나머지 계산기

47 = 5 × 9 + 2 ⇒ 몫 9, 나머지 2이고, 유클리드에서는 -47 = 5 × -10 + 3, 버림에서는 -47 = 5 × -9 + -2

47

나누어지는 수이고, -1000000000에서 1000000000까지의 정수입니다. 음수가 허용되고, 그것이 아래의 규칙 항목이 존재하는 이유입니다. 소수점이 있는 입력은 반올림하지 않고 거부합니다. 나머지는 정수에 대한 진술이기 때문입니다

5

나누는 수이고 -1000000000에서 1000000000까지의 정수입니다. 0일 수는 없습니다. 검산을 만족할 몫이 없기 때문입니다. 음수여도 되고, 나누는 수가 음수이면 두 규칙 모두에서 몫의 부호가 뒤집힙니다. 그것을 바로잡아 주는 것이 검산 줄입니다

버림

정확한 몫의 소수 부분을 버려서 몫을 0 쪽으로 옮기는 규칙입니다. -47 ÷ 5에서 -9.4를 버려 -9가 됩니다. 그러면 나머지가 나누어지는 수의 부호를 따라가고 음수가 될 수 있습니다. 대부분의 프로그래밍 언어가 내놓는 값이고 이 페이지의 기본값입니다

유클리드

몫을 대신 다음 정수로 내려서 나머지가 결코 음수가 되지 않게 하는 규칙입니다. -47 ÷ 5에서 -10과 나머지 3이 나옵니다. 수론과 모듈로 산술이 요구하는 쪽이고, 나머지가 한 주기 안의 위치를 뜻할 때 음수는 의미가 없기 때문입니다. 두 수가 모두 양수일 때는 두 규칙이 일치합니다

몫 9

나누는 수가 통째로 몇 번 들어가는지입니다. 버림에서는 정확한 몫에서 소수 부분을 떨어낸 값이고, 유클리드에서는 정확한 몫을 내림한 값입니다. 부호 때문에 나머지가 음수가 되는 경우에만 두 값이 정확히 1만큼 다르고, 그 밖에는 결코 다르지 않습니다

나머지 2

남은 것이고 이 페이지 전체가 다루는 수입니다. 절댓값이 언제나 나누는 수보다 작고, 나누어떨어질 때는 0입니다. 두 규칙의 차이는 전부 이 값의 부호입니다. 버림에서는 나누어지는 수를 따라가고, 유클리드에서는 0 아래로 내려가지 않습니다

무언가를 묶음으로 나누는 일이 일상적인 경우이고, 규칙이 문제가 되지 않는 자리이기도 합니다. 47개를 5개씩 묶으면 9묶음이 되고 2개가 남는데, 몫이 -9이고 -2가 남는다고 말할 사람은 없습니다. 규칙이 중요해지는 순간은 수가 음수로 갈 수 있을 때이고, 그런 일은 생각보다 자주 있습니다. 프로그래밍의 정수 나눗셈이 흔한 경우입니다. 대부분의 언어가 버림을 쓰므로 -47 / 5가 -9이고 나머지가 -2이며, 나머지가 음수가 되지 않는다고 가정한 코드는 음수 입력에서 깨집니다. 모듈로 산술은 반대편입니다. 시계 시각, 달력 날짜, 목록을 돌아가며 고르기, 고정 폭 정수의 컴퓨터 산술은 모두 유클리드 쪽이 필요합니다. 여기서 세 걸음 뒤가 주기 안의 실제 위치에 놓여야 하기 때문입니다. 학습에서는 세로셈과 함께 버림 쪽 나머지를 배우고, 음수는 빼거나 나누어지는 수의 부호를 따른다는 같은 규칙으로 처리합니다. 검산 줄은 이 모든 자리에서 쓸 만합니다. 두 규칙은 몫이 1만큼 다르고 나머지가 나누는 수만큼 다른데 두 짝 모두 정의를 만족하므로, 정의를 만족하지 않는 짝은 어느 규칙을 의도했든 버그입니다. 이 나머지 계산기가 필요한 자리에서는 몫과 나머지와 검산이 한 화면에 함께 나옵니다. 버림과 유클리드 가운데 어느 쪽을 고를지는 무엇을 하려는지가 정합니다. 프로그래밍 언어의 정수 나눗셈을 확인하려는 것이면 버림이고, 주기 안의 위치가 필요하면 유클리드입니다.

1. 47 ÷ 5, 두 규칙이 일치하는 경우

   1. 5는 47에 아홉 번 들어갑니다. 5 × 9 = 45입니다
   2. 47 - 45 = 2이므로 2가 남습니다
   3. 정확한 몫은 9.4이고 이것을 버리면 9입니다
   4. 9.4를 내림해도 9이므로 두 규칙이 여기서는 일치합니다
   5. 검산: 5 × 9 + 2 = 47

   기본값이고, 규칙 항목이 아무 차이도 만들지 않는 경우입니다. 나누어지는 수와 나누는 수의 부호가 같으면 두 규칙이 일치하고, 양수끼리는 그중 하나입니다. 차이는 둘 중 하나가 음수가 되어야 드러납니다. 검산을 문장처럼 읽는 습관을 들일 만합니다. 나누는 수 곱하기 몫 더하기 나머지가 나누어지는 수를 정확히 되돌려 줘야 합니다.

2. -47 ÷ 5, 버림: 나머지가 음수가 됩니다

   1. 정확한 몫은 -47 ÷ 5 = -9.4입니다
   2. 버림은 소수 부분을 떨어내 몫을 0 쪽으로 옮깁니다. -9입니다
   3. 5 × -9 = -45이고 이는 -47보다 2만큼 크므로 2를 되돌려야 합니다. 나머지가 -2입니다
   4. 나머지가 나누어지는 수의 부호를 따라가고, 그래서 여기서는 음수가 됩니다
   5. 검산: 5 × -9 + -2 = -47

   몫이 -10이 아니라 -9이고 나머지가 3이 아니라 -2입니다. 이 짝도 다음 짝도 같은 정의를 만족하는데, 그것이 이 페이지의 요점입니다. -9 나머지 -2와 -10 나머지 3은 둘 다 -47의 올바른 분해이고, 어느 쪽을 받을지는 규칙이 정합니다. 대부분의 프로그래밍 언어가 여기에 도착하므로, 나머지가 음수가 되지 않는다고 가정한 코드는 이 줄에서 놀라게 됩니다.

3. -47 ÷ 5, 유클리드: 나머지가 0 이상으로 남습니다

   1. 정확한 몫은 여전히 -47 ÷ 5 = -9.4입니다
   2. 유클리드는 0 쪽이 아니라 다음 정수로 내립니다. -10입니다
   3. 5 × -10 = -50이고 이는 -47보다 3만큼 작으므로 3이 남습니다. 나머지가 3입니다
   4. 나머지가 0 이상이고, 이것이 이 규칙이 보장하는 바입니다
   5. 검산: 5 × -10 + 3 = -47

   같은 나누어지는 수, 같은 나누는 수, 다른 답입니다. 그리고 이것은 앞 예를 고친 것이 아닙니다. 유클리드는 모듈로 산술이 요구하는 쪽입니다. 주기 안의 위치를 뜻하는 나머지는 음수일 수 없기 때문이고, 그래서 -47 modulo 5는 3이며 모듈로 연산의 결과는 0과 나누는 수 사이에 있을 것으로 기대됩니다. 몫이 버림보다 하나 작고 나머지가 정확히 나누는 수만큼 큰데, 이것이 두 규칙 사이의 정해진 관계입니다.

4. 음수 나누는 수와 범위 끝: 1000000000 ÷ -999999999

   1. 나누는 수가 음수이므로 정확한 몫도 음수입니다. 약 -1.000000001입니다
   2. 0 쪽으로 버리면 -1입니다
   3. -999999999 × -1 = 999999999이고 이는 1000000000보다 1만큼 모자랍니다
   4. 나머지는 1이고 나누어지는 수의 부호를 따라가므로 양수입니다
   5. 검산: -999999999 × -1 + 1 = 1000000000

   두 수가 모두 페이지가 받는 범위의 끝에 있고, 나누는 수의 절댓값이 나누어지는 수보다 아주 조금 크기 때문에 몫이 -1로 나옵니다. 읽을 만한 것은 검산 줄입니다. 음수 두 개가 곱해져 양수가 되고 거기에 나머지 1을 더하면 정확히 나누어지는 수에 닿습니다. 나누는 수가 음수이면 두 규칙 모두에서 몫의 부호가 뒤집히지만, 나머지는 여전히 나누어지는 수를 따라갑니다.

나누어지는 수와 나누는 수는 모두 -1000000000에서 1000000000까지의 정수여야 하고, 어느 규칙에서든 나누는 수는 0일 수 없습니다. 0에 곱해서 0이 아닌 나누어지는 수를 되돌려 주는 수가 없으므로 검산을 만족할 몫과 나머지가 존재하지 않습니다. 소수점이 있는 입력은 반올림하지 않고 거부합니다. 나머지는 정수가 정수를 나누는 일에 대한 진술이기 때문입니다. 규칙 항목은 버림과 유클리드 둘 중 하나를 받고 둘은 언제나 고를 수 있습니다. 세 번째 선택지는 없고, 페이지가 어느 쪽을 뜻했는지 짐작하지도 않습니다. 두 수가 모두 양수일 때는 고르는 것이 아무 차이도 만들지 않고, 두 규칙은 나머지의 부호와 1만큼 다른 몫 말고는 어느 것도 두고 다투지 않습니다. 버림에서는 나머지가 음수가 될 수 있는데, 그것은 오류가 아니라 그 규칙의 동작입니다. 아래 참고표는 ±47과 ±5로 고정되어 있고 입력을 따라가지 않습니다. 네 가지 부호 조합을 늘어놓아 두 규칙을 나란히 견줄 수 있게 한 것이고, 위의 패널이 여러분이 적은 수에 답합니다. 모든 값이 정확합니다. 네 수 모두 기계가 정확히 담는 범위 안쪽의 정수이므로 여기서 반올림되는 것은 없습니다.

같은 나눗셈에 답이 왜 두 개인가요?

정의가 몫 곱하기 나누는 수 더하기 나머지가 나누어지는 수를 되돌려 주어야 한다고만 말하고, 나누어지는 수가 음수일 때는 몫이 작고 나머지가 음수인 짝도 몫이 크고 나머지가 양수인 짝도 그것을 만족하기 때문입니다. -47 ÷ 5는 몫을 0 쪽으로 버리면 -9 나머지 -2이고, 내림하면 -10 나머지 3입니다. 둘 다 맞고, 어느 쪽을 받을지는 규칙이 정합니다.

어느 규칙을 써야 하나요?

버림이 여기서 기본값인 것은 대부분의 프로그래밍 언어가 그 값을 내놓고 사람들이 정수 나눗셈이라고 할 때 대개 그것을 뜻하기 때문입니다. 몫이 0 쪽으로 가고 나머지가 나누어지는 수의 부호를 따라갑니다. 나머지가 음수가 아니어야 할 때는 유클리드를 고르십시오. 수학적인 뜻의 모듈로, 주기 안의 위치, 달력 산술, 나머지가 반복되는 목록의 색인인 모든 자리가 그렇습니다. 두 수가 모두 양수일 때는 고르는 것이 아무 차이도 만들지 않습니다.

나누는 수가 음수일 때 나머지는 어떻게 되나요?

같은 규칙이 적용되고 몫의 부호만 뒤집힙니다. 47 ÷ -5는 버림에서 -9 나머지 2인데, 나머지가 나누는 수가 아니라 나누어지는 수를 따라가기 때문입니다. 나누는 수가 음수이면 몫의 부호가 바뀌고 나머지의 부호 규칙은 그대로입니다. 표의 둘째 줄이 그것을 보여 줍니다.

모듈로 연산과 같은 것인가요?

가깝지만 같지는 않습니다. 모듈로는 나머지만 돌려주고 보통 결과가 음수가 아니도록 정의되며, 그것이 여기서의 유클리드 규칙입니다. 차이는 음수 입력에서 드러납니다. -47 modulo 5는 3인데, 버림을 쓰는 정수 나눗셈은 -2를 돌려줍니다. 음수가 아닌 결과를 원하면 유클리드를, 몫을 0 쪽으로 반올림한 값을 원하면 버림을 고르십시오.

나누어떨어질 때 나머지는 무엇인가요?

어느 규칙에서든 0입니다. 나누는 수가 정수 번 들어가고 남는 것이 없으면 검산이 나누는 수 곱하기 몫은 나누어지는 수와 같다고 읽히고, 세 번째 항을 걱정할 것이 없습니다. 나머지가 0인 것은 정상적인 답이고 나눗셈이 정확했다는 뜻이지 출력이 실패했다는 뜻이 아닙니다.

나누는 수가 0일 수 없는 이유는 무엇인가요?

검산을 만족할 몫과 나머지가 없기 때문입니다. 나누는 수가 0이면 어떤 몫에 0을 곱해도 0이므로, 검산은 나머지가 나누어지는 수와 같으면서 동시에 절댓값이 나누는 수보다 작기를 요구하게 됩니다. 0이 아닌 나누어지는 수에서는 불가능하고, 나누어지는 수가 0이면 답이 하나가 아니라 모든 수가 됩니다. 페이지는 아무 값이나 돌려주는 대신 입력을 거부합니다.

• Remainder — 정의, 나누어지는 수와 나누는 수와 몫과 나머지를 잇는 등식, 그리고 부호가 끼었을 때 쓰이는 여러 규칙 — Wolfram MathWorld (United States)
• Modular arithmetic — 나머지가 음수가 아니라는 규칙이 어디서 왔는지, 그리고 주기 안의 위치로 쓸 때 음수 나머지가 왜 쓸 수 없는지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — 나누어지는 수와 나누는 수와 몫, 그리고 이 페이지가 검산으로 인쇄하는 형태로 다시 적은 등식 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 나머지가 있는 나눗셈은 이 교육과정의 수와 대수 영역 내용이므로 원문과 학년군 요구는 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部