근호 계산기

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), 여기서 m²은 r을 나누는 가장 큰 완전제곱 동류항: k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r

근호이며, 정수 r의 제곱근입니다. 이 페이지의 모든 항은 이런 것의 배수이고, 두 항은 r이 같을 때에만 동류항입니다. 더해지는 것은 앞에 붙은 계수입니다

c

계수이며, 근호에 곱해진 정수이고 아무것도 적혀 있지 않으면 1입니다. √r이 몇 개 더해지는지를 세는 수라서 3√2 더하기 2√2는 다섯 개이고, 3√2 빼기 3√2는 하나도 남지 않습니다

r

근호 안의 수입니다. 근호 하나를 간단히 한다는 것은 r을 나누는 가장 큰 완전제곱 m²을 찾아 m을 밖으로 옮기는 일이고, 그러면 더 작은 근호 안의 수가 남습니다. 한 항이 도달할 수 있는 가장 작은 근호 안의 수는 1이고, √1은 그냥 1입니다

m²

근호 안의 수를 나누는 가장 큰 완전제곱입니다. 72에서는 36, 50에서는 25, 8에서는 4입니다. 가장 큰 것을 고르는 것이 답을 그냥 더 작은 꼴이 아니라 간단한 근호 꼴로 만듭니다. 72를 4로 나누면 18이고, 18에는 아직 제곱 인수가 남아 있습니다

동류항

간단화한 뒤에 근호 안의 수가 같아진 항들입니다. 근호의 덧셈은 언제나 동류항의 덧셈일 뿐입니다. 근호 안의 수가 세는 단위이고, 둘을 더해도 그 단위는 바뀌지 않습니다. 6√2와 3√2를 합쳐서 9√4가 아니라 9√2가 되는 이유가 그것입니다

근호식, 곧 제곱근들의 합을 간단한 근호 꼴로 적어야 할 때 씁니다. 숙제를 검산할 때, 답을 공식에 넣기 전에 정리할 때, 다르게 생긴 두 근호가 사실은 속이 같은 수인지 확인할 때입니다. 함께 쓰는 검산은 계수를 제곱해서 다시 근호 안으로 곱해 넣는 것입니다. 6√2는 36 × 2 = 72이므로 6√2와 √72가 정말 같은 수입니다.

1. √72 + 3√2 - √8

   1. √72: 72 = 36 × 2이므로 가장 큰 제곱 인수 36이 6으로 나와 6√2가 됩니다
   2. 3√2: 근호 안의 수 2에는 제곱 인수가 없어서 이미 간단한 꼴입니다
   3. √8: 8 = 4 × 2이므로 4가 2로 나와 -2√2가 됩니다
   4. 세 항이 6√2 + 3√2 - 2√2가 되었고 전부 √2의 배수이므로 근호 안의 수는 그대로 두고 계수를 더합니다
   5. 6 + 3 - 2 = 7이므로 합은 7√2입니다
   6. 7√2는 소수 여섯 자리로 9.899495입니다

   기본값이고, 이 페이지가 세 번의 따로따로인 간단화가 아니라 하나의 페이지인 이유입니다. 세 근호는 처음에는 아무 관계 없어 보이고(72, 2, 8), 알고 보면 같은 근호를 6번, 3번, 2번 센 것입니다. 더하는 동안 근호 안의 수는 한 번도 바뀌지 않고 앞에 붙은 개수만 바뀝니다.

2. √50 + 5 - √18

   1. √50: 50 = 25 × 2이므로 25가 5로 나와 5√2가 됩니다
   2. √18: 18 = 9 × 2이므로 9가 3으로 나와 -3√2가 됩니다
   3. 5는 이미 정수이고 근호 아래에 간단히 할 것이 없습니다
   4. 근호가 있는 항은 5√2 - 3√2 = 2√2입니다
   5. 정수는 있던 자리에 그대로 남으므로 답은 5 + 2√2입니다
   6. 5 + 2√2는 소수 여섯 자리로 7.828427입니다

   정수와 근호는 동류항이 아니므로 하나로 합쳐지지 않고 나란히 앉습니다. 그래도 인쇄 순서는 정수 먼저로 고정되어 있고, 그래서 같은 합을 반대 순서로 적어도 답이 2√2 + 5가 아니라 5 + 2√2입니다.

3. √2 + √3, 아무것도 합쳐지지 않는 경우

   1. √2: 근호 안의 수 2에는 1 말고는 제곱 인수가 없어서 나오는 것이 없습니다
   2. √3: 3에도 제곱 인수가 없어서 나오는 것이 없습니다
   3. 두 근호 안의 수가 2와 3으로 다르므로 동류항이 아닙니다
   4. 합은 적힌 그대로 √2 + √3입니다
   5. √2 + √3은 소수 여섯 자리로 3.146264입니다

   여기서는 아무것도 하지 않고, 그것이 답입니다. 근호 안의 수가 다른 근호는 하나로 합칠 수 없습니다. 제곱해서 5가 되는 수가 √2 + √3을 대신할 수 없기 때문입니다. 그래도 소수 값은 내놓습니다. 값 자체는 지극히 잘 정의되어 있고, 다만 더 짧은 정확한 꼴이 없을 뿐입니다.

제곱근만 다룹니다. 세제곱근과 더 높은 차수의 근도 규칙은 똑같이 합쳐집니다. 근호 안의 수를 견주고 계수를 더하는 것입니다. 다만 그것을 적으려면 지수를 실은 기호가 필요하고 이 페이지의 표기에는 그 자리가 없습니다. 더 높은 차수의 근은 근 계산기가 한 항씩 다룹니다. 정수만 받으며, 계수와 근호 안의 수 모두 그렇습니다. 2.5√2의 정확한 값은 (5√2)/2라서 분수가 필요하고, √2.5가 √10 ÷ 2인 것도 같은 이유입니다. 근호 안의 수가 음수이면 거절합니다. 제곱해서 음수가 되는 실수는 없기 때문입니다. 항은 여덟 개까지 받고, 계수와 근호 안의 수는 각각 백만으로 제한됩니다. 답의 소수는 여섯 자리로 반올림되므로 정확한 값 자체가 아니라 그 근삿값입니다.

근호를 간단히 한다는 것은 무슨 뜻인가요?

근호 아래에 있는 제곱 인수를 전부 밖으로 꺼내어 앞에 계수로 적는 것입니다. 72 = 36 × 2이고 36이 완전제곱이므로 √72는 6√2가 됩니다. 값은 달라지지 않습니다. 6√2도 8.485281이고 √72도 8.485281입니다. 다만 그 꼴이 다음 계산에 쓸 수 있는 꼴입니다.

두 근호가 언제 동류항인가요?

간단히 한 뒤에 근호 안의 수가 같을 때입니다. 6√2와 3√2는 동류항이라서 9√2가 되고, √2와 √3은 아니어서 그 합을 하나의 근호로 적을 수 없습니다. 더해지는 것은 계수뿐입니다. 근호 안의 수가 세는 단위라서 가만히 있습니다.

답이 소수가 아니라 정확한 값으로 나오는 이유는 무엇인가요?

대부분의 근호가 무리수이고 소수는 그것을 근사할 수밖에 없기 때문입니다. 7√2가 정확한 값이고, 9.899495는 같은 수를 여섯 자리로 반올림한 것이라 일곱째 자리부터 틀립니다. 정확한 꼴을 남겨 두어야 다음 단계에서 답을 쓸 때 반올림 오차가 쌓이지 않습니다.

세제곱근도 넣을 수 있나요?

이 페이지에서는 안 됩니다. ∛8 + ∛2도 제곱근과 똑같은 규칙으로 합쳐지지만, 그 표기에는 근호 기호에 적어 넣을 지수가 필요하고 이 페이지는 맨 √를 인쇄합니다. 지수 2부터 12까지를 한 항씩 다루려면 근 계산기를 쓰십시오.

근호 옆에 정수가 함께 있어도 되는 이유는 무엇인가요?

정수도 근호 안의 수가 1까지 내려온 근호이기 때문입니다. √25는 5이고, 5는 5√1입니다. 그렇게 보면 정수와 근호가 하나의 규칙으로 합쳐지고, 답이 인쇄되는 고정 순서도 따라 나옵니다. 5 + √2처럼 정수가 먼저 옵니다.

답을 어떻게 검산하나요?

계수를 제곱해서 근호 안으로 도로 곱해 넣으면 됩니다. 7√2는 49 × 2 = 98인데 원래의 합이 아니므로, 항별로 검산하는 편이 낫습니다. 6√2는 36 × 2 = 72, 3√2는 18, 2√2는 8이고, 72 + 18 - 8 = 82입니다. 그 값은 적힌 그대로의 근호 안의 수들의 합이고, 그래서 검산은 항을 합치기 전에 해야 합니다.

• Quadratic Surd — b가 제곱인수를 갖지 않는 a√b 꼴의 표준형이며, 간단화한 근호 안의 수 열이 바로 그것 — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — 근호 기호와 그것이 이름 붙인 연산이며, 두 근호가 근호 안의 수가 같을 때만 더해지는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• Like terms — 두 항이 더해질 수 있는 조건이며, 근호에서는 근호 안의 수가 그것을 정함 — SplashLearn (United States)