내적 계산기

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ |u| = √(u₁² + u₂² + … ) cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|)

벡터 u

첫 번째 벡터이고 성분을 공백이나 쉼표로 나눠 적습니다. 3차원이면 1 2 2, 2차원이면 0 3처럼 필요한 만큼 적으면 됩니다. 상자 수가 정해져 있지 않은 것은 페이지가 어떤 차원이든 받기 때문이고, 두 벡터의 성분 수는 같아야 합니다

벡터 v

두 번째 벡터이고 같은 방식으로, 첫 번째와 같은 성분 수로 적습니다. 내적과 각에서는 순서가 상관없으므로 두 벡터를 바꿔 넣어도 같은 답이 나옵니다

u · v

내적입니다. 첫째 성분끼리, 둘째 성분끼리 곱하고 그 결과를 모두 더합니다. 단위가 붙지 않는 수 하나인데, 벡터의 성분이 어떤 양의 단위를 가지면 그 둘의 곱은 그 단위의 제곱을 가지기 때문입니다

|u|와 |v|

각 벡터의 크기이고 성분을 잰 단위 그대로입니다. 성분을 각각 제곱해 더한 것의 제곱근입니다. 화살표의 보통 길이이고, 원점에서 벡터가 가리키는 점까지의 거리와 같은 계산입니다

θ

두 벡터 사이의 각이고 단위는 도입니다. 같은 방향이면 0, 직각이면 90, 반대 방향이면 180이며 그 범위를 벗어나지 않습니다. 역코사인이 그 밖의 값을 돌려줄 수 없기 때문입니다

cos θ

내적을 두 크기의 곱으로 나눈 값이고, 이 페이지의 두 반쪽을 잇는 다리입니다. 같은 방향이면 1, 직각이면 0, 반대 방향이면 −1까지 움직이며, 각이 실제로 계산되는 근거가 되는 수입니다

도

각 출력의 단위이고 페이지에서 단위를 가진 유일한 출력입니다. 내적과 두 크기는 단위 없는 수입니다

소수점 네 자리

모든 출력을 적는 폭입니다. 내적은 성분이 정수일 때 정수로 나오는 일이 많고, 두 크기에는 제곱근이, 각에는 역코사인이 들어 있어 그 셋은 거의 정확하게 떨어지지 않습니다

내적 공식은 두 방향이 얼마나 뜻을 같이하는지 묻는 표준적인 방법이고, 그것이 답하는 질문은 셈이 시사하는 것보다 자주 나옵니다. 가장 큰 것이 수직 판정입니다. 내적이 0이면 두 벡터가 직각으로 만나므로, 프로그램이 어떤 면이 빛을 향하는지, 경로가 벽을 가로지르는지, 도면의 두 선이 직각인지 판단하는 방법이 이것이고, 곱셈만 하면 되며 삼각함수는 어디에도 필요하지 않습니다. 다음으로 볼 것은 부호입니다. 양수면 대체로 같은 쪽, 음수면 대체로 반대쪽을 향하고, 뒤면 제거와 힘이 물체에 일을 하는지 거스르는지의 판정이 전부 그 부호입니다. 물리학은 같은 수를 일이라는 이름으로 씁니다. 힘이 한 일은 힘과 이동 거리의 내적이고, 그래서 비스듬히 밀면 똑바로 미는 것보다 일이 적고 직각으로 밀면 아예 0입니다. 관계가 아니라 각 자체가 필요할 때도 페이지가 그것을 주는데, 알아볼 값은 0도와 90도, 180도입니다. 평행, 수직, 반대입니다. 그 밖의 값은 그 셋에서 벗어난 벡터 짝이고, 쓸 만한 검산은 내적의 부호와 각이 맞아야 한다는 것입니다. 내적이 음수인데 각이 90도 미만이면 둘 다 맞을 수 없습니다.

1. 1 2 2와 2 2 1

   1. 내적: 1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 1 = 2 + 4 + 2 = 8
   2. u의 크기: √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
   3. v의 크기: √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
   4. 코사인: 8 ÷ (3 × 3) = 0.888889이고 그 역코사인은 27.2659…이므로 27.266

   페이지가 처음 열릴 때의 입력이고 깔끔한 편입니다. 두 벡터의 크기가 모두 정확히 3이라 코사인이 내적을 9로 나눈 값 그대로입니다. 서로 다른 벡터 둘, 내적 하나, 크기 둘, 각 하나로 페이지 전체가 한 줄에 들어 있습니다. 각이 90도 미만이고 내적이 양수인데, 모든 답에 돌려 볼 만한 부호 검산입니다.

2. 3 4 0과 4 3 0

   1. 내적: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 12 + 12 = 24
   2. 각각의 크기: 셋째 성분이 0이므로 √(9 + 16) = 5
   3. 코사인: 24 ÷ (5 × 5) = 0.96이고 그 역코사인은 16.2602…

   평평한 평면 위에 놓인 두 벡터를 셋째 성분에 0을 적어 나타낸 것으로, 2차원 벡터가 0을 하나 더 가진 3차원 벡터일 뿐임을 보여 줍니다. 두 크기가 정확히 5로 나오는데 3-4-5 삼각형이 늘 하던 일입니다. 각이 작고 내적이 크게 양수인데, 두 벡터가 거의 같은 쪽을 향할 때의 모양입니다.

3. 1 0과 0 1

   1. 내적: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
   2. 각각의 크기: 1
   3. 코사인: 0 ÷ 1 = 0이고 0의 역코사인은 정확히 90도

   이 페이지가 가장 자주 쓰이는 답입니다. 내적이 0이라는 것은 두 벡터가 수직이라는 뜻이고, 이 둘은 가장 단순한 예입니다. 하나는 x축을 따라, 하나는 y축을 따라 놓여 있습니다. 각이 반올림된 값이 아니라 정확히 90으로 돌아오는 것을 보십시오. 코사인이 정확히 0이고 거기까지 가는 데 제곱근도 나눗셈도 필요하지 않았기 때문입니다. 직각을 판정하는 시험이 이것이고, 각 출력이 쓰는 삼각함수는 하나도 필요하지 않습니다.

4. 1 2 3과 4 5 6

   1. 내적: 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 32
   2. u의 크기: √(1 + 4 + 9) = √14 = 3.741657…이므로 3.7417
   3. v의 크기: √(16 + 25 + 36) = √77 = 8.774964…이므로 8.775
   4. 코사인: 32 ÷ (3.741657 × 8.774964) = 0.974631…이고 그 역코사인은 12.9331…이므로 12.9332

   크기가 깔끔하지 않은 두 벡터이고, 반올림이 무엇을 치르게 하는지 보고 싶을 때 볼 줄입니다. 두 크기가 끝나지 않는 제곱근이라 코사인은 화면의 3.7417과 8.775가 아니라 반올림 전 값에서 계산됩니다. 그래서 32를 인쇄된 두 수의 곱으로 나누면 0.9746이 나오고 같은 각에 닿기는 하지만 아슬아슬합니다. 각이 작은 것은 두 벡터가 거의 평행하기 때문이고, 4 5 6은 1 2 3을 대략 키운 것입니다.

5. -1 0 0과 1 0 0

   1. 내적: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
   2. 각각의 크기: 1
   3. 코사인: −1 ÷ 1 = −1이고 −1의 역코사인은 정확히 180도

   범위의 반대쪽 끝입니다. 정확히 반대 방향을 향하는 두 벡터의 내적은 두 크기의 곱에 마이너스를 붙인 값이고, 여기서는 −1이라 코사인이 −1, 각이 180도입니다. 내적이 왜 음수가 될 수 있고 음수가 무엇을 뜻하는지 보여 주는 줄입니다. 오류도 아니고 더 작은 각도 아니고, 두 화살표가 서로를 등지고 있다는 뜻입니다.

두 벡터의 성분 수가 같아야 하고, 페이지는 짧은 쪽을 0으로 채우는 대신 개수가 다른 짝을 거부합니다. 영벡터는 아예 거부합니다. 모든 성분이 0인 벡터에는 방향이 없으므로 그것과 다른 무엇 사이의 각은 정의되지 않고, 페이지는 같은 방향을 가리킨다고 읽힐 0도를 보여 주는 대신 계산 전체를 거절합니다. 성분은 보통 수로 읽습니다. 쉼표 뒤에 공백이 오면 성분을 나누는 구분자이고, 공백 없이 숫자 사이에 온 쉼표는 소수점으로 읽으며(1,5는 1.5), 천 단위 묶기는 추측하지 않고 거부하므로 1,500이 아니라 1500으로 적으십시오. 벡터마다 성분을 200개까지 받는데, 손으로 적는 어떤 경우보다도 넉넉하고 데이터 파이프라인이 쓰는 크기에는 못 미칩니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭이고, 각은 반올림 전 크기에서 계산되므로 인쇄된 두 수를 곱해도 인쇄된 각이 정확히 재현되지 않을 수 있습니다. 페이지는 내적과 각만 다룹니다. 외적이나 한 벡터를 다른 벡터에 정사영한 값, 단위벡터는 주지 않고, 성분이 무엇으로 측정되었는지도 고려하지 않으므로 미터 단위 성분으로 계산한 내적은 제곱미터가 아니라 그냥 수로 돌아옵니다.

성분은 어떻게 적나요?

공백이나 쉼표 뒤 공백으로 나누면 됩니다. 1 2 2도 1, 2, 2도 됩니다. 숫자 사이에 공백 없이 온 쉼표는 소수점으로 읽고(1,5는 1.5), 1,500 같은 천 단위 묶기는 추측하지 않고 거부하므로 1500으로 적으십시오. 두 벡터의 성분 수는 같아야 하고 개수에는 제한이 없으며, 2차원과 3차원이 같은 페이지입니다.

내적이 실제로 알려 주는 것은 무엇인가요?

두 벡터가 얼마나 같은 쪽을 향하는지입니다. 같은 방향으로 나란할 때 가장 크고, 수직일 때 0이며, 반대 방향일 때 음수입니다. 값은 벡터의 길이에도 좌우되므로 긴 벡터에서 큰 내적이 나왔다고 각이 작은 것은 아닙니다. 두 크기로 나누면 페이지가 대신 해 주는 그 몫이 곧 사잇각의 코사인입니다.

두 벡터가 수직인지 어떻게 아나요?

내적이 0이면 됩니다. 그것이 시험의 전부이고 곱셈만 하면 되므로 제곱근도 삼각함수도 필요 없으며, 그래서 코드에서 쓰이는 형태가 이것입니다. 페이지는 각도 함께 주고 90으로 나오겠지만, 수직인지 아는 것이 목적이라면 내적 하나로 충분합니다.

내적이 왜 음수가 될 수 있나요?

크기뿐 아니라 방향도 반영하기 때문입니다. 대체로 서로를 향하는 두 벡터는 양수가 나오고, 직각에서는 두 몫이 상쇄되어 0이 되며, 대체로 서로를 등지는 경우는 음수가 됩니다. 음의 내적은 언제나 90도를 넘는 각과 함께 가고 둘이 어긋나서는 안 되므로, 어긋난다면 입력에 문제가 있습니다.

성분이 모두 0인 벡터를 왜 거부하나요?

영벡터에는 방향이 없어서 그것과 다른 무엇 사이의 각이 정의되지 않기 때문입니다. 영벡터는 무엇과 내적해도 0이고 크기도 0이라 코사인을 구하려면 0으로 나누게 됩니다. 0도를 돌려주는 페이지는 영벡터가 여러분의 벡터와 같은 방향을 가리킨다고 말하는 셈인데, 존재하지 않는 방향에 대한 주장입니다.

답의 단위는 무엇인가요?

각은 도이고 나머지 셋에는 단위가 전혀 없습니다. 내적은 성분끼리 곱한 값의 합이므로 성분을 미터로 쟀다면 제곱미터이고, 그냥 수였다면 그냥 수이며, 같은 셈이 방향에도 힘에도 시험 점수 목록에도 쓰이므로 페이지는 단위를 짐작해서 붙이지 않고 비워 둡니다.

• Dot product — 대응하는 성분끼리 곱해 더한 값이고, 두 크기와 사잇각의 코사인을 곱한 값이라는 기하학적 해석을 이 페이지가 뒤집어 씁니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — 크기와 방향을 가진 대상이고, 이 페이지가 그 성분을 읽으며 그 길이는 성분 제곱합의 제곱근입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Perpendicular — 내적이 0일 때 검출되는 직각 관계이고, 이 계산의 가장 흔한 쓰임이며 삼각함수가 전혀 필요하지 않습니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 평면벡터와 그 수량적 곱(내적)은 고등학교 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部