수열 계산기

등차 — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 등비 — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) 단 r = 1일 때는 S(n) = n * a(1)

n

몇 번째 항을 묻는지이고 1부터 셉니다. 합에서도 항의 수이므로 한 칸이 두 질문에 함께 답합니다. 열 번째 항은 a(10)으로 적고 앞 열 항의 합은 S(10)입니다

a(1)

첫째항이며, 수열이 시작하는 유일한 자리입니다. 나머지는 전부 여기서 나오므로, 첫째항이 음수이면 등비수열에서는 짝수 번째 항의 부호가 전부 뒤집히고 등차수열에서는 그냥 더 아래에서 시작합니다

d

공차이며 등차수열이 씁니다. 매 단계 더하는 양입니다. 음수면 수열이 내려가고, 0이면 모든 항이 첫째항과 같으며, 그 마지막 경우 때문에 인쇄된 일반항이 a(n) = 6처럼 접힙니다

r

공비이며 등비수열이 씁니다. 각 항에 곱하는 수입니다. 0과 1 사이의 공비는 항을 0 쪽으로 줄이고, 음수인 공비는 부호를 번갈아 바꾸며, 정확히 1인 공비는 모든 항을 첫째항과 같게 만듭니다

S(n)

앞 n항의 합이며, 이 수열의 그리고 이만큼의 합입니다. 등차수열에서는 첫째항과 마지막 항의 평균에 n을 곱한 것이고, 가우스가 1 + 2 + … + 100에 썼다고 전해지는 짝짓기가 그것입니다. 무한급수는 결코 아니어서 n을 키우면 총합이 계속 커집니다

어떤 양이 일정한 규칙으로 늘거나 줄고, 목록에서 꽤 뒤쪽의 값이 필요할 때 씁니다. 같은 연금을 삼십 년 넣은 뒤의 잔액, 스무 번째 튄 뒤의 높이, 매 단계가 앞 단계의 일정 비율일 때의 총 이동 거리 같은 것들입니다. 모든 것을 정하는 두 칸은 스텝과 그 부호이므로, 앞의 세 항을 손으로 먼저 구해 아래 참고표와 맞춰 보는 습관이 쓸모 있습니다.

1. 3, 7, 11, … — 열 번째 항과 앞 열 항의 합

   1. 공차가 4이므로 항은 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39입니다
   2. 열 번째 항은 3 + 9 × 4 = 39입니다
   3. 양 끝에서 안쪽으로 짝을 짓습니다: 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42 하는 식입니다
   4. 그런 짝이 다섯이고 모두 42입니다
   5. 5 × 42 = 210입니다

   짝짓기가 곧 합 공식의 전부입니다. 항이 n개일 때 첫째항과 마지막 항의 평균이 (3 + 39) / 2 = 21이고, 21 × 10이 같은 210입니다. 답 옆에 인쇄되는 일반항은 이 특정한 수열이 아니라 규칙입니다. a(n) = 3 + 4(n - 1)은 n만으로 모든 항을 다시 만들어 내므로, n = 1이면 3이 돌아오고 n = 10이면 아무것도 나열하지 않고 39가 나옵니다.

2. 8, 4, 2, 1, 0.5 — 줄어드는 등비수열

   1. 공비가 0.5이므로 각 항이 앞 항의 절반입니다: 8, 4, 2, 1, 0.5
   2. 다섯 번째 항은 8 × 0.5⁴ = 8 × 0.0625 = 0.5입니다
   3. 더합니다: 8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 = 15.5

   줄어드는 등비수열의 합은 16에 다가가지만 넘지 않습니다. 8 / (1 − 0.5)이기 때문입니다. 이 페이지는 요청한 다섯 항의 합인 15.5를 내놓지 그 극한을 내놓지 않고, 그 차이가 항의 수가 입력인 이유 전부입니다.

3. 1 + 2 + … + 1000, 공식이 더하기를 이기는 경우

   1. 공차가 1이므로 천 번째 항은 1 + 999 = 1000입니다
   2. 첫째항과 마지막 항을 짝짓습니다: 1 + 1000 = 1001
   3. 그런 짝이 500개입니다. 항이 1000개면 짝이 500개이기 때문입니다
   4. 500 × 1001 = 500500입니다

   여기서는 항을 나열할 필요가 전혀 없고, 그것이 합 공식의 요점입니다. n이 그만큼 올라간다면 같은 세 칸이 백만 항에 대해서도 답합니다. 가우스가 학교 벌로 받았다고 전해지는 계산이고, 위의 짝짓기가 그가 대신 했다고 전해지는 일입니다.

두 가지 수열만 다룹니다. 스텝을 더하는 등차수열과, 스텝을 곱하는 등비수열입니다. 그 밖의 것, 곧 제곱수, 세제곱수, 피보나치, 앞의 두 항으로 정의되는 수열은 여기 넣을 규칙이 없어 각자 자기 도구가 필요합니다. 항의 수는 1에서 1000 사이의 정수여야 합니다. 소수이거나 음수인 개수는 반올림하지 않고 거절합니다. 2.5개 항은 답이 있는 양이 아니기 때문입니다. 합은 앞 n항의 합일 뿐이고 무한급수의 합이 아니므로, 공비가 1보다 작으면 누적 합이 그 극한에 계속 다가가기만 하고 닿지 않습니다. 답은 소수 여섯 자리로 반올림되고, 등비수열은 n이 한계에 이르기 훨씬 전에 산술을 넘어설 수 있습니다. 10의 300제곱은 괜찮고 10의 6000제곱은 그렇지 않은데, 그 경우는 무한대로 보고되지 않고 계산 실패로 보고됩니다. 이 페이지가 수열이 던지는 네 질문 가운데 둘에 답합니다. 제n항이 얼마인지, 그리고 앞 n항을 더하면 얼마인지입니다. 반대 방향은 하지 않습니다. 두 항을 주고 규칙을 되찾는 것, 합을 주고 n을 되찾는 것은 다루지 않고, 단위도 인쇄하지 않습니다. 수열은 수의 목록이기 때문입니다.

제n항과 합은 무엇이 다른가요?

제n항은 수 하나입니다. n번 자리에 앉은 그 항이고, 3, 7, 11, …에서 n = 10이면 39입니다. 합은 거기까지 전부 더한 값이고 같은 수열에서 210입니다. 두 줄로 따로 인쇄하는 것은 서로 다른 질문에 답하기 때문이고, 사람들이 보통 원하는 것이 합이기 때문입니다. 잔액, 총 거리, 누적 개수 같은 것들입니다.

합 공식은 어디서 나오나요?

항을 바깥에서 안쪽으로 짝지으면 나옵니다. 3, 7, 11, …에서 앞 열 항의 첫째와 마지막을 더하면 42이고 다른 짝도 모두 42라서, 열 항이 42짜리 짝 다섯 개가 되어 210입니다. 일반적으로 적으면 첫째항과 마지막 항의 평균 곱하기 n, 곧 n * (a(1) + a(n)) / 2입니다. 등비수열의 합은 유도도 모양도 달라서 둘을 따로 인쇄합니다.

스텝이 음수여도 되고, 0이나 분수여도 되나요?

셋 다 됩니다. 공차가 음수면 100, 93, 86, …처럼 내려가는 수열이 되고, 공비가 음수면 1, -1, 1, -1처럼 부호가 번갈아 바뀝니다. 공비 0.5는 두 번째 예의 줄어드는 수열을 만듭니다. 한 번 더 볼 필요가 있는 경우는 공차가 0일 때와 공비가 1일 때이고, 그때는 모든 항이 첫째항과 같아서 인쇄된 일반항이 a(n) = 6처럼 올바르게 짧아집니다.

합은 무한수열 전체의 총합인가요?

아닙니다. 입력한 개수 n까지의 앞 n항의 합입니다. 이 구분은 줄어드는 등비수열에서만 드러납니다. 8, 4, 2, 1, 0.5, …의 누적 합은 극한 16에 다가가지만 닿지 않습니다. 그 극한을 원하는 경우도 이따금 있는데, 그것은 무한등비급수의 합이고 공식이 다른 별개의 계산입니다.

항을 몇 개까지 요청할 수 있나요?

1에서 1000까지의 정수입니다. 위 끝은 임의로 정한 것이 아닙니다. 공비가 10인 등비수열은 n = 300에서 10^300에 이르고, 몇백 항만 더 가도 산술이 담을 수 있는 가장 큰 수를 넘어섭니다. 그 경우는 무한대가 아니라 계산 실패로 보고되므로, 조용히 틀린 답 대신 메시지를 받습니다.

일반항이 a(n)으로 적히고 아래첨자가 아닌 이유는 무엇인가요?

a(n)은 어떤 언어와 어떤 글꼴에서도 읽히고 아래첨자 문자는 그렇지 않기 때문입니다. 어떤 시스템에서는 빈 네모로 나옵니다. 나머지 표기는 익숙한 그대로입니다. 거듭제곱에 ^, 곱셈에 *, 음수인 공비에 괄호를 써서 부호가 바뀌는 수열이 a(n) = (-1)^(n - 1)로 읽히고, 마이너스가 밖에 있는 -1의 n - 1제곱처럼 보이는 일이 없습니다.

• Arithmetic progression — 규칙과 제n항 공식, 그리고 이 페이지가 쓰는 합 — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric progression — 스텝이 더하는 수가 아니라 곱하는 수일 때의 같은 세 가지 질문 — Wolfram MathWorld (United States)
• OEIS A000217, 삼각수 — 1, 3, 6, 10, … 이며 1 + 2 + … + n의 누적 합이고, 이 페이지의 세 번째 예 — OEIS Foundation (United States)