전개식 계산기

3456 = 3000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰; 205.04 = 200 + 5 + 0.04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²; -550 = -(500 + 50)

3456

펼쳐지는 대상이 되는 수입니다. 보통 소수로도 e 표기법으로도 쓸 수 있습니다. 숫자는 바뀌지 않고 반올림도 하지 않습니다. 수를 다시 쓴 것뿐이므로, 항을 도로 더했을 때 입력과 같지 않다면 그것은 반올림 판단이 아니라 결함입니다

3000 + 400 + 50 + 6

전개식입니다. 값이 0이 아닌 자리마다 항이 하나씩 서고, 각 항은 그 자리의 숫자에 자릿값을 곱한 것입니다. 숫자는 왼쪽에서 오른쪽으로 원래 순서대로 나오므로, 줄은 수를 읽는 방향 그대로 읽힙니다

3 × 10³

같은 항을 자릿값 자리에 10의 거듭제곱을 넣어 쓴 것입니다. 지수는 그 자리가 일의 자리에서 몇 칸 떨어져 있는지를 나타내며, 왼쪽으로 가면 양수, 오른쪽으로 가면 음수입니다. 그래서 일의 자리가 10¹이 아니라 10⁰입니다

200 + 5 + 0.04

0이 가는 자리입니다. 205.04에는 십의 자리에 0이 하나, 소수 첫째 자리에 0이 하나 있고 두 항 모두 빠집니다. 합에 0을 더해도 합은 달라지지 않기 때문입니다. 자릿값 계산기는 그 0을 남기고, 이 페이지는 남기지 않습니다. 그 차이가 두 페이지가 따로 있는 이유입니다

4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴

소수점 아래 부분의 전개식이며 지수가 음수입니다. 0.004560은 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵가 되고, 입력의 끝에 붙어 있던 0은 항을 만들지 않습니다. 이 페이지는 쓰인 모양이 아니라 값을 읽기 때문입니다

-(500 + 50)

음수를 쓰는 방식입니다. 부호는 합 전체에 걸리고 괄호 밖에 한 번만 섭니다. -500 + -50처럼 항마다 나눠 붙이면, 합을 보여 주는 페이지에서는 두 개의 음수를 더하는 것으로 읽힙니다

전개식은 자릿값을 가르칠 때 쓰는 형식이고, 수를 세는 일과 세로셈 사이에 놓인 한 칸입니다. 3456을 3000 + 400 + 50 + 6으로 쓸 수 있는 사람은 3과 4를 그냥 더할 수 없는 이유를 봅니다. 세로셈 덧셈이 성립하는 근거가 그 생각이고, 같은 전개가 뺄셈 아래에 있으면 받아내림을 설명하며, 곱셈 아래에 있으면 3000 × 4와 3 × 4가 왜 다른지를 설명합니다. 학교를 떠난 뒤에도 수의 구조를 읽을 수 있는 형태로 계속 나타납니다. 같은 양을 두 번 측정한 값을 비교하는 사람에게는 어긋남이 어느 자리에 있는지 가장 빨리 보여 주고, 표 계산 결과를 확인하는 사람은 합계를 전개해 각 자리를 입력과 맞춰 보면 전체를 한 번에 믿지 않아도 됩니다. 10의 거듭제곱으로 쓴 줄은 과학적 표기법과 컴퓨터로 가는 다리입니다. 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰은 3.456 × 10³까지 한 걸음이고, 10 대신 2의 거듭제곱을 늘어놓은 같은 식이 이진수의 전개 그 자체입니다. 반대 방향으로 움직여 수를 계수와 10의 거듭제곱으로 접는 것이 표준형 계산기의 일이고, 그쪽은 낱개 자리를 나열하는 대신 잃어버립니다. 그리고 물음이 모든 자리가 아니라 특정한 한 자리에 관한 것일 때는 자릿값 계산기가 값이 0인 항까지 남겨 둡니다.

1. 네 자리 수: 3456

   1. 왼쪽부터 숫자 읽기: 3, 4, 5, 6
   2. 각 숫자가 놓인 자리 확인하기: 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리
   3. 숫자에 자릿값 곱하기: 3 × 1000, 4 × 100, 5 × 10, 6 × 1
   4. 항 더하기: 3000 + 400 + 50 + 6
   5. 같은 네 항을 10의 거듭제곱으로 쓰기: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰

   기본값이고 일부러 가장 순한 경우입니다. 0도 소수점도 부호도 없어서, 어떤 규칙을 적용하기 전에 답의 모양이 먼저 보입니다. 항을 도로 더하면 3456이 되는데, 이것이 어떤 전개에도 해 볼 만한 검산입니다. 항의 합은 처음 수와 같아야 하고, 모든 숫자가 정확히 한 번씩 나와야 합니다.

2. 0과 소수점이 함께 있는 수: 205.04

   1. 숫자는 2, 0, 5, 0, 4이고 자리는 백의 자리부터 소수 둘째 자리까지 이어지기
   2. 2는 200, 5는 5이고, 십의 자리와 소수 첫째 자리의 0은 값이 0이라 항을 만들지 않기
   3. 4는 소수점 오른쪽으로 두 칸이라 자릿값이 0.01이고 항은 0.04이기
   4. 전개식 200 + 5 + 0.04를 더하면 205.04로 돌아오기
   5. 같은 항을 10의 거듭제곱으로 쓰면 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²이고, 지수 2, 0, -2가 일의 자리에서 떨어진 칸 수이기

   이 페이지의 중심 사례입니다. 소수점 양쪽에 0이 하나씩 있고 둘 다 항을 만들지 않습니다. 같은 입력에 자릿값 계산기는 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0.1, 4 × 0.01이라고 답합니다. 다섯 항과 세 항, 둘 다 서로 다른 물음에 대한 정답입니다. 5 × 10⁰의 지수가 0인 것도 눈여겨볼 만합니다. 일의 자리도 여느 자리와 같은 자리이고, 자기 자신에서 0칸 떨어져 있으므로 지수가 0입니다.

3. 음수: -550

   1. 부호를 잠시 떼고 숫자만 보기: 5와 5, 백의 자리와 십의 자리
   2. 각 항 만들기: 500과 50, 그리고 일의 자리의 0은 아무것도 더하지 않기
   3. 두 항의 합은 550이고 처음 수는 그 합에 음수 부호를 붙인 것이기
   4. 부호를 합 전체를 감싼 괄호 밖에 한 번 쓰기: -(500 + 50)

   부호는 어느 한 자리의 숫자가 아니라 수 전체의 성질이고, 괄호는 그것을 글로 쓰는 방법입니다. 부호를 나눠 붙이면 -500 + -50이 되는데 값은 같아도 읽기는 나쁩니다. 출력이 합인 페이지에서 마이너스 두 개는 두 수를 더하는 것으로 읽히고, 줄을 검산하는 사람은 그 항이 음수 자리였는지 음수 합이었는지 되짚어야 합니다.

4. 1보다 작고 끝에 0이 붙은 수: 0.004560

   1. 값이 있는 숫자 찾기: 4, 5, 6이고 앞의 0들은 소수점 위치만 정하기
   2. 4는 소수 셋째 자리라 항이 0.004이기
   3. 5는 소수 넷째 자리라 0.0005, 6은 소수 다섯째 자리라 0.00006이기
   4. 입력의 마지막 0은 소수 여섯째 자리에 있지만 아무것도 더하지 않아 항을 만들지 않기
   5. 항을 더하면 0.00456이고 이것이 입력의 값이기

   끝에 붙은 0이 흥미로운 부분이고, 이 페이지가 유효 숫자 계산기와 갈라지는 자리입니다. 여기서 그 0은 그냥 항이 아닙니다. 합에는 필요하지 않기 때문입니다. 유효 숫자 쪽에서는 그 0이 측정된 숫자이고, 0.004560이 지닌 유효 숫자 네 개에 들어갑니다. 같은 입력에서 나온 두 가지 읽기이고 둘 다 틀리지 않았습니다. 하나는 수의 값에 관한 것이고 다른 하나는 측정의 정밀도에 관한 것입니다.

0은 항을 만들지 않습니다. 205.04는 200 + 5 + 0.04로 전개되고 200 + 0 + 5 + 0 + 0.04가 되지 않습니다. 곧 전개식은 입력을 자리마다 받아쓴 것이 아니라 입력을 합으로 쓴 것이고, 값이 0인 항은 빠집니다. 0을 남기고 싶으면 자릿값 계산기가 남겨 줍니다. 쓰인 모양은 입력으로 받지 않습니다. 4.5 × 10⁴은 거부되고 천 단위 구분 쉼표도 거부됩니다. 3,456은 3456이 아니라 오류입니다. 입력은 유효 숫자 15자리까지, 지수는 ±99까지입니다. 정수 앞에 붙은 0도 보존되지 않습니다. 007은 자릿값 자체가 없고 그 입력의 전개식은 7입니다. 0은 양 끝에서 특별합니다. 입력 0은 항이 하나도 없는 0으로 전개되고, 어떤 수의 전개식도 쓰인 모양의 끝이 아니라 값이 0이 아닌 마지막 자리에서 끝납니다. 반올림도 변환도 하지 않으므로 9.99의 전개식은 9 + 0.9 + 0.09이고 10이 되지 않습니다. 마지막으로 이 페이지는 자리를 나열할 뿐, 그것을 대신 더해 주지도, 몇 개가 유효한지 정해 주지도, 수를 계수와 10의 거듭제곱으로 접어 주지도 않습니다. 그 셋은 각각 자릿값, 유효 숫자, 표준형 페이지의 일입니다.

전개식이란 무엇인가요?

수를 자릿값의 합으로 쓴 것입니다. 3456은 3000 + 400 + 50 + 6이 됩니다. 다른 수도, 더 짧은 쓰기도 아니고, 같은 수에서 자리의 구조를 보이게 만든 것입니다. 자릿값을 처음 가르칠 때 쓰는 형식이고, 세로셈이 왜 성립하는지 설명해 주는 형식이기도 합니다.

0인 자리는 왜 전개식에서 빠지나요?

값이 0인 항은 합에서 빼도 합이 달라지지 않고, 넣으면 줄만 읽기 어려워지기 때문입니다. 205.04는 200 + 5 + 0.04이고 200 + 0 + 5 + 0 + 0.04가 아닙니다. 자릿값 계산기는 반대로 0을 남깁니다. 그쪽의 주제는 합이 아니라 숫자 하나하나이기 때문입니다. 같은 수에 대해 두 페이지 모두 맞습니다.

10의 거듭제곱으로 쓴 줄은 무엇이 다른가요?

자릿값 자체를 10의 거듭제곱으로 적은 것입니다. 3000 + 400 + 50 + 6 대신 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰이 됩니다. 이 페이지가 두 줄을 위아래로 함께 보여 주는 이유는, 앞줄이 자릿값 표가 그대로 내놓는 모양이고 뒷줄이 같은 표의 열 이름을 지수로 바꾼 모양이기 때문입니다.

소수는 어떻게 전개하나요?

같은 방식이고 소수점 오른쪽 자리의 지수가 음수가 됩니다. 205.04는 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²입니다. 4가 일의 자리에서 오른쪽으로 두 칸 떨어져 있기 때문입니다. 0.004560은 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵가 되고, 끝의 0은 항을 만들지 않습니다.

-550은 왜 -(500 + 50)으로 쓰나요?

부호가 어느 한 자리가 아니라 수 전체에 걸리기 때문입니다. 부호를 나눠 붙이면 -500 + -50이 되는데 값은 같아도 두 개의 음수를 더하는 것으로 읽힙니다. 출력이 합인 페이지에서는 헷갈립니다. 괄호 밖에 한 번 쓰면 한 수가 음수이고 그 수의 부품이 무엇인지가 한눈에 남습니다.

전개식으로 유효 숫자가 몇 개인지 알 수 있나요?

알 수 없습니다. 이 페이지는 자리와 자릿값을 나열하고 거기서 멈춥니다. 0.004560의 끝 0은 그냥 항이 아닙니다. 그 0이 측정된 것인지는 별개의 물음이고, 유효 숫자 계산기가 답하는 것이 그 물음입니다. 그쪽에서는 그 0이 세어져 유효 숫자가 네 개가 됩니다.

• 자릿값 — 십진법에서 각 자리가 나타내는 값과, 자릿값의 합으로 수를 읽는 방법 — 대한수학회 (수학백과)
• [교육부 고시 제2022-33호] 초중등학교 교육과정 총론 및 각론 고시 — 수학과 교육과정이 다루는 자릿값과 수의 표현 — 교육부
• Expanded notation — 같은 전개를 10의 거듭제곱으로 쓴 형태 — Wolfram MathWorld (United States)
• Place value — 전개식을 읽어 내는 자릿값 표 — Math is Fun (United Kingdom)
• Expanded form — 수를 자릿값의 합으로 쓰는 형식과 그 지수 형태 — SplashLearn (United States)