RLC 임피던스 계산기

X_L = 2πfL, X_C = 1/(2πfC), Z = √(R² + (X_L − X_C)²), φ = arctan((X_L − X_C)/R), f₀ = 1/(2π√(LC))

R

저항이며 단위는 옴이고, 임피던스 중 주파수에 따라 변하지 않는 유일한 부분입니다. Z 아래에 깔리는 바닥을 정합니다. 리액턴스가 어떻게 움직이든 임피던스는 R 아래로 내려갈 수 없고, 공진에서는 정확히 R입니다. 다른 역할은 위상각의 눈금을 정하는 것입니다. 작은 순 리액턴스 옆에 큰 R이 있으면 회로는 거의 순수한 저항처럼 행동합니다 (Ω)

L

인덕턴스이며 부품에 인쇄된 대로 밀리헨리로 넣습니다. 리액턴스가 주파수에 비례해 올라가므로 인덕터는 높은 주파수를 막고 낮은 주파수를 통과시킵니다. 칸이 헨리가 아니라 밀리헨리인 이유는 그것이 부품에 적혀 있기 때문입니다. 10을 넣으면 10 mH이고 식이 보기 전에 0.01 H로 환산됩니다 (mH)

C

커패시턴스이며 같은 이유로 마이크로패럿으로 넣습니다. 리액턴스가 주파수가 올라가면 내려가는데 인덕터와 반대이므로, 커패시터는 높은 주파수를 통과시키고 낮은 주파수를 막습니다. 이것도 쓰기 전에 환산됩니다. 100을 넣으면 100 µF이고 0.0001 F가 됩니다. 두 리액턴스는 언제나 서로 반대 방향이라서, 식이 둘을 더하지 않고 빼는 것입니다 (µF)

f

인가 전압의 주파수이며 단위는 헤르츠입니다. 이 페이지를 옴의 법칙과 다르게 만드는 입력이고, 산술에 두 번 나오는데 그 두 번이 반대 방향으로 밀어서 임피던스가 처음에는 내려갔다가 다시 올라갑니다. 이 값을 바꾸면 부품을 건드리지 않고도 답이 달라지고, 두 리액턴스가 모두 0이 되는 주파수는 없습니다 (Hz)

X_L − X_C

순 리액턴스이며 위상각을 실제로 정하는 양입니다. 유도 항이 더 크면 전류가 전압보다 늦고 φ가 양수이며, 용량 항이 더 크면 전류가 앞서고 φ가 음수이고, 둘이 같으면 순 리액턴스가 0이고 φ가 0이며 회로가 공진 상태입니다. 어느 리액턴스도 저항에서 빼지 않습니다. 저항과는 직각으로 합쳐지므로 식이 합이 아니라 제곱합의 제곱근을 씁니다 (Ω)

f₀

공진 주파수이며 1/(2π√(LC))이고, 두 리액턴스가 상쇄되는 주파수입니다. L과 C에만 달려 있고 R에도, 지금 입력한 주파수에도 달려 있지 않으므로 페이지의 나머지가 움직이는 동안 가만히 있습니다. 이것이 버그로 오해되기 쉽습니다. f₀에서 직렬 회로는 가장 작은 임피던스를 보이고 그 임피던스는 정확히 R입니다 (Hz)

회로에 인덕터나 커패시터가 있고 전압이 교류일 때 쓰면 됩니다. 옴의 법칙이 근사가 아니라 아예 성립하지 않게 되는 자리가 거기입니다. 어떤 부품이나 분기가 특정 주파수에 어떻게 보이는지를 답합니다. 필터의 입력 임피던스, 전원 주파수에서 초크의 리액턴스, LC 짝이 공진하는 지점입니다. 크기를 이미 알고 있을 때도 위상각 때문에 이 페이지를 쓰게 되는데, 전압과 어긋난 전류를 끌어 쓰는 부하는 같은 옴값의 저항과 같은 부하가 아니기 때문입니다. 부하가 정말로 저항성일 때는 옴의 법칙 쪽을 쓰십시오. 발열체, 필라멘트 전구, 긴 전선이 그렇습니다. 그런 곳에서는 이 페이지가 더 정밀한 판본이 아니라 불필요한 것입니다.

1. 기본값: 10옴과 10 mH와 100 µF에 50 Hz

   1. 먼저 환산: L = 10 mH = 0.01 H, C = 100 µF = 0.0001 F
   2. X_L = 2π × 50 × 0.01 = 3.142 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 50 × 0.0001) = 31.831 Ω
   4. 순 리액턴스는 3.142 − 31.831 = −28.689 Ω이므로 이 회로는 용량성
   5. Z = √(10² + 28.689²) = 30.382 Ω, φ = arctan(−28.689 / 10) = −70.783°
   6. f₀ = 1 / (2π√(0.01 × 0.0001)) = 159.155 Hz

   셋째와 넷째 결과를 나란히 읽어야 합니다. 용량 리액턴스가 유도 리액턴스의 열 배가 넘으므로, 50 Hz에서 이 회로는 저항이 직렬로 달린 커패시터이고 전류가 전압보다 거의 71도 앞섭니다. 10옴 저항이 여기서 얼마나 대수롭지 않은지도 보십시오. 임피던스의 3분의 1에 불과하고 위상각은 순수한 커패시터가 줄 법한 −90°에 가깝습니다.

2. 같은 부품을 1 kHz로 몰아갈 때

   1. X_L = 2π × 1000 × 0.01 = 62.832 Ω — 50 Hz 값의 스무 배
   2. X_C = 1 / (2π × 1000 × 0.0001) = 1.592 Ω — 50 Hz 값의 20분의 1
   3. 순 리액턴스는 62.832 − 1.592 = +61.240 Ω이므로 이제는 유도성
   4. Z = √(10² + 61.240²) = 62.051 Ω, φ = arctan(61.240 / 10) = +80.726°
   5. f₀는 그대로 159.155 Hz

   이것을 첫 번째 예 옆에 놓아 보십시오. 부품은 하나도 건드리지 않았는데 위상각이 −70.783°에서 +80.726°로 넘어갔습니다. 전원 주파수에서 커패시터처럼 보이던 회로가 1 kHz에서는 인덕터처럼 보이고, 이것이 이 페이지가 해야 할 말 중 가장 중요하며 고정된 저항이 표현할 수 없는 것입니다. 마지막 행의 공진 주파수는 움직이지 않았습니다. 몰아가는 주파수에 전혀 달려 있지 않기 때문이며, 바뀐 것처럼 보인다면 다른 것을 고친 것입니다.

3. 공진에서, 159.155 Hz

   1. 공진 주파수 자체를 넣습니다: 159.155 Hz
   2. X_L = 2π × 159.155 × 0.01 = 10 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 159.155 × 0.0001) = 10 Ω
   4. 둘이 정확히 상쇄됩니다: Z = √(10² + 0²) = 10 Ω이고 이는 R 자체
   5. φ = arctan(0 / 10) = 0°이므로 전압과 전류가 나란히 갑니다

   이 페이지에 모양을 주는 행입니다. 공진에서 직렬 회로는 최소 임피던스를 보이고 그 최솟값이 정확히 저항입니다. 전류가 전압과 나란해지는 유일한 주파수이기도 합니다. 손으로 검산하기 전에 알아 둘 것이 하나 있습니다. 159.155는 f₀를 소수 셋째 자리로 반올림한 값이라서 각 리액턴스가 10에서 약 100만분의 4옴만큼 떨어져 있고(둘은 서로 약 100만분의 7만큼 다릅니다), 위상각은 정확히 0이 아니라 0.000041°로 남습니다. 패널은 둘 다 반올림해 없앱니다. 정확한 공진은 159.1549431… Hz입니다.

4. 같은 회로에 1 kΩ 저항

   1. 리액턴스는 첫 번째 예와 같습니다: 3.142 Ω과 31.831 Ω
   2. 순 리액턴스도 여전히 −28.689 Ω이지만 R이 이제 1000 Ω
   3. Z = √(1000² + 28.689²) = 1000.411 Ω
   4. φ = arctan(−28.689 / 1000) = −1.643°
   5. f₀는 여전히 159.155 Hz: R은 그것에 영향이 없음

   이 페이지가 옴의 법칙과 만나는 자리입니다. R을 10옴에서 1 kΩ으로 올려도 리액턴스는 그대로입니다. 그것들은 L과 C와 주파수의 성질이지 R의 성질이 아닙니다. 다만 위상각이 −70.783°에서 −1.643°로 떨어지고 임피던스가 30.382옴에서 1000.411옴이 되는데 그중 1000은 그냥 R입니다. 이 비율에서 회로는 겨우 측정될 만큼의 용량성이 묻은 저항이고, V = I × R은 실수가 아니라 좋은 근사입니다. 이것이 이 페이지와 옴의 법칙 페이지의 경계이고 그 경계는 매끄럽습니다. 문턱은 없고 R이 커질수록 줄어드는 오차만 있습니다.

이 페이지는 직렬 회로만 모델링합니다. 저항 하나, 인덕터 하나, 커패시터 하나가 한 고리에 있는 경우입니다. 병렬 회로용 선택 항목은 일부러 없습니다. 병렬 RLC 망은 이 식에 플래그를 하나 뒤집은 것이 아니라 다른 식을 쓰고, 공진에서 정반대로 행동하기 때문입니다. 직렬은 최소 임피던스에 이르고 병렬은 최대에 이릅니다. 같은 네 수를 넣고 다른 답을 받는 것은 설명하지도 않은 회로에 대한 사실을 읽는 일이라서, 그 변형은 여기 스위치 뒤가 아니라 자기 페이지에 속합니다. 이상 부품도 전제합니다. 인덕터의 권선 저항도, 커패시터의 누설이나 등가 직렬 저항도 없고, 부품이 집중 소자로 행동하기를 멈추는 주파수도 없습니다. 입력 주파수는 훑지 않고 고정되므로, 페이지는 임피던스 곡선 위의 한 점과 공진 주파수를 주고 곡선 자체는 주지 않습니다.

여기에 옴의 법칙을 그냥 쓰면 안 되나요?

회로에 인덕터나 커패시터가 있으면 전압 대 전류의 비가 상수가 아니기 때문입니다. 주파수에 달려 있고 전류가 전압과 나란히 가지도 않습니다. 옴의 법칙은 여기서도 수를 하나 내놓지만 그 수는 틀리고, 그것은 수를 아예 주지 않는 것보다 나쁩니다. 옴의 법칙 계산기 자신이 그렇게 말하고 이 페이지로 보냅니다. V = I × R은 저항이 순 리액턴스에 비해 클 때만 좋은 근사로 남는데, 네 번째 예가 그렇습니다. 1 kΩ 옆의 28.689옴은 위상각을 2도 아래로 남깁니다.

병렬 RLC 회로는 어떻게 되나요?

다른 계산이고 다른 페이지이며, 여기에 그 스위치가 없는 이유입니다. 병렬 망은 자기 식을 쓰고 공진에서 반대로 행동합니다. 직렬 회로는 거기서 최소 임피던스에 이르고 병렬은 최대에 이릅니다. 더 나쁜 것은, 이 페이지가 그 네 수를 기꺼이 받아서 큰 배수만큼 틀린 임피던스를 아무 이상 신호 없이 돌려준다는 점입니다. 선택 항목이 막아야 할, 만들 것이 아니라 막아야 할 바로 그런 조용한 오류입니다.

주파수를 바꿔도 공진 주파수가 안 바뀌는 이유는 무엇인가요?

공진 주파수는 인덕터와 커패시터의 성질이고 주파수 칸은 회로를 몰아가는 주파수라서, 이름만 같은 두 가지 다른 것입니다. f₀ = 1/(2π√(LC))에는 R도 f도 없으므로 몰아가는 주파수를 훑고 지나가도 가만히 있습니다. L이나 C를 바꿀 때만 움직입니다. 이 독립성이 그것을 쓸모 있게 만듭니다. 찾아 나서기 전에 회로가 어디서 공진할지 알려 주기 때문입니다.

위상각이 음수라는 것은 무슨 뜻인가요?

전류가 전압보다 앞선다는 뜻이고, 두 리액턴스 중 용량 리액턴스가 더 클 때 그렇게 됩니다. 양수면 전류가 늦고 인덕턴스가 지배적이며, 0이면 둘이 같아 회로가 공진 상태입니다. 그래서 부호는 이 페이지 전체를 한 글자로 요약한 것입니다. −70.783°는 50 Hz에서 100 µF 커패시터가 이 회로를 끌고 있다는 뜻이고, 1 kHz의 +80.726°는 10 mH 인덕터가 주도권을 가져갔다는 뜻입니다.

공진에서 임피던스가 10옴밖에 안 되는 이유는 무엇인가요?

두 리액턴스가 상쇄되어 저항만 남기 때문입니다. X_L과 X_C는 크기가 같고 효과가 반대라서 순 리액턴스가 0이고 Z = √(R² + 0²) = R입니다. 직렬 회로의 최소 임피던스이고 전류가 가장 크며 전압과 동상인 주파수이기도 합니다. 직렬 LC 짝을 주파수 선택에 쓰는 이유입니다. 나머지는 감쇠되고 고른 주파수만 R 하나를 지나 통과합니다.

리액턴스는 저항에 더하는 건가요?

아니고 직각으로 합칩니다. 그래서 식이 단순한 합이 아니라 제곱합의 제곱근을 취합니다. 기본값에서 그 차이는 큽니다. 산술적으로 더하면 10 + 3.142 + 31.831 = 44.973옴이 되지만 올바른 임피던스는 30.382옴입니다. 물리적인 이유는 위상차입니다. 리액턴스 양단의 전압은 저항 양단의 전압과 4분의 1주기 어긋나 있고, 어긋난 양은 단순히 더해지지 않습니다.

• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), §6.5 — 헤르츠와 헨리와 패럿, 그리고 리액턴스의 유도 단위 — NIST
• Series RLC circuit — 저항과 순 리액턴스의 벡터 합으로서의 임피던스, 위상각, 그리고 두 리액턴스가 상쇄되는 점으로서의 공진 — Wikipedia
• Electrical reactance — 주파수가 올라갈 때 인덕터와 커패시터가 반대 방향으로 반응하는 이유와, 양 극단에서 각각 어떻게 행동하는지 — Wikipedia