곱셈 계산기

a × b: b의 자리를 b₀ + 10·b₁ + …로 적고, a × b_k를 한 줄로 적어 k자리 옮긴 뒤 줄을 모두 더함 곱 = (a × b)에 오른쪽에서 소수 자릿수만큼 들어간 자리에 소수점을 놓은 값

a

곱해지는 수입니다. 이 수 전체가 다른 수의 각 자리와 차례로 곱해지므로, 다른 수를 낱낱이 쪼개는 동안 이쪽은 한 덩어리로 남아 있습니다

b

곱하는 수이며, 오른쪽부터 한 자리씩 떼어 쓰는 수입니다. 자리마다 한 줄이 나오고 0인 자리도 줄을 만듭니다. 그 줄이 어느 자리였는지를 기록하기 때문입니다. 아무것도 없는 자리도 정보입니다

자리 이동

그 줄을 왼쪽으로 몇 자리 옮겨 적는지이며, 곱하는 수에서 그 숫자가 있던 자리와 같습니다. 자릿값이 하는 일입니다. 45의 4는 마흔이고, 그래서 그것이 만든 부분곱은 일의 자리 숫자가 만든 것보다 열 배 큽니다. 종이에서는 줄을 왼쪽으로 밀어 시작해 표현하고, 표에서는 숫자가 되어야 합니다

소수 자릿수

소수점 뒤에 숫자가 몇 개인지이며, 두 곱해지는 수 중 하나에서 세는 것이 아니라 둘을 합해서 셉니다. 2.3이 하나, 4.5가 하나이므로 곱은 둘을 가지고, 1035는 10.35가 됩니다. 자릿수 계산은 이 값에 전혀 기대지 않습니다. 곱셈은 처음부터 끝까지 정수로 돌아가고 소수점은 나중에 놓입니다

두 수를 손으로 곱하면서 풀이를 남겨야 할 때 씁니다. 종이에 푼 곱을 검산할 때, 자리를 옮기는 단계를 가르칠 때, 소수에서 소수점 위치가 자주 틀리는 부분일 때입니다. 어떤 수를 자기 자신과 거듭 곱하는 것은 지수 페이지의 일이고, 분수의 곱셈은 분자끼리 분모끼리라는 자기 규칙을 따릅니다.

1. 23 × 45

   1. 일의 자리로 곱합니다: 23 × 5 = 115이고 옮기지 않고 그대로 적습니다
   2. 십의 자리로 곱합니다: 23 × 4 = 92
   3. 십의 자리는 열 배의 값이므로 그 줄을 한 자리 왼쪽으로 옮겨 920이 됩니다
   4. 줄을 더합니다: 115 + 920 = 1035
   5. 어느 곱해지는 수에도 소수 자리가 없으므로 곱에도 없습니다
   6. 곱은 1035입니다

   기본값입니다. 920 끝의 0은 눈에 보이게 만든 자리 이동입니다. 종이에서는 그 줄이 그냥 한 칸 더 왼쪽에서 시작하고, 읽어 내려가는 자리에서는 적어야 하는 숫자가 됩니다. 더해지는 두 줄은 평범한 세로셈 덧셈이고, 그것이 옆 페이지의 일입니다.

2. 같은 숫자에 소수점을 붙인 경우

   1. 소수점을 잊고 숫자만 곱합니다: 23 × 45이므로 바로 앞의 예와 같습니다
   2. 부분곱은 115와 920으로 달라지지 않습니다
   3. 소수 자릿수를 셉니다: 2.3이 하나, 4.5가 하나이므로 곱은 둘입니다
   4. 1035의 오른쪽에서 두 자리 들어간 곳에 소수점을 놓습니다
   5. 곱은 10.35입니다

   여기서 소수가 어떻게 다뤄지는지가 가장 분명하게 드러납니다. 자릿수 계산은 23 × 45와 완전히 같고, 차이는 소수점이 어디에 놓이는지 하나뿐입니다. 소수 자릿수를 어느 한쪽에서 세지 않고 합으로 보고하는 이유도 그것입니다.

3. 곱하는 수에 0이 있는 경우

   1. 일의 자리로 곱합니다: 23 × 0 = 0이고 옮기지 않고 그대로 적습니다
   2. 십의 자리로 곱합니다: 23 × 4 = 92이고 한 자리 옮기면 920입니다
   3. 줄을 더합니다: 0 + 920 = 920
   4. 곱은 920입니다

   0인 줄을 빼지 않고 남깁니다. 손으로 쓸 때는 보통 생략하지만, 기록되는 것은 그 줄의 위치입니다. 40의 일의 자리가 아무것도 보태지 않았다는 사실을 말해 주고, 줄을 다 더하면 곱이 되는 검산도 그 줄이 있어야 성립합니다. FOIL 페이지와는 반대 선택입니다. 거기서는 0이 된 항을 버리는데, 그 항은 존재하지 않는 항이고 여기서는 실제로 적히는 줄이기 때문입니다.

두 곱해지는 수가 함께 가질 수 있는 소수 자릿수는 여섯 자리까지이고, 제한되는 것은 어느 한쪽이 아니라 그 합입니다. 이것은 산술의 한계가 아니라 표시의 한계입니다. 패널이 곱을 소수 여섯 자리로 인쇄하므로 여덟 자리가 필요한 곱은 0.000000으로 찍히는데, 그것은 맞는 답의 옷을 입은 틀린 답입니다. 각 곱해지는 수의 크기는 백만으로, 곱의 정수 형태는 정확히 나타낼 수 있는 가장 큰 정수로 제한됩니다. 자리를 하나씩 읽어 내려가는 방식이라 그 위에서는 부분곱을 다 더해도 곱이 되지 않기 때문입니다. 음수도 받으며, 부분곱은 부호 없이 인쇄됩니다. 부호는 마지막 곱에만 붙습니다. 0도 정당한 곱해지는 수이고, 음수와 0의 곱은 음의 0이 아니라 0으로 인쇄됩니다. 이 페이지는 곱하기만 합니다. 나누기는 자기 자리 규칙을 가진 별개의 절차입니다.

세로셈 곱셈이란 무엇인가요?

한 수를 낱낱이 쪼개서 두 수를 곱하는 방법입니다. 곱하는 수의 자리마다 한 줄이 나오고, 그 자리가 있던 위치에 따라 줄을 왼쪽으로 옮기고, 줄들을 더합니다. 계산기가 내놓는 것과 같은 곱이지만 중간의 줄을 버리지 않고 남겨 둡니다.

부분곱을 왜 옮겨 적나요?

숫자의 값이 어디에 앉아 있는지에 달려 있기 때문입니다. 45의 4는 마흔이고, 그래서 그것이 곱하는 모든 것은 5가 만든 것보다 열 배 커야 합니다. 줄을 한 자리 더 왼쪽에서 시작하는 것이 그것을 기록하는 방법입니다. 덧셈의 자리를 맞추는 것과 같은 규칙입니다.

소수점이 어디로 가는지는 어떻게 아나요?

두 곱해지는 수의 소수 자릿수를 세어 더하면 됩니다. 2.3이 하나, 4.5가 하나이므로 곱은 둘이고 1035는 10.35가 됩니다. 숫자들은 소수점을 보지 않습니다. 곱셈은 처음부터 끝까지 정수로 돌아가고 소수점은 마지막에 놓입니다.

0으로만 된 줄은 왜 남겨 두나요?

그 줄의 위치가 정보이기 때문입니다. 곱하는 수의 일의 자리가 0이면 그 줄은 일의 자리가 아무것도 보태지 않았다고 말해 주고, 그것을 지우면 남은 줄이 옮겨졌다는 사실도 함께 사라집니다. 남겨 두면 줄을 모두 더한 값이 언제나 곱과 같아지는데, 그것이 이 페이지가 받쳐 주는 검산입니다.

음수가 들어가면 어떻게 되나요?

두 곱해지는 수 중 정확히 하나가 음수면 곱이 음수이고, 둘 다 음수면 양수입니다. 어느 쪽이든 부분곱은 부호 없이 인쇄되며, 손으로 쓸 때 음수 부호를 식 바깥에 두는 것과 같습니다. 그래야 부분곱을 더한 값이 곱과 같아집니다.

정수인 곱에 0이 줄줄이 붙는 이유는 무엇인가요?

패널이 곱을 소수 여섯 자리로 고정해 인쇄하기 때문에 1035가 1035.000000으로 나옵니다. 다른 길은 곱을 텍스트로 인쇄하는 것인데, 그러면 답에 ASCII 마침표가 들어갑니다. 소수점을 쉼표로 쓰는 나라에서는 틀린 표시이고, 뒤에 0이 몇 개 붙는 것보다 훨씬 나쁩니다.

• Base — 부분곱을 한 자리 왼쪽으로 옮기면 열 배가 되는 이유이며, 자리 이동 열이 기록하는 것 — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — 어떤 수와 자기 자신에 적용한 곱셈이며, 두 곱해지는 수가 같아지는 경우입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — 역연산이며, 이것을 변형한 것이 아니라 다른 자리 절차를 필요로 하는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)