단위 벡터 계산기

û = u ÷ |u| |u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²) |û| = 1

벡터 u

정규화할 벡터이며 공백이나 쉼표로 나눈 두세 개의 수입니다. 3 4처럼 적습니다. 두 개면 평면의 벡터, 세 개면 공간의 벡터이고, 채워 넣을 개수 항목은 없으며 목록의 길이가 어느 쪽인지를 알려 줍니다

|u|

입력 벡터의 길이입니다. 성분 제곱합의 제곱근이며 모든 것을 나누는 수이고, 패널의 네 번째 출력입니다. 단위 벡터의 길이가 아니라 입력한 벡터의 길이이며, 단위 벡터의 길이는 언제나 1입니다

û

단위 벡터입니다. 입력의 각 성분을 그 길이로 나눈 값이라 입력과 정확히 같은 직선을 향하고 길이가 1이므로, 둘은 크기만 다르고 방향은 같습니다. 위에 모자를 씌우는 것이 이 값의 표준 표기입니다

x 성분

답의 첫 성분이며 입력의 첫 성분을 길이로 나눈 값입니다. 부호는 입력의 부호를 따라갑니다. 양수인 길이로 나눈다고 방향이 뒤집히지 않으므로, 왼쪽을 향하는 벡터는 왼쪽을 향하는 단위 벡터가 됩니다

y 성분

두 번째 성분이며 같은 방식으로 나눕니다. x 성분과 함께 원래 벡터의 길이가 어떻든 평면에서의 방향을 정합니다

z 성분

세 번째 성분이며 같은 방식으로 나누고, 성분이 둘인 입력에서는 0입니다. 그 0은 자리를 채운 것이 아닙니다. 2차원 벡터는 평평한 평면에 놓여 있고, 같은 방향을 세 좌표로 적으면 세 번째 성분이 정확히 0이 됩니다

|û| = 1

답이 갖도록 만들어진 성질이며, 다섯 번째 줄로 인쇄하지 않는 이유입니다. 단위 벡터의 길이는 어느 경우에나 1이라, 1.0000이라고 적힌 패널 줄은 결과인 척하는 상수일 뿐입니다

소수점 네 자리

출력을 적는 폭입니다. 입력의 길이가 정수나 짧은 제곱근으로 떨어질 때만 정확하며, 3 4는 5가 되지만 삼분의 일과 제곱근은 대개 딱 떨어지지 않습니다

크기를 떼어 낸 방향만 필요할 때 쓰는 페이지입니다. 가장 분명한 경우는 크기 규모가 서로 다른 두 방향을 비교할 때입니다. 길이만 다른 두 벡터는 단위 벡터가 같으므로, 정규화는 묻지 않은 부분을 벗겨 냅니다. 흔한 다른 경우는 길이 1을 가정하는 공식에 넣을 입력을 준비할 때입니다. 반사와 투영, 조명 계산이 모두 그렇고, 길이 5짜리 벡터를 넣으면 답이 조용히 5배가 됩니다. 함께 인쇄되는 길이가 나눗셈을 검산 가능하게 만듭니다. 3 4는 0.6과 0.8이 되고, 5가 둘 모두에서 나왔다는 것을 볼 수 있습니다. 기억해 둘 점이 둘 있습니다. 출력은 입력의 부호를 지니므로 왼쪽이나 아래를 향하는 벡터는 왼쪽이나 아래를 향하는 단위 벡터가 됩니다. 정규화는 벡터의 길이만 바꾸고 그 밖에는 아무것도 바꾸지 않습니다. 그리고 출력의 길이는 무엇을 넣든 1이라, 페이지가 대신 입력의 길이를 인쇄합니다. 정보가 담긴 수가 그쪽이기 때문입니다. 성분이 둘인 벡터도 괜찮고 세 번째 성분이 0으로 돌아옵니다. 같은 방향을 세 좌표로 적으면 그렇게 되기 때문입니다. 거부하는 입력은 영벡터 하나이고, 정규화할 방향이 없습니다.

1. 3 4

   1. 길이: √(9 + 16) = √25 = 5
   2. x 성분: 3 ÷ 5 = 0.6
   3. y 성분: 4 ÷ 5 = 0.8
   4. z 성분: 0 ÷ 5 = 0이며, 성분이 둘인 벡터는 평평한 평면에 놓입니다

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 입력이며 가장 깔끔한 경우입니다. 3-4-5 삼각형이라 길이가 정수로 떨어져 두 성분이 정확히 나옵니다. 네 번째 출력이 무엇을 위한 것인지 보여 주는 줄이기도 합니다. 패널의 5가 3과 4를 각각 나눈 길이이고, 그 옆에서 0.6과 0.8을 읽는 것이 계산 전체입니다. 제곱해서 확인해 보십시오. 0.36 + 0.64 = 1입니다.

2. 2 3 6

   1. 길이: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   2. x 성분: 2 ÷ 7 = 0.285714
   3. y 성분: 3 ÷ 7 = 0.428571
   4. z 성분: 6 ÷ 7 = 0.857143

   3차원 경우이며 길이는 7로 정수인데 성분 셋은 하나도 정수가 아닙니다. 셋 다 순환소수를 네 자리로 반올림한 값입니다. 이런 조합은 예외가 아니라 보통의 경우입니다. 길이가 정수인 일은 흔하지만 단위 벡터의 성분이 정수인 일은 드뭅니다. 방향은 2 3 6과 같고 거기서 길이만 나눠 낸 것입니다.

3. -3 4

   1. 길이: √(9 + 16) = √25 = 5이며 3 4일 때와 같습니다
   2. x 성분: -3 ÷ 5 = -0.6
   3. y 성분: 4 ÷ 5 = 0.8
   4. z 성분: 0 ÷ 5 = 0

   첫 번째 예에서 첫 성분의 부호를 바꾼 경우이고 단위 벡터가 부호를 지킵니다. -0.6과 0.8입니다. 양수인 길이로 나눈다고 벡터가 뒤집히지는 않으며, 그 사실이 눈에 보이는 줄이 이것입니다. 왼쪽 위를 향하는 벡터도 지극히 평범한 입력이고 그 단위 벡터도 왼쪽 위를 향합니다. 길이는 어느 쪽이든 5입니다. 성분의 부호를 바꿔도 길이는 달라지지 않기 때문입니다.

4. 0 5

   1. 길이: √(0 + 25) = 5
   2. x 성분: 0 ÷ 5 = 0
   3. y 성분: 5 ÷ 5 = 1
   4. z 성분: 0 ÷ 5 = 0

   이미 축 위에 놓인 벡터라 단위 벡터가 축 방향 그 자체인 0, 1, 0이 됩니다. 여기서 볼 것은 네 번째 출력입니다. 1이 아니라 5로 적혀 있습니다. 길이 5짜리 벡터가 위를 향하면 단위 벡터의 길이는 1이고, 패널은 나온 상수 1이 아니라 나눠 낸 길이를 인쇄해 그 사실을 말해 줍니다.

5. 1 1 1

   1. 길이: √(1 + 1 + 1) = √3 = 1.732051
   2. 각 성분: 1 ÷ 1.732051 = 0.577350

   정육면체의 대각선이며 세 성분이 같게 나옵니다. 입력의 세 성분이 같았고 셋을 같은 수로 나눈다고 그 관계가 깨지지 않으므로 당연한 일입니다. 길이가 정수가 아니라 제곱근이라 여기서는 어느 것도 정확하지 않습니다. 페이지 자신의 정의대로 확인해 보십시오. 0.5774를 제곱하면 0.3334이고, 그것을 셋 더하면 반올림 범위 안에서 1입니다.

성분이 두 개거나 세 개인 경우만 받습니다. 수 하나는 방향이 아니라 부호 있는 크기이고, 네 개 이상은 패널의 성분 줄 세 개에 들어가지 않습니다. 성분이 둘인 벡터를 셋으로 채우는 것은 어떤 의미에서도 아닙니다. 그것은 평평한 평면에 놓여 있고, 세 번째 줄의 0은 같은 방향을 세 좌표로 적었을 때의 모습이며, 그래서 어느 쪽인지 묻지 않아도 됩니다. 영벡터는 아예 거부합니다. 길이가 0이라 나눌 것이 없고, 답이 지킬 방향도 없습니다. 성분은 보통의 수로 읽습니다. 쉼표 뒤에 공백이 있으면 성분을 나누고, 공백 없이 붙은 쉼표는 소수점으로 읽으며(1,5는 1.5), 세 자리 묶음 쉼표는 추측하지 않고 거부합니다. 1,500이 아니라 1500으로 적어야 합니다. 소수점 네 자리는 정밀도 주장이 아니라 표시 폭이고, 성분은 반올림하지 않은 길이에서 계산되므로 인쇄된 값을 제곱해 더하면 정확히 1이 되지 않을 수 있습니다. 패널에 인쇄된 길이는 답이 아니라 입력의 길이입니다. 답의 길이는 정의상 1이고 그것을 인쇄하는 것은 상수를 인쇄하는 일입니다. 이 페이지는 성분이 무엇으로 측정되었는지 알지 못합니다. 단위 벡터에는 단위가 없고 그것이 단위 벡터의 요점이며, 길이는 입력이 지닌 단위를 그대로 답니다. 부호에 대해 짚어 둘 점이 하나 있습니다. 모든 성분의 부호가 입력을 따라가므로 왼쪽을 향하는 벡터는 왼쪽을 향하는 단위 벡터가 됩니다. 양수가 나오기를 기대했다면 다른 벡터를 기대한 것입니다.

단위 벡터란 무엇인가요?

주어진 방향을 향하는 길이 1의 벡터입니다. 어떤 벡터를 자기 길이로 나눈 값이고, 크기 없이 방향만 지닙니다. 길이만 다른 두 벡터는 단위 벡터가 같으며, 그래서 규모가 다른 방향들을 비교하는 수단이 됩니다.

네 번째 줄에 1이 아니라 입력의 길이가 나오는 이유는 무엇인가요?

단위 벡터의 길이는 어느 경우에나 1이라, 영원히 1.0000이라고 적힌 줄은 결과가 아니라 상수일 뿐이기 때문입니다. 입력의 길이는 나눠 낸 수이므로 그것을 인쇄하면 나눗셈이 눈에 보입니다. 3 4를 넣고 5를 본 다음, 0.6과 0.8이 각각 그 5로 나눈 값임을 읽어 내면 됩니다.

성분이 두 개뿐인 벡터를 넣어도 되나요?

됩니다. 세 번째 성분은 0으로 돌아옵니다. 자리를 채우는 것이 아닙니다. 2차원 벡터는 평평한 평면에 놓여 있고, 같은 방향을 세 좌표로 적었을 때 세 번째 성분이 0입니다. 패널에 성분 줄이 셋이라 두 개짜리와 세 개짜리 입력이 같은 배치를 씁니다.

답에 왜 빼기 부호가 남아 있나요?

길이로 나눈다고 벡터가 뒤집히지 않기 때문입니다. 길이는 양수라서 모든 성분이 자기 부호를 지킵니다. -3 4의 단위 벡터는 -0.6과 0.8입니다. 답이 양수로 나오기를 기대했다면 그것은 같은 방향이 아니라 다른 방향입니다.

성분이 모두 0인 벡터는 왜 거부하나요?

정규화가 길이로 나누는 일인데 그 길이가 0이기 때문입니다. 나눗셈 말고도 이유가 하나 더 있습니다. 영벡터에는 방향이 아예 없어서 답이 지킬 것이 없습니다. 각도와 내적을 다루는 페이지들도 영벡터를 거부하고, 외적 페이지는 받아들입니다. 그쪽에서는 실제로 영벡터가 나오기 때문입니다.

벡터 정규화는 어디에 쓰이나요?

방향과 크기를 갈라놓는 데 씁니다. 반사와 투영, 조명을 다루는 공식은 넘겨받는 벡터의 길이가 1이라고 가정하므로, 길이 5짜리를 넣으면 아무 경고 없이 답이 5배가 됩니다. 규모가 다른 두 방향을 비교하는 것도 다른 쓰임입니다. 둘 다 정규화하면 크기가 끼어들지 않습니다.

• Unit vector — 주어진 방향을 향하는 길이 1의 벡터이며 이 페이지가 돌려주는 값이고, 나눗셈으로 얻는 정규화 과정을 포함합니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — 정규화의 대상이 되는 대상이며, 성분 제곱합의 제곱근으로서의 길이의 정의를 포함합니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Norm — 벡터의 길이를 통틀어 이르는 이름이며, 여기서 쓰는 제곱합의 제곱근은 보통의 유클리드 경우입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 평면벡터와 그 선형 연산은 이 교육과정 기준의 해당 학년군 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部