행렬 계산기

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁)

행렬 A의 1행 / 2행

첫 번째 행렬이며 상자마다 한 행, 각 상자에 수 둘을 4 7과 2 6처럼 적습니다. 네 칸이 아니라 행 단위인 것은 행렬이 하나의 대상이기 때문입니다. 네 상자로 쪼개면 입력 하나가 넷이 되고, 행렬이 아닌 것도 채워 넣을 수 있게 됩니다

행렬 B의 1행 / 2행

두 번째 행렬이며 같은 방식으로 적고, 이 페이지에서 유일하게 선택인 입력입니다. 더하기와 곱하기는 둘 다 필요로 하고, 역행렬은 아예 무시하므로 그 연산을 골랐다면 두 상자를 비워 두어도 됩니다. 비워 두는 것은 오류가 아니라 키가 그냥 없는 것입니다

연산

셋 가운데 무엇을 할지입니다. 두 행렬을 더하거나, 곱하거나, 첫 번째를 역행렬로 바꿉니다. 세 페이지가 아니라 한 페이지인 것은 셋이 같은 입력을 받고 그것에 적용하는 산술만 다르기 때문입니다

결과 1행 1열

답의 왼쪽 위 원소이고 나머지 셋도 같은 방식으로 이름 붙습니다. 더하기에서는 왼쪽 위 두 수를 더한 값이고, 곱하기에서는 A의 첫 행 전체와 B의 첫 열 전체를 맞붙인 값이라 왼쪽 위 두 수의 곱과는 다릅니다

det A

첫 번째 행렬의 행렬식이며 왼쪽 위 곱하기 오른쪽 아래에서, 오른쪽 위 곱하기 왼쪽 아래를 뺀 값입니다. 모든 연산에서 인쇄되고 언제나 답이 아니라 A의 것입니다. 적어 넣은 행렬의 성질이라 같은 수로 더하기와 곱하기와 역행렬을 오가도 바뀌지 않습니다

1 ÷ det A

역행렬에서 나누는 수이고, 행렬식이 0인 경우를 거부하는 이유입니다. 역행렬은 이 수로 나눠서 만듭니다. 더하기와 곱하기는 이것을 전혀 필요로 하지 않고, 그래서 행렬식이 0인 행렬에서도 그대로 작동합니다

A⁻¹

A를 되돌리는 행렬이며 둘을 어느 순서로 곱해도 단위 행렬이 나옵니다. 그래서 가질 값어치가 있고, 행렬식이 0이 아닐 때 정확히 존재합니다

단위 행렬

대각선이 1이고 나머지가 0인 행렬이며, 행렬의 곱셈에게 보통의 곱셈에서 수 1과 같은 것입니다. 역행렬이 맞는지 확인하는 방법은 그것을 다시 곱해서 단위 행렬을 얻는 것입니다

소수점 네 자리

출력을 적는 폭입니다. 정수를 더하고 곱하면 정확한 결과가 나오고, 행렬식이 1이나 −1인 행렬의 역행렬도 마찬가지입니다. 나머지는 반올림되며, 대각선에 3이 있는 대각 행렬이 딱 떨어지지 않는 가장 흔한 경우입니다

더하기는 거의 아무도 원하지 않는 연산이고, 주로 셋을 나란히 놓아 두기 위해 있습니다. 원소끼리 더하고 언제나 작동하며, 행렬이 보통의 수처럼 행동하는 유일한 자리입니다. 곱하기는 변환에 쓰이는 쪽입니다. 같은 도형에 회전을 적용한 다음 크기를 바꾸는 것은 두 행렬을 곱하는 일이고, 곱하는 순서가 곧 적용하는 순서입니다. 역행렬은 되돌리는 데 씁니다. 어떤 행렬이 좌표를 한 방향으로 바꾼다면 그 역행렬은 되돌려 놓습니다. 변환의 결과는 있는데 그것을 만든 입력이 필요할 때 쓰는 것이 이쪽입니다. 옆에 인쇄되는 행렬식도 그 자체로 읽을 값어치가 있습니다. 행렬식이 0이라는 것은 그 행렬이 평면을 직선 위로 눌러 버린다는 뜻이라 서로 다른 입력이 같은 출력에 떨어지고 아무것도 되돌릴 수 없습니다. 역행렬이 존재하지 않는다는 말과 같은 내용입니다. 그 부호는 그 행렬이 평면의 방향을 보존하는지 뒤집는지 말해 줍니다. 이 페이지를 쓰면서 기억할 것이 둘 있습니다. 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않습니다. 두 행렬을 바꾸면 다른 답이 나오므로, 변환을 합성하고 있다면 순서는 세부 사항이 아니라 문제의 일부입니다. 그리고 첫 번째 행렬의 행렬식만 보입니다. 두 번째 것도 알고 싶다면 그것을 첫 번째 자리에 놓고 역행렬을 구하십시오. 어느 행렬이 첫 번째인지를 정하는 것은 상자가 아니라 드롭다운입니다.

1. 4 7 / 2 6 곱하기 1 2 / 3 4

   1. 왼쪽 위: (4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
   2. 오른쪽 위: (4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
   3. 왼쪽 아래: (2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
   4. 오른쪽 아래: (2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
   5. A의 행렬식: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 입력입니다. 답의 각 원소는 첫 번째 행렬의 행 하나 전체와 두 번째 행렬의 열 하나 전체를 맞붙인 값이고, 여기서 눈여겨볼 것이 바로 그것입니다. 답의 왼쪽 위는 25인데 입력의 왼쪽 위에 있던 두 수 4와 1 가운데 어느 것도 25가 아닙니다. 그 둘의 곱은 4입니다. 행렬식 10도 함께 인쇄되는데 그것은 4 7 / 2 6이라는 A의 것이지 답의 것이 아닙니다.

2. 같은 두 행렬을 더하기

   1. 왼쪽 위: 4 + 1 = 5
   2. 오른쪽 위: 7 + 2 = 9
   3. 왼쪽 아래: 2 + 3 = 5
   4. 오른쪽 아래: 6 + 4 = 10
   5. A의 행렬식: 앞의 예와 같은 A라 10으로 그대로입니다

   앞의 예에서 한 가지만 바꾼 경우입니다. 드롭다운입니다. 이제 모든 원소가 단순한 합이고, 셋 가운데 행렬이 보통의 수처럼 행동하는 유일한 연산입니다. 순서가 상관없고 잘못될 것이 하나도 없습니다. 행렬식은 여전히 10인데 A에 대한 사실이고 A는 바뀌지 않았기 때문입니다. 드롭다운을 더하기와 곱하기 사이에서 오가 보는 것이 행렬식이 계산의 성질이 아니라는 것을 확인하는 가장 빠른 길입니다.

3. 4 7 / 2 6의 역행렬

   1. A의 행렬식: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
   2. 대각선의 두 원소를 맞바꿉니다: 6과 4
   3. 대각선이 아닌 두 원소의 부호를 바꿉니다: −7은 7이, 2는 −2가 됩니다
   4. 각각을 행렬식으로 나눕니다: 6 ÷ 10 = 0.6, −7 ÷ 10 = −0.7, −2 ÷ 10 = −0.2, 4 ÷ 10 = 0.4
   5. 확인: (4 × 0.6) + (7 × −0.2) = 2.4 − 1.4 = 1이며 단위 행렬의 왼쪽 위입니다

   조건이 붙는 셋 가운데 첫 번째 연산이고, 두 번째 행렬의 상자가 일부러 비어 있습니다. 역행렬은 A만 읽고 페이지는 문제 삼지 않습니다. 요령은 언제나 같은 네 단계입니다. 대각선을 맞바꾸고, 나머지 둘의 부호를 바꾸고, 행렬식으로 나눕니다. 마지막 확인은 손으로 한 번 해 볼 값어치가 있습니다. 답을 원래 행렬에 다시 곱하면 대각선이 1이고 나머지가 0이며, 다른 것이 나오면 부호가 하나 미끄러진 것입니다.

4. 1 2 / 3 4 곱하기 5 6 / 7 8

   1. 왼쪽 위: (1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
   2. 오른쪽 위: (1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
   3. 왼쪽 아래: (3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
   4. 오른쪽 아래: (3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
   5. A의 행렬식: (1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

   자리를 바꿔 볼 줄입니다. 같은 네 수를 A와 B를 맞바꿔 넣으면 답이 23, 34, 31, 46이 됩니다. 같은 입력을 다른 순서로 넣었을 뿐인데 완전히 다른 행렬입니다. 행렬의 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않고, 이것이 그 말의 실제 모습입니다. 두 행렬이 두 변환이라면 곱하는 순서가 곧 적용하는 순서입니다. 여기서 A의 행렬식도 저기서도 −2라는 점을 보십시오. 두 행렬의 행렬식이 우연히 같아서 그런 것이고, 두 답은 결과 네 원소에서 갈리는데 행렬식 열은 그것을 구별해 주지 못합니다.

5. 행렬식이 0인 행렬을 곱하기

   1. 왼쪽 위: (1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
   2. 오른쪽 위: (1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
   3. 왼쪽 아래: (2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
   4. 오른쪽 아래: (2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
   5. A의 행렬식: (1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

   첫 번째 행렬의 행렬식이 0입니다. 둘째 행이 첫째 행의 정확히 두 배라 평면을 직선 위로 눌러 버립니다. 그런데도 곱셈은 정상적으로 계산됩니다. 그것이 이 예의 요점입니다. 행렬식이 0인 것은 역행렬에만 문제이고 다른 어느 것에도 문제가 아닙니다. 같은 페이지에 이 행렬의 역행렬을 요청하면 거절할 것입니다. 더하기나 곱하기를 요청하면 답합니다. 둘 다 여기서 완벽하게 잘 정의된 답을 갖기 때문입니다. 행렬식 열은 어느 쪽이든 0을 읽습니다.

2×2 행렬만 받고, 상자마다 한 행, 각 상자에 수 둘입니다. 더 큰 행렬은 상자를 키우는 것이 아니라 배치를 바꿔야 합니다. 칸 수가 크기의 제곱으로 늘어나기 때문입니다. 두 번째 행렬의 상자는 비워 둘 수 있고, 채워야 하는지는 상자가 아니라 연산이 정합니다. 더하기와 곱하기는 두 행렬을 모두 필요로 하고 역행렬은 첫 번째만 읽습니다. 역행렬은 행렬식이 0이 아닐 때만 존재하고, 그 검사는 0에 가까운지가 아니라 정확히 0인지를 봅니다. 이것은 결정인 동시에 실제 한계이기도 합니다. 허용 오차를 두면 경계 근처의 경우를 잡으려고 진짜로 역행렬이 있는 행렬까지 거부해야 하므로 두지 않았고, 그 대가는 소수점 성분으로 적은 행렬이 정확한 산술에서는 특이행렬인데도 행렬식이 0이 아니라 1.4e-17처럼 나와 역행렬이 구해지고, 거부 대신 네 개의 거대한 수가 나오는 것입니다. 정수로 넣으면 이 문제를 완전히 피할 수 있고, 그만큼 작은 행렬식은 그 자체로 신호입니다. 첫 번째 행렬의 행렬식만 보이므로 두 번째 것을 알려면 그것을 첫 번째 자리에 넣어야 합니다. 성분은 보통의 수로 읽습니다. 쉼표 뒤에 공백이 있으면 한 행의 두 수를 나누고, 공백 없이 붙은 쉼표는 소수점으로 읽으며(1,5는 1.5), 세 자리 묶음 쉼표는 추측하지 않고 거부합니다. 1,500이 아니라 1500으로 적어야 합니다. 소수점 네 자리는 정밀도 주장이 아니라 표시 폭이고, 역행렬은 반올림하지 않은 행렬식에서 계산되므로 인쇄된 답을 A에 다시 곱해도 인쇄된 수에서 정확히 1과 0이 나오지 않을 수 있습니다. 이 페이지 어디에도 단위가 없고 암시되지도 않습니다. 원소는 보통의 수이고, 그것에 대해 주장하는 것은 소수점 네 자리뿐입니다.

수를 하나씩 넣는 칸이 아니라 행마다 상자 하나인 이유는 무엇인가요?

행렬이 하나의 대상이고, 상자 넷으로 쪼개면 서로 독립적으로 채워 넣을 수 있는 입력 넷이 되기 때문입니다. 행렬이 아닌 모양으로 채워 넣는 것도 가능해집니다. 행렬 전체를 상자 하나에 담으면 반대 문제가 생깁니다. 빠진 원소와 자리가 바뀐 원소를 구별할 방법이 없습니다. 행마다 상자 하나면 한 행의 두 수가 함께 남고, 페이지가 각 행에 수가 정확히 둘인지 검사할 수도 있습니다.

두 번째 행렬은 언제 비워 둘 수 있나요?

고른 연산이 그것을 필요로 하지 않을 때입니다. 역행렬은 첫 번째 행렬만 읽으므로 두 번째 행렬의 상자 둘을 비워 두어도 빠진 것이 없습니다. 더하기와 곱하기는 둘 다 필요로 하고, 아직 입력하는 중이면 페이지는 불평하는 대신 기다립니다. 상자를 채워야 하는지는 상자가 아니라 연산이 정합니다.

역행렬을 구할 때 왜 거부되는 경우가 있나요?

역행렬은 첫 번째 행렬을 되돌리는 행렬인데, 행렬식이 0인 특이행렬에는 그런 역행렬이 없기 때문입니다. 그 행렬은 평면을 직선 위로 눌러 버려서 서로 다른 입력이 같은 출력에 떨어지고 아무것도 되돌릴 수 없습니다. 페이지는 답처럼 보이는 수 넷을 인쇄하는 대신 거부합니다. 같은 행렬을 더하거나 곱하는 것은 정상적으로 작동합니다.

행렬식은 어느 행렬의 것인가요?

어느 연산을 골랐든 언제나 첫 번째 행렬의 것입니다. 그래서 같은 입력으로 더하기와 곱하기와 역행렬을 오가도 제자리에 있습니다. 답이 아니라 그 행렬의 성질이고, 역행렬이 존재하는지를 정하는 것도 그것입니다. 두 번째 행렬의 행렬식을 알고 싶다면 그것을 첫 번째 자리에 놓고 역행렬을 구하십시오.

두 행렬의 순서가 중요한가요?

곱셈에서는 그렇습니다. 그리고 그것은 기술적인 문제가 아니라 진짜 차이입니다. 두 행렬을 바꾸면 네 원소가 모두 달라집니다. 두 행렬이 두 변환이라면 곱하는 순서가 곧 적용하는 순서입니다. 덧셈은 예외입니다. 행렬의 덧셈은 보통의 수처럼 되어서 순서가 전혀 상관없습니다.

역행렬은 어디에 쓰나요?

그 행렬을 되돌리는 데 씁니다. 어떤 행렬에 그 역행렬을 어느 순서로 곱해도 단위 행렬, 곧 대각선이 1이고 나머지가 0인 행렬이 나옵니다. 그래서 거꾸로 가는 데 쓸모가 있습니다. 변환된 좌표에서 그것을 만들어 낸 좌표로 돌아가는 것입니다. 페이지가 옆에 행렬식을 인쇄하는 것은 행렬식이 0인 경우가 바로 그 일을 할 수 없는 경우이기 때문입니다.

• Matrix — 이 페이지가 입력으로 받는 대상이며, 여기서의 세 연산이 따르는 덧셈과 곱셈과 단위 행렬의 정의를 담고 있습니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Matrix inverse — 다른 행렬을 되돌리는 행렬이며, 이 페이지가 쓰는 2×2 경우의 공식과 행렬식이 0이 아닐 때만 존재한다는 조건을 담고 있습니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — 페이지가 모든 답 옆에 인쇄하는 수이며, 2×2 행렬에서 그것을 계산하는 법과 역행렬을 그것으로 나누는 이유, 그리고 값이 0이라는 것이 그 행렬에 대해 하는 말을 담고 있습니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 행렬과 그 연산은 이 교육과정 기준의 해당 학년군 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部