세로셈 나눗셈 계산기

1234 ÷ 12 → 1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10 ⇒ 몫 102, 나머지 10, 그리고 12 × 102 + 10 = 1234

1234

나누어지는 수이며 0에서 1000000000 사이의 정수입니다. 0도 허용되고 몫과 나머지가 모두 0으로 나옵니다. 음수와 소수는 거부합니다. 아래의 필산 알고리즘은 자릿수를 전제로 하고, 이 페이지는 부호 규칙을 밝히지 않기 때문입니다

12

나누는 수이며 1에서 1000000000 사이의 정수입니다. 0일 수는 없습니다. 0개의 부분으로 나눌 수 없고, 어떤 몫도 검산을 만족하지 못합니다. 나누어지는 수보다 클 수 있고, 그때 몫은 0이며 나머지는 나누어지는 수 자신입니다

1, 2, 3, 4

나누어지는 수의 자릿수이며 왼쪽부터 하나씩 가져옵니다. 각 단계는 앞 단계의 나머지에 다음 자리를 덧붙이고, 자리를 내린다는 말이 그것입니다. 단계 수는 나누어지는 수의 자릿수와 같으므로 1234는 네 단계, 1000000000은 열 단계입니다

0, 1, 0, 2

각 단계가 만들어 내는 몫의 자리이며, 그 단계의 값 안에 나누는 수가 몇 번 통째로 들어가는지를 나타냅니다. 값이 나누는 수보다 작은 단계는 자리 0을 내놓고, 그 0들은 답의 일부입니다. 102 가운데에 0이 하나 있고, 그것을 빼면 12가 됩니다

1, 0, 3, 10

각 단계에 남는 나머지이며 언제나 음수가 아닌 쪽입니다. 마지막 것이 나눗셈 전체의 나머지이고, 앞의 것들은 중간값이라 다음 자리를 내리면 사라집니다. 여기서 음수가 나오는 일은 없고, 그래서 음수 피제수는 나머지 관례를 다루는 페이지의 몫입니다

나누어지는 수 = 나누는 수 × 몫 + 나머지

검산 출력이며, 덤으로 나온 결과가 아니라 이 연산 전체의 정의입니다. 1234 ÷ 12라면 12 × 102 + 10 = 1234로 읽힙니다. 이 줄이 참이면 몫과 나머지는 정의상 맞고, 거짓이면 이 페이지의 다른 어떤 것도 믿을 수 없습니다

이것은 필산 방법 자체이므로, 필요한 사람은 그것을 배우는 사람입니다. 단계 문자열은 종이에 적었을 풀이이고, 답이 어긋날 때 자기 풀이와 줄 단위로 견주어 볼 만합니다. 둘이 갈라지는 자리가 곧 실수이고, 그 정보가 정답을 듣는 것보다 쓸모 있습니다. 검산 줄이 그 나머지 절반입니다. 나누는 수 곱하기 몫 더하기 나머지가 나누어지는 수와 같으므로, 몫과 나머지를 가진 사람은 세로셈을 다시 하지 않고도 그것을 확인할 수 있습니다. 수업 밖에서는 정수를 쪼갤 수 없을 때마다 같은 분해가 쓰입니다. 1234개의 물건을 12개씩 묶으면 102묶음이 되고 10개가 남는데, 그 남은 것이 나눠 줄 수 없는 부분입니다. 나머지가 0이면 나눗셈이 떨어졌다는 뜻입니다. 이 알고리즘은 소수 전개가 나오는 자리이기도 합니다. 나머지에 0을 붙여 소수점 아래로 풀이를 이어 가면 몫의 소수가 나오고, 나머지가 되풀이되면 소수도 되풀이됩니다. 1 ÷ 7은 같은 나머지 여섯 개를 끝없이 돌고, 그래서 1/7에 여섯 자리 되풀이 무늬가 있습니다. 프로그래밍 언어가 음수 피제수를 다루는 방식은 버림과 내림 둘이 흔하고 서로 어긋납니다. 이 나눗셈 계산기가 인쇄하는 음수가 아닌 나머지는 내림 쪽이고, 나머지 계산기가 둘을 나란히 보여 줍니다.

1. 1234 ÷ 12, 기본 입력

   1. 1을 내립니다. 1 ÷ 12는 0번이므로 첫 몫 자리는 0이고 1이 남습니다
   2. 2를 내립니다. 값은 12이고 12 ÷ 12는 1번이며 남는 것이 없습니다
   3. 3을 내립니다. 값은 3이고 3 ÷ 12는 0번이며 3이 남습니다
   4. 4를 내립니다. 값은 34이고 34 ÷ 12는 2번이며 10이 남습니다
   5. 몫의 자리를 순서대로 모으면 0, 1, 0, 2이고 앞의 0을 쓰지 않으면 102입니다
   6. 마지막 나머지는 10이고 검산이 그것을 확인합니다. 12 × 102 + 10 = 1234

   기본 입력이고, 몫에 0이 왜 중요한지를 보여 주는 경우입니다. 셋째 단계는 3이 12보다 작아서 0을 내놓는데, 그 자리는 장식이 아닙니다. 답은 102이고 12가 아닙니다. 첫 단계의 앞쪽 0은 생략되는데, 102와 0102는 다르게 적은 같은 수이기 때문입니다. 검산 줄은 문장처럼 읽어 볼 만합니다. 나누는 수 곱하기 답 더하기 남은 것이 처음 수를 되돌려 줍니다.

2. 5432 ÷ 17, 아래 표의 예

   1. 5를 내립니다. 5 ÷ 17은 0번이고 5가 남습니다
   2. 4를 내립니다. 값은 54이고 54 ÷ 17은 3번(3 × 17 = 51)이며 3이 남습니다
   3. 3을 내립니다. 값은 33이고 33 ÷ 17은 1번(17)이며 16이 남습니다
   4. 2를 내립니다. 값은 162이고 162 ÷ 17은 9번(9 × 17 = 153)이며 9가 남습니다
   5. 몫의 자리는 0, 3, 1, 9이고 319이며, 나머지는 9입니다

   아래 표가 한 단계씩 열로 펼쳐 놓은 네 줄이고, 둘 다 읽을 값어치가 있습니다. 각 단계는 나누는 수를 다시 곱해 보아 아직 들어가는 가장 큰 곱을 찾습니다. 54에 대해 3 × 17 = 51, 33에 대해 1 × 17 = 17, 162에 대해 9 × 17 = 153이고, 나머지가 그 차이입니다. 여기서 차이는 3, 16, 9로 모두 나누는 수 17보다 작으며, 그 사실이 각 몫 자리를 들어가는 가장 큰 자리로 만들어 줍니다.

3. 나머지가 되풀이되는 경우: 1000000000 ÷ 7

   1. 1을 내립니다. 1 ÷ 7은 0번이고 1이 남습니다
   2. 0을 하나씩 내리면 10, 30, 20, 60, 40, 50이 되고 다시 10이 됩니다
   3. 몫의 자리는 1, 4, 2, 8, 5, 7이고 그다음에 1, 4, 2, 8이 되풀이됩니다
   4. 일곱 번째 단계 뒤에 나머지가 1로 돌아오므로 주기 전체가 처음부터 다시 시작합니다
   5. 몫은 142857142이고 마지막 나머지는 6입니다

   여기서 나머지는 1, 3, 2, 6, 4, 5로 흐르다가 다시 1로 돌아옵니다. 1/7의 주기이며, 몫의 자리가 142857로 되풀이되는 이유입니다. 이 되풀이는 이 피제수만의 특이한 성질이 아닙니다. 나머지가 한 번 되풀이되면 그 뒤의 모든 것이 함께 되풀이됩니다. 다음 단계가 내려온 값에만 달려 있기 때문입니다. 분수를 소수로 쓸 때 유한소수가 되거나 순환소수가 되는 이유도 이것이고, 1/7의 되풀이 마디가 여섯 자리인 이유도 이것입니다.

4. 나누는 수가 더 클 때: 7 ÷ 999999999

   1. 내릴 자리가 하나뿐이고 그 값은 7입니다
   2. 999999999가 7보다 훨씬 크므로 7 ÷ 999999999는 0번입니다
   3. 몫의 자리는 0이고 피제수 전체가 남습니다
   4. 몫은 0이고 나머지는 7입니다

   몫이 0인 것은 실패가 아니라 진짜 답입니다. 나누는 수가 한 번도 들어가지 않으면 아무것도 빼지 않으므로 나머지가 피제수 전체이고, 검산은 999999999 × 0 + 7 = 7로 읽힙니다. 단계 목록이 한 줄인 것은 피제수의 자릿수가 하나이기 때문입니다. 단계 수는 언제나 나누는 수의 크기가 아니라 나누어지는 자릿수와 같습니다.

두 수 모두 정수여야 합니다. 나누어지는 수는 0에서 1000000000까지이고 나누는 수는 1에서 1000000000까지입니다. 나누는 수가 0인 것은 거부합니다. 0을 곱해서 0이 아닌 피제수를 되돌려 주는 수가 없으므로, 어떤 몫과 나머지도 검산을 만족하지 못합니다. 음수는 부호 규칙을 붙여 다루지 않고 거부합니다. 여기 보이는 필산 알고리즘은 자릿수 위에서 움직이고, 음수 나눗셈에 대한 두 관례는 서로 어긋나기 때문입니다. 이 페이지는 음수가 아닌 나머지를 인쇄하고, 그 선택이 문제가 되는 경우는 두 관례를 나란히 보여 주는 나머지 계산기의 몫입니다. 소수도 거부합니다. 알고리즘은 0을 붙여 소수점 아래로 늘릴 수 있지만 그것은 다른 절차이고 이 페이지는 하지 않습니다. 다만 위의 되풀이되는 나머지가 바로 그 소수가 나오는 자리입니다. 피제수가 0인 것은 받아들이고 몫 0, 나머지 0을 냅니다. 단계 목록은 피제수의 자릿수마다 한 줄이므로 열 자리 피제수는 열 줄을 만들고 패널이 길어집니다. 그것은 요약이 아니라 풀이이고, 길어지는 것이 설계입니다. 아래 참고표는 5432 ÷ 17에 고정되어 있고 입력한 수를 따라가지 않습니다. 위의 패널이 여러분의 수에 답하고, 표는 단계의 각 열이 무엇을 뜻하는지 보여 주기 위해 있습니다. 모든 값은 정확하고 반올림되지 않습니다.

세로셈 나눗셈은 어떻게 하나요?

피제수의 왼쪽부터 한 자리씩 나아갑니다. 지금까지 만든 값을 나누는 수로 나누고, 통째로 몇 번 들어가는지를 답의 다음 자리로 적고, 남은 것을 남겨 둡니다. 그다음 다음 자리를 내려옵니다. 남은 것에 그 자리를 붙이는 것이고, 자릿수가 다할 때까지 반복합니다. 1234 ÷ 12라면 자리가 0, 1, 0, 2로 모이고 마지막 나머지가 10이므로 답은 몫 102, 나머지 10입니다.

몫과 나머지는 무엇이 다른가요?

몫은 나누는 수가 피제수에 통째로 몇 번 들어가는지이고, 나머지는 더 이상 들어가지 않을 때 남은 것입니다. 둘은 정의로 묶여 있습니다. 나누어지는 수는 나누는 수 곱하기 몫 더하기 나머지와 같습니다. 1234 ÷ 12에서 몫은 102, 나머지는 10이고, 12 × 102 + 10이 1234를 되돌려 줍니다. 나머지는 언제나 나누는 수보다 작고, 그래서 몫이 들어가는 가장 큰 정수가 됩니다.

여기서는 나머지가 왜 음수가 되지 않나요?

이 페이지가 나머지를 음수가 아닌 쪽으로 잡는 관례를 쓰기 때문입니다. 피제수를 넘지 않는 가장 큰 배수를 빼고, 남은 것이 0과 나누는 수 사이에 옵니다. 프로그래밍 언어는 버림을 쓰는 경우가 많아 나머지가 음수가 될 수 있습니다. -1을 2로 나누면 버림에서는 나머지가 -1이고 이 관례에서는 1입니다. 나머지 계산기가 둘을 나란히 보여 줍니다. 이 페이지는 음수 피제수를 조용히 한쪽으로 처리하는 대신 거부합니다.

답에 0이 들어가도 되나요?

됩니다. 그 0은 답의 일부입니다. 그 단계의 값이 나누는 수보다 작을 때마다 자리 0이 나타나므로, 1234 ÷ 12는 자리 0, 1, 0, 2를 만들어 냅니다. 가운데 0은 뺄 수 없습니다. 102와 12는 다른 수이기 때문입니다. 생략되는 것은 앞쪽 0뿐이고, 0102와 102는 같은 수입니다.

피제수가 나누는 수보다 작으면 어떻게 되나요?

몫이 0이고 나머지가 피제수 전체입니다. 7 ÷ 999999999는 0번이므로 아무것도 빼지 않고 7이 전부 남으며, 검산은 999999999 × 0 + 7 = 7로 읽힙니다. 단계 목록이 한 줄인 것은 단계 수가 언제나 나누는 수가 아니라 피제수의 자릿수와 같기 때문입니다.

나머지가 왜 되풀이되기 시작하나요?

각 단계가 자기에게 들어온 값에만 달려 있어서, 나머지가 한 번 되돌아오면 그 뒤의 수열 전체가 되풀이되기 때문입니다. 1000000000을 7로 나누면 나머지가 1, 3, 2, 6, 4, 5로 흐르다가 다시 1이 되고, 몫의 자리가 142857로 되풀이됩니다. 순환소수가 나오는 자리가 여기입니다. 같은 풀이를 0을 붙여 소수점 아래로 이어 가면 그 주기가 1/7의 되풀이 마디가 됩니다.

• Long division — 필산 알고리즘, 그리고 이 페이지가 한 줄씩 인쇄하는 자릿수 단위 절차와 그 표기법 — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — 피제수와 제수, 몫과 나머지, 그리고 그것들을 묶는 항등식 — Wolfram MathWorld (United States)
• Quotient — 몫이란 무엇이고, 정확한 몫과 세로셈이 내놓는 정수 부분이 어떻게 다른지 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 제수가 두 자리인 나눗셈과 나머지가 있는 나눗셈은 이 교육과정의 수와 대수 영역 내용이므로 원문과 학년군 요구는 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部