황금비 계산기

긴 부분 ÷ 짧은 부분 = φ(1.618…) 전체 ÷ 긴 부분 = φ 짧은 부분 = 긴 부분 ÷ φ 긴 부분 = 짧은 부분 × φ 전체 = 긴 부분 + 짧은 부분

아는 부분

셋 중 하나를 고릅니다. 긴 부분인지 짧은 부분인지 선 전체인지이고, 어느 칸이 입력이고 어느 두 값이 거기서 계산될지를 정합니다. 선 전체가 기본값인데, 직접 잴 수 있는 길이가 보통 이 문제로 들어오는 길이기 때문입니다.

아는 길이

그 부분이 얼마나 긴지입니다. 100일 수도, 1920일 수도, 0.5일 수도 있습니다. 0보다 커야 합니다. 0에는 황금 분할이 없고 두 부분이 모두 0이 되며, 음수 길이는 길이가 아니기 때문입니다. 정수로 제한되지 않고 단위도 붙지 않으므로 픽셀과 밀리미터와 인치가 모두 같게 작동합니다.

긴 부분

분할에서 큰 조각이고 주된 값입니다. 전체를 알면 전체를 φ로 나눈 것이고, 짧은 부분을 알면 그 값에 φ를 곱한 것이며, 자기 자신을 알면 입력한 수 그대로입니다.

짧은 부분

작은 조각입니다. 전체를 알면 긴 부분을 덜어 내고 남은 것이고, 긴 부분을 알면 그것을 φ로 나눈 것이며, 자기 자신을 알면 입력한 수 그대로입니다.

선 전체

두 조각을 더한 값이고, 그 칸을 채웠다면 처음의 길이와 같습니다. 세 값을 붙잡아 주는 값이라 화면에서 유일하게 늘 인쇄되는 값이기도 합니다.

이 황금비율은 여러분이 고를 수 있는 값이 아니라 주어진 비이고, 그것이 첫째 쓰임을 이해하는 열쇠입니다. 첫째 쓰임은 배치입니다. 페이지나 캔버스나 사진이나 액자가 황금 분할로 나뉘어야 하고, 전체 너비를 알며 두 부분을 원하는 경우입니다. 둘째는 반대 방향이고 못지않게 흔합니다. 긴 조각을 이미 그렸고 이제 짧은 것이 필요하거나, 짧은 조각이 고정되어 있어 긴 것을 거기서 끌어내야 하는 경우입니다. 셋째는 남이 만든 분할을 확인하는 일입니다. 긴 부분을 넣고 그것이 함의하는 전체가 도면에 있는 것인지 보는 것입니다. 넷째는 크기를 넘나드는 비례입니다. 같은 디자인의 큰 판과 작은 판에 같은 비율을 적용하는 경우이고, 비율에는 단위가 없으므로 둘 사이에 변환할 것이 없습니다. 다섯째는 수가 아니라 말을 먼저 만나고 온 사람들이 들고 오는 경우입니다. 길이 100이 61.8과 38.2가 되는 것을 보면 정의가 구체적으로 잡히고, 아래 표가 익숙한 너비 몇 개에 대해 그것을 되풀이해 주므로 크기를 바꿀 때의 효과를 한 열에서 읽어 낼 수 있습니다.

1. 전체가 100인 선

   1. 긴 부분: 100 ÷ 1.6180339887 = 61.8034
   2. 짧은 부분: 100 − 61.8034 = 38.1966
   3. 확인: 61.8034 + 38.1966 = 100이고, 처음의 길이입니다
   4. 그리고 비율: 61.8034 ÷ 38.1966 = 1.618

   기본값이고 가장 분명한 경우입니다. 둥근 100이 들어가서 어정쩡한 두 수가 나오고, 그 둘이 정확히 100으로 다시 더해집니다. 마지막 부분은 우연이 아닙니다. 짧은 조각을 두 번째 나눗셈이 아니라 빼기로 구하므로 인쇄된 두 줄이 입력한 줄과 어긋날 수 없습니다. 네 번째 단계는 정의를 거꾸로 돌린 것이고 한 번 해 볼 만합니다. 긴 부분을 짧은 부분으로 나누면 φ가 나와야 합니다.

2. 긴 부분이 100인 경우

   1. 긴 부분을 알므로 그것이 100 그대로입니다
   2. 짧은 부분: 100 ÷ 1.6180339887 = 61.8034
   3. 전체: 100 + 61.8034 = 161.8034

   두 번째 갈래이고, 이미 그린 것을 재는 쪽입니다. 같은 세 줄이 나오지만 이번에는 짧은 쪽이 나눗셈으로 구해집니다. 짧은 조각이 긴 조각의 61.8 퍼센트가 아니라 61.8 퍼센트가 아니라는 점에 주목하십시오. 두 조각의 차이는 전체의 23.6 퍼센트이고, 그 값이 황금 분할이 3분할 규칙의 60 대 40처럼 보이지 않는 이유입니다.

3. 짧은 부분이 100인 경우

   1. 짧은 부분을 알므로 그것이 100 그대로입니다
   2. 긴 부분: 100 × 1.6180339887 = 161.8034
   3. 전체: 100 + 161.8034 = 261.8034

   세 번째 갈래이고 셋 가운데 유일하게 곱셈을 씁니다. 고정된 짧은 조각에서 출발해 긴 조각을 키우는 경우입니다. 세 갈래가 모두 같은 세 수를 인쇄한다는 것에 주목할 만합니다. 무엇을 넣든 패널의 모양은 같고, 달라지는 것은 어느 줄이 입력 그대로인지뿐입니다.

4. 너비가 1920픽셀인 화면

   1. 긴 부분: 1920 ÷ 1.6180339887 = 1186.6253
   2. 짧은 부분: 1920 − 1186.6253 = 733.3747
   3. 확인: 1186.6253 + 733.3747 = 1920

   실무에서 자주 만나는 값이고, 비율에는 단위가 없다는 것이 여기서 드러납니다. 픽셀을 넣어도 밀리미터를 넣어도 같은 비율이 나옵니다. 다만 레이아웃에 쓸 값이라면 1186.6253픽셀은 그대로 쓸 수 없습니다. 이 페이지는 두 조각을 반올림해야 하는지까지는 알려 주지 않습니다.

5. 전체가 2인 선

   1. 긴 부분: 2 ÷ 1.6180339887 = 1.2361
   2. 짧은 부분: 2 − 1.2361 = 0.7639
   3. 확인: 1.2361 + 0.7639 = 2

   작은 쪽 끝이고, 표의 첫 세 줄과 같은 이야기입니다. 1도 10도 100도 2도 모두 같은 비례로 나뉘고, 달라지는 것은 소수점 위치뿐입니다. 비율이 고정하는 것이 비례 하나뿐이고, 그 비례가 1픽셀에서도 1000픽셀에서도 같기 때문입니다.

넣는 길이는 0보다 커야 합니다. 0은 거부합니다. 황금 분할이 0 둘이 되어 아무것도 말해 주지 않기 때문이고, 음수 길이는 작은 길이가 아니라 존재하지 않는 길이라서 거부합니다. 한 번에 길이 하나만 받고, 다른 곳에서 한 분할을 확인해 주지는 않습니다. 이미 두 조각을 잘라 두었다면 그중 하나를 넣었을 때 나오는 것은 그 조각이 속한 분할이지 가지고 있는 짝이 맞는지의 확인이 아닙니다. 세 값은 소수 네 자리까지 인쇄되므로 정확한 수가 아닙니다. φ에는 정확한 소수 표현 자체가 없고 이 페이지는 모든 줄에서 반올림합니다. 전체와 긴 부분을 함께 격자에 올려도 인쇄된 줄들은 여전히 정확히 합쳐지지만, 소수 다섯 자리 이상인 길이는 마지막 자리가 하나 어긋날 수 있고 그것은 산술이 아니라 인쇄의 문제입니다. 길이에 단위가 없는 것은 의도한 것이고, 그래서 두 조각이 밀리미터인지 마일인지 이 페이지는 알려 줄 수 없으며 픽셀 단위의 분할이 정수 픽셀로 반올림되어야 한다는 것도 경고해 주지 않습니다. 이 페이지는 비율을 적용할 뿐입니다. 황금 분할이 그 일에 맞는 비례인지 알려 주지 않고, 이어지는 황금 사각형을 그릴 때 흔히 쓰는 로그 나선도 만들어 주지 않습니다.

황금비가 정확히 무엇인가요?

1 더하기 5의 제곱근을 2로 나눈 값이고, 1.6180339887498948482로 이어지며 되풀이 없이 끝없이 계속됩니다. 잘라도 살아남는 유일한 비율입니다. 그 비로 된 직사각형에서 가장 큰 정사각형을 떼어 내면 남는 직사각형이 같은 비를 다시 가지고, 유클리드가 선분을 극단과 평균의 비로 나누는 일이라고 적은 것이 이 페이지가 하는 연산입니다.

길이를 황금비로 어떻게 나누나요?

전체를 1.6180339887로 나누면 긴 조각이 나오고, 그것을 전체에서 빼면 짧은 조각이 나옵니다. 길이 100은 61.8034와 38.1966이 됩니다. 두 번째 나눗셈 대신 빼기를 쓰는 것은 의도한 것입니다. 두 조각을 더하면 넣은 길이로 정확히 돌아오기 때문입니다.

전체가 아니라 한 조각만 아는데 쓸 수 있나요?

됩니다. 첫 칸에서 아는 부분을 고르고 그 길이를 넣으십시오. 긴 조각을 알면 짧은 것은 그것을 φ로 나눈 것이고 전체는 둘을 더한 것입니다. 짧은 조각을 알면 긴 것은 그것에 φ를 곱한 것입니다. 세 갈래가 모두 같은 산술을 자리만 바꾼 것이고, 화면은 언제나 같은 세 줄을 인쇄합니다.

값이 왜 소수 네 자리로 나오나요?

φ가 끝나지 않아서 이 페이지의 어떤 값도 정확할 수 없기 때문입니다. 네 자리가 반올림을 멈추는 자리이고, 세 줄 모두 같은 자리에서 멈춥니다. 넣은 길이가 소수 네 자리 이하라면 인쇄된 세 줄이 여전히 정확히 합쳐집니다. 짧은 조각을 빼기로 구하기 때문입니다. 소수 다섯 자리 이상인 길이는 마지막 자리가 하나 어긋날 수 있습니다.

어떤 단위를 쓰든 상관없나요?

그렇습니다. 그래서 이 페이지 어디에도 단위가 나오지 않습니다. 황금비는 두 길이 사이의 비례지 길이가 아니므로 픽셀과 밀리미터와 인치와 순수한 분수가 모두 똑같이 작동하고, 넣은 길이를 몇 배로 하면 세 값도 같은 배수가 됩니다. 그 대가로, 답을 정수 픽셀로 반올림해야 하는지까지는 알려 주지 않습니다.

1.618이면 충분한가요?

종이를 자르는 데는 충분하고, 정의로는 그렇지 않습니다. 황금비는 1.618이 아니라 1 더하기 5의 제곱근을 2로 나눈 값이고, 그 숫자들로 시작할 뿐입니다. 네 자리 1.618을 계속 쓰면 길이 100의 긴 조각이 1000분의 1 정도 밀리고, 대부분의 작업에서는 보이지 않지만 황금 분할은 아닙니다. 이 페이지는 쓸 수 있는 정밀도를 다 쓰고 인쇄하는 것만 반올림합니다.

비율 계산기나 비례식 계산기와 같은 건가요?

아니고, 차이는 무엇을 공급해야 하는지에 있습니다. 비율 계산기는 여러분이 준 두 수를 약분하고, 비례식 계산기는 여러분이 쓴 식의 빈 항을 풉니다. 이 페이지의 비율은 여러분이 고를 수 없습니다. φ로 고정되어 있고, 넣는 것은 길이입니다. 세 페이지, 세 가지 질문입니다.

• Golden Ratio — 두 길이의 비이고, 전체를 긴 부분으로 나눈 값과 긴 부분을 짧은 부분으로 나눈 값이 같은 유일한 비율이며, 이 페이지가 수행하는 연산의 정의입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Rectangle — 변의 비가 황금비인 직사각형이고, 여기서 가장 큰 정사각형을 떼어 내면 남은 직사각형이 같은 비를 다시 가집니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Euclid's Elements, Book VI — 선분을 극단과 평균의 비로 나누는 일로 황금 분할을 정의한 고전적인 출처이고, 이 페이지가 하는 연산과 같은 것입니다 — Wolfram MathWorld (United States)