩어져 있는지를 숫자 하나로 대신해야 할 때 씁니다. 같은 양을 여러 번 잰 측정값, 시험 점수, 하루하루의 매출, 부품 한 묶음의 무게가 모두 그렇습니다. 손에 있는 값이 더 큰 무언가의 표본이라면 표본 표준편차를 쓰고, 목록이 정말로 전체 집단이라면 모집단 쪽으로 바꾸세요. 이 값은 원래 값을 z점수로 바꾸는 데에도 쓰이고, 대부분의 이상치 판정 규칙이 이 값을 딛고 서 있습니다. 제곱근이 무엇을 사 주는지도 눈여겨볼 만합니다. 편차 제곱합은 제곱 단위를 갖고 있고, NIST 의 Measures of Scale 이 적어 둔 대로 제곱근을 씌우는 단계가 흩어짐의 단위를 원래 데이터의 단위로 되돌려 놓습니다. 분산이 단위를 제곱해 두는 것과 정확히 반대되는 일입니다. 이 값이 알려 주지 않는 것도 두 가지 있습니다. 흩어짐이 좌우 대칭인지, 그리고 유난히 튄 값이 실수인지입니다. 한쪽으로 치우친 데이터는 표준편차보다 사분위수와 중앙값으로 설명하는 편이 낫습니다.

1. 여덟 개의 값, 표본과 모집단을 나란히

   1. 개수: 8개. 합계: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. 평균: 40 ÷ 8 = 5
   3. 평균에서의 편차: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   4. 편차의 제곱: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. 표본 분산: 32 ÷ (8 − 1) = 4.5714
   6. 표본 표준편차: √4.5714 = 2.1381

   같은 여덟 값을 모집단으로 보면 분산은 32 ÷ 8 = 4, 표준편차는 정확히 2가 됩니다. 제수를 잘못 고르는 것이 다른 계산기와 답이 갈리는 가장 흔한 이유이고, 여기서는 답이 7%쯤 달라집니다. 목록이 짧을수록 차이가 크고 길수록 작아집니다.

2. 시험 점수 다섯 개

   1. 합계: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433, 점수는 5개
   2. 평균: 433 ÷ 5 = 86.6
   3. 편차의 제곱: 2.56 + 11.56 + 73.96 + 29.16 + 1.96 = 119.2
   4. 표본 분산: 119.2 ÷ 4 = 29.8
   5. 표본 표준편차: √29.8 = 5.4589

   편차와 편차 제곱을 나란히 읽어 보세요. 78은 평균보다 8.6점 아래에 있으면서 합에 73.96을 보태는데, 이는 나머지 네 점수를 모두 합한 것보다 큽니다. 거리를 제곱하는 것이 멀리 떨어진 값에 무게를 실어 주는 이유이고, 하루를 망친 과목 하나가 평균보다 표준편차를 더 크게 움직이는 이유이기도 합니다.

3. 값이 셋뿐인 모집단, 두 제수가 크게 벌어지는 경우

   1. 합계: 4 + 8 + 6 = 18, 값이 3개이므로 평균은 6
   2. 편차: −2, 2, 0. 제곱하면 4, 4, 0 이므로 편차 제곱합은 8
   3. 모집단 분산: 8 ÷ 3 = 2.6667
   4. 모집단 표준편차: √2.6667 = 1.633

   값이 셋인 목록은 이 페이지가 표본으로 다루는 가장 작은 목록이고, 제수가 이빨을 드러내는 자리이기도 합니다. 같은 8을 표본 쪽은 2로 나누어 1.633 대신 2를 보고합니다. 20% 넘게 차이가 납니다. 표본 표준편차는 언제나 둘 중 큰 쪽이고, 데이터가 늘어나면 그 간격은 줄어듭니다.

이 페이지는 숫자 목록의 평범한 산술 표준편차입니다. 가중치를 쓸 방법이 없어서 값 하나는 한 번만 세어집니다. 도수분포표나 가중 표본은 다른 계산이 필요합니다. 이 값은 흩어짐을 말할 뿐 모양을 말하지 않습니다. 한쪽으로 치우친 데이터는 짧은 쪽과 긴 꼬리를 하나씩 갖고 있고, 그런 분포에서는 표준편차가 도움이 되지 않을 수 있습니다. 그럴 때는 사분위수와 중앙값이 낫습니다. 모든 값이 똑같이 세어지므로 잘못 입력한 값 하나가 답을 부풀립니다. 목록은 200개까지이며, 1,500 같은 표기는 추측하지 않고 거부합니다. 자릿수 사이의 쉼표가 어떤 나라에서는 소수점이고 다른 나라에서는 천 단위 구분 기호이기 때문입니다. 1500 이나 1.5 로 다시 쓰세요. 마지막으로 숫자는 언어와 무관하게 입력한 그대로 읽습니다. 어떤 구분 기호를 쓰든 목록의 뜻은 달라지지 않습니다.

표본 표준편차와 모집단 표준편차는 무엇이 다른가요?

제수 하나입니다. 둘 다 같은 편차 제곱합에서 출발하고, 표본은 n − 1로 나누며 모집단은 n으로 나눕니다. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 여덟 값의 편차 제곱합은 32이므로 표본 표준편차는 √(32 ÷ 7) = 2.1381, 모집단 표준편차는 √(32 ÷ 8) = 2입니다. 표본 쪽이 언제나 더 크고, 데이터가 늘어나면 두 값은 가까워집니다.

표준편차를 손으로 어떻게 구하나요?

다섯 단계입니다. 값을 모두 더해 개수로 나누어 평균을 구합니다. 각 값에서 평균을 빼 편차를 만듭니다. 편차를 하나씩 제곱합니다. 제곱하는 단계가 평균보다 큰 쪽과 작은 쪽이 상쇄되는 것을 막습니다. 그 제곱들을 모두 더합니다. 표본이면 n − 1로, 모집단이면 n으로 나눈 뒤 제곱근을 씌웁니다. 공식은 어느 쪽이든 같고 제수만 다릅니다. 위 패널에 개수와 합계, 평균, 편차 제곱합이 모두 인쇄되므로 어느 단계든 따로 확인할 수 있습니다.

표본은 왜 n이 아니라 n − 1로 나누나요?

뺄셈에 쓴 평균이 바로 그 값들에서 나왔기 때문입니다. 값마다 그 평균을 자기 쪽으로 조금씩 끌어당겼으므로, 데이터가 스스로 고른 평균에서 잰 편차는 참값보다 평균적으로 조금 작습니다. 그래서 n으로 나누면 흩어짐을 실제보다 작게 보고하게 됩니다. n − 1로 나누는 것이 그만큼을 되돌려 놓습니다. 이 보정은 목록이 짧을 때 가장 크게 드러나고, 값이 수백 개쯤 되면 거의 사라집니다.

스프레드시트의 열을 그대로 붙여 넣어도 되나요?

됩니다. 줄바꿈과 탭, 세미콜론, 공백, 그리고 쉼표 뒤에 온 공백이 모두 값을 갈라 줍니다. 그래서 붙여 넣은 열도, 세미콜론으로 친 한 줄도 그대로 작동합니다. 빈 조각은 거부하지 않고 건너뛰므로 끝에 남은 줄바꿈도 문제가 되지 않습니다. 값은 최대 200개까지 읽습니다. 다만 1,500 이나 1.500 처럼 구분 기호 뒤에 숫자가 세 자리 붙은 모양은 일부러 거부합니다. 어떤 나라에서는 천 단위 구분 기호이고 다른 나라에서는 소수점이기 때문입니다. 대신 1500 이나 1.5 로 쓰세요.

표준편차의 단위는 무엇인가요?

데이터와 같은 단위입니다. 부품을 그램으로 재면 표준편차도 그램입니다. 마지막에 제곱근을 씌우는 이유가 바로 이것입니다. 편차 제곱합은 제곱 그램이고 분산도 제곱 그램이지만, 제곱근을 씌우면 원래 단위로 돌아옵니다. 그래서 표준편차는 값들 옆에 나란히 놓고 읽을 수 있고 분산은 그럴 수 없습니다.

다른 계산기와 답이 다른 이유는 무엇인가요?

열에 아홉은 제수 때문입니다. 많은 계산기가 표본과 모집단 가운데 한쪽만 돌려주면서 어느 쪽인지 밝히지 않습니다. 상대 도구의 설명에서 n − 1과 n 중 무엇을 쓰는지 확인해 보세요. 나머지 원인으로는 소수 쉼표로 친 값을 상대 도구가 구분 기호로 읽은 경우, 그리고 한쪽만 이상치를 포함한 경우를 짚어 볼 수 있습니다. 표준편차는 값 하나하나에 민감하므로 숫자 하나가 더 들어가도 달라집니다.

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — 분산을 편차 제곱합을 n − 1로 나눈 값으로 정의하고, 평균에서의 거리를 제곱하면 멀리 떨어진 값에 더 큰 무게가 실린다고 설명하는 절 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — 분산과 표준편차를 다루면서, 치우친 분포에서는 표준편차가 별 도움이 되지 않을 수 있다고 적어 둔 절 — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — 이상치 판정 규칙과 함께, 표본이 작으면 z점수가 3에 도달할 수 없다는 지적을 담은 절 — National Institute of Standards and Technology (NIST)