외적 계산기

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sin θ = 평행사변형의 넓이

벡터 u

첫 번째 벡터이며 공백이나 쉼표로 나눈 정확히 세 개의 수로 1 2 3처럼 적습니다. 셋만 받습니다. 외적이 3차원의 연산이기 때문이고, 2차원 짝은 0을 채워 넣는 대신 거부합니다. 채워 넣으면 답이 조용히 달라집니다

벡터 v

두 번째 벡터이며 역시 정확히 세 개의 수입니다. 여기서는 두 벡터의 순서가 내적과 달리 중요합니다. 바꾸면 답의 모든 성분의 부호가 뒤집힙니다

x 성분

답의 첫 성분이며 첫 벡터의 둘째 성분 곱하기 둘째 벡터의 셋째 성분에서, 첫 벡터의 셋째 성분 곱하기 둘째 벡터의 둘째 성분을 뺀 것입니다. 외적의 모든 성분이 두 곱의 차이고, 부호가 거기서 나옵니다

y 성분

같은 규칙을 한 자리 옮긴 것입니다. 첫 벡터의 셋째 성분 곱하기 둘째 벡터의 첫째 성분에서, 첫 벡터의 첫째 성분 곱하기 둘째 벡터의 셋째 성분을 뺍니다. 이 이동을 틀리는 것이 가장 흔한 실수이고, 터무니없는 답이 나오는 것이 아니라 한 성분의 부호만 틀리게 나옵니다

z 성분

규칙을 한 번 더 옮긴 것입니다. 첫 벡터의 첫째 성분 곱하기 둘째 벡터의 둘째 성분에서, 첫 벡터의 둘째 성분 곱하기 둘째 벡터의 첫째 성분을 뺍니다. 세 성분을 합치면 두 입력 모두에 수직인 벡터가 됩니다

크기

결과 벡터의 크기이며 세 성분 제곱합의 제곱근입니다. 두 입력 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이이기도 하고, 그 두 변을 가진 삼각형 넓이의 두 배이기도 합니다. 보통은 이쪽이 더 쓸모 있는 읽기입니다

|u| × |v| × sin θ

같은 크기를 반대편에서 적은 것이고 θ는 두 입력 사이의 각도입니다. 두 벡터가 수직일 때 크기가 가장 크고 나란해질수록 0으로 떨어진다고 말합니다. 외적이 0이면 평행이라는 뜻이 되는 이유이고, 정반대로 행동하는 내적이 이 페이지의 여집합인 이유입니다

두 입력 모두에 수직

출력을 가질 값어치가 있게 만드는 성질입니다. 결과가 두 입력 각각에 직각으로 향합니다. 출력에서 어느 쪽이든 내적을 취해 확인할 수 있고, 둘 다 반올림 범위 안에서 0입니다

소수점 네 자리

출력을 적는 폭입니다. 입력이 정수이고 작으면 성분이 정확하고 손계산의 대부분이 거기에 들어갑니다. 그렇지 않은 경우에는 반올림된 값입니다

외적은 내적과 다른 물음에 답하고, 둘은 대안이 아니라 여집합입니다. 내적은 두 벡터를 받아 같은 방향을 향할 때 가장 큰 수를 내놓고, 외적은 두 벡터를 받아 수직일 때 가장 긴 벡터를 내놓습니다. 두 방향에 직각인 방향이 필요할 때 이쪽을 씁니다. 표면의 법선, 회전이 일어나는 축, 움직이는 전하를 자기력이 미는 방향이 그렇습니다. 두 변 벡터로 평행사변형이나 삼각형의 넓이를 원할 때도 씁니다. 답의 크기가 평행사변형의 넓이라 그 절반이 삼각형의 넓이입니다. 두 벡터가 평행한지 시험할 때도 씁니다. 평행할 때 정확히 0 셋이 나오기 때문입니다. 그리고 올바른 방향으로 수직 방향이 필요할 때도 씁니다. 여기서 두 벡터의 순서와 오른손 법칙이 등장합니다. 첫 벡터는 손가락이 감겨 나가는 쪽이고 둘째 벡터는 감겨 들어가는 쪽이며, 엄지가 답을 줍니다. 주의할 점이 둘 있습니다. 결과는 두 입력 모두에 수직이라 어느 입력이 향하던 방향도 아닙니다. 둘 중 하나를 따라가는 답을 기대했다면 내적을 원한 것입니다. 그리고 크기 0은 실패가 아니라 진짜 답입니다. 두 벡터가 평행하다는 뜻이고, 둘 중 하나가 영벡터인 경우도 포함합니다.

1. 1 2 3과 4 5 6

   1. x 성분: 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
   2. y 성분: 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
   3. z 성분: 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
   4. 크기: √(9 + 36 + 9) = √54 = 7.348469

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 입력이고 산술이 얼마나 평범한지 보여 주는 줄입니다. 두 곱의 차 세 개가 전부이고 그 밖에 아무것도 없습니다. 세 성분이 모두 0이 아니라서 손으로 푼 단계와 페이지를 견주기에 가장 쓸모 있는 줄입니다. 부호 실수가 0에 가려질 수 없기 때문입니다. 크기 7.3485는 이 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이고, 이 두 변을 가진 삼각형은 그 절반입니다.

2. 1 0 0과 0 1 0

   1. x 성분: 0 × 0 − 0 × 1 = 0
   2. y 성분: 0 × 0 − 1 × 0 = 0
   3. z 성분: 1 × 1 − 0 × 0 = 1
   4. 크기: √(0 + 0 + 1) = 1

   처음 두 축을 따르는 단위 벡터이고 외적이 세 번째 것으로 돌아옵니다. 이 페이지가 딛고 선 순환 순서를 보여 주는 줄입니다. x 곱하기 y는 z이고, 크기 1은 두 입력이 수직이었고 평행사변형이 단위 정사각형이라는 뜻입니다. 여기서 세 성분을 손으로 한 번 적어 볼 값어치가 있습니다. 사라져야 할 항이 모두 사라지는 경우이기 때문입니다.

3. 0 1 0과 1 0 0

   1. x 성분: 1 × 0 − 0 × 0 = 0
   2. y 성분: 0 × 1 − 0 × 0 = 0
   3. z 성분: 0 × 0 − 1 × 1 = −1
   4. 크기: √(0 + 0 + 1) = 1

   앞의 줄에서 두 상자를 바꾼 것이고 차이는 세 번째 성분의 부호 전부입니다. 그것이 이 연산의 순서 의존성이고, 이 페이지는 대수 없이 그것을 보여 줍니다. 같은 짝을 두 번 넣고 상자를 바꾸면 한 성분의 부호가 바뀌는 것을 볼 수 있습니다. 크기는 1로 그대로인데, 그것이 나머지 절반입니다. 두 벡터를 바꾸면 답의 방향은 뒤집히지만 크기는 그대로입니다.

4. 1 2 3과 2 4 6

   1. x 성분: 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
   2. y 성분: 3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
   3. z 성분: 1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
   4. 크기: √(0 + 0 + 0) = 0

   같은 직선을 따라 향하는 두 벡터이고 둘째가 첫째의 정확히 두 배이며, 답은 0 셋입니다. 평행한 경우이고 이것을 알아보는 것이 중요합니다. 외적의 크기가 두 벡터가 만드는 넓이인데 평행한 벡터는 넓이를 만들지 않기 때문입니다. 0 셋이 돌아오는 것은 실패가 아니라 올바른 답입니다. 두 방향이 같은 직선이라는 뜻이고, 그 직선에 표면 법선처럼 수직인 벡터는 없습니다.

5. 3 4 0과 4 3 0

   1. x 성분: 4 × 0 − 0 × 3 = 0
   2. y 성분: 0 × 4 − 3 × 0 = 0
   3. z 성분: 3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
   4. 크기: √(0 + 0 + 49) = 7

   두 벡터가 평평한 평면에 놓여 있어 수직 방향이 그 평면 밖으로 곧장 나가고 처음 두 성분이 0입니다. 크기 7은 이 둘을 변으로 하는 평행사변형의 넓이고, 이 두 변을 가진 삼각형은 3.5입니다. 세 번째 성분의 부호는 답이 평면의 어느 쪽을 향하는지 말해 주고, 여기서는 음수입니다. 반대쪽에서 보았을 때 첫 벡터가 반시계 방향으로 둘째 벡터 쪽으로 감겨 들어가는 쪽이기 때문입니다. 두 벡터의 크기가 모두 5이고 내적이 24이며, 7과 24와 25는 피타고라스 삼조입니다. 여기서의 크기와 내적이 빗변이 두 크기의 곱인 직각삼각형의 두 변이라는 말이기도 합니다.

두 벡터가 정확히 세 개의 성분을 가져야 하고, 둘이나 넷인 짝은 0을 채워 넣는 대신 거부합니다. 2차원 외적은 없습니다. 이 연산은 정의상 3차원이고, 2차원 짝을 맞추려고 0을 조용히 더하면 두 벡터가 놓인 평면과 아무 관계 없는 방향이 나옵니다. 성분은 보통의 수로 읽습니다. 쉼표 뒤에 공백이 있으면 성분을 나누고, 공백 없이 붙은 쉼표는 소수점으로 읽으며(1,5는 1.5), 세 자리 묶음 쉼표는 추측하지 않고 거부합니다. 1,500이 아니라 1500으로 적어야 합니다. 소수점 네 자리는 정밀도 주장이 아니라 표시 폭입니다. 영벡터는 내적과 각도 페이지와 달리 여기서는 받아들여지고, 그 차이는 의도된 것입니다. 영벡터와의 외적은 진짜로 영벡터입니다. 영벡터는 무엇과도 넓이를 만들지 않으므로 거절할 계산이 아니라 줄 진짜 답이 있기 때문입니다. 그래서 0 셋을 돌려받는 것은 이 페이지가 대신 풀어 줄 수 없는 방식으로 애매합니다. 두 벡터가 평행하다는 뜻이고, 동시에 둘 중 하나가 영벡터라는 뜻이며, 어느 쪽인지는 넣은 사람만 압니다. 두 경우 모두 올바른 출력입니다. 단위 처리는 없습니다. 성분은 보통의 수이고 답의 크기도 그렇지만, 크기는 입력이 제곱된 단위를 그대로 나릅니다. 페이지는 결과의 방향을 물리적인 오른손과 견주어 확인하지 않으므로, 출력을 법선이나 회전축으로 쓴다면 두 벡터를 어느 순서로 넣었는지가 두 수직 방향 가운데 어느 쪽을 얻는지를 결정합니다.

2차원 벡터는 왜 넣을 수 없나요?

평면 위의 두 벡터에는 외적이 없기 때문입니다. 이 연산은 3차원에서 정의됩니다. 답이 두 입력 모두에 수직이어야 하는데 평평한 평면에는 그것이 향할 방향이 남아 있지 않습니다. 2차원 짝에 0을 채워 맞추면 그 평면과 아무 관계 없는 답이 나오므로, 페이지는 채우는 대신 거부합니다.

답이 기하학적으로 무슨 뜻인가요?

두 입력 모두에 직각인 벡터이고, 그 크기는 두 입력이 만드는 평행사변형의 넓이입니다. 그 절반이 두 변을 그렇게 가진 삼각형의 넓이입니다. 이중 읽기 때문에 같은 계산이 표면 법선을 원할 때와 넓이를 원할 때 모두 등장합니다.

0이 세 개 나왔는데 뭔가 잘못된 건가요?

아닙니다. 외적이 0인 것은 진짜 답입니다. 두 벡터가 평행해서 넓이를 만들지 않는다는 뜻이고, 둘 중 하나가 영벡터일 때도 같은 값이 나옵니다. 둘 다 실패가 아니라 올바른 결과이고, 두 경우가 똑같이 0 셋을 만들기 때문에 페이지가 어느 쪽인지 알려 줄 방법은 없습니다.

두 벡터의 순서가 중요한가요?

그렇습니다. 내적 페이지와 이 페이지가 날카롭게 갈리는 지점이 바로 그것입니다. 두 벡터를 바꾸면 답의 방향이 뒤집힙니다. 모든 성분의 부호가 바뀌고 크기는 정확히 그대로입니다. 같은 짝을 상자만 바꿔 두 번 넣으면 그 일이 일어나는 것을 볼 수 있습니다. 두 수직 방향 가운데 어느 쪽을 원하는지는 오른손 법칙이 정합니다.

어느 성분이 먼저인가요?

x 성분, 그다음 y, 그다음 z이고, 답은 입력을 적은 방식 그대로 벡터로 인쇄됩니다. 각각은 두 곱의 차이고 규칙이 순환을 따라 한 자리씩 옮겨 갑니다. y 성분은 x의 규칙을 성분을 한 바퀴 돌려 되풀이하고, z 성분은 한 번 더 돕니다.

내적과는 어떻게 다른가요?

내적은 두 벡터를 받아 수 하나를 주고 둘이 같은 방향을 향할 때 가장 큽니다. 외적은 벡터를 주고 둘이 수직일 때 가장 길며, 크기는 평행사변형의 넓이입니다. 둘은 여집합입니다. 수 하나, 곧 각도나 투영이나 유사도를 원했다면 내적이고, 둘 모두에 직각인 방향을 원했다면 이 페이지입니다.

• Cross product — 이 페이지가 계산하는 연산이며, 성분별 정의와 이 페이지가 기대는 두 성질, 곧 결과가 두 입력 모두에 수직이라는 것과 인수의 순서가 부호를 뒤집는다는 것을 담고 있습니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — 그 값을 전개한 것이 정확히 외적의 성분 공식이 되는 수의 배열이며, 같은 순환이 두 곳에 나타나는 이유이고 이 페이지가 행렬 계산기를 가리키는 이유입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — 외적의 크기가 그 넓이를 주는 도형이며, 두 벡터가 평행할 때 정확히 0 셋이 나오는 이유입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 공간벡터와 그 연산은 이 교육과정 기준의 해당 학년군 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部