指数表記計算
計算結果
科学表記
- E表記
- 1.28e3
- 通常の表記
- 1280
指数表記は、数を1以上10未満の係数と10の累乗の積として書く書き方で、45,000は4.5 × 10⁴、0.00045は4.5 × 10⁻⁴になります。値打ちは数の大きさが指数の側へ移ることです。掛け算と割り算は0を数える仕事ではなく、小さな整数を足し引きする仕事になります。この計算ツールは2つの数と1つの演算を受け取り、結果を3つの形で同時に印字します。指数表記、e表記、そしてふつうの小数です。計算の全部は指数の規則です。掛け算では係数どうしを掛け、指数を足します。(3.2 × 10⁵) × (4 × 10⁻³) = 12.8 × 10²で、これは1.28 × 10³に正規化されます。割り算では係数どうしを割り、指数を引きます。面倒なのは足し算と引き算で、先に指数をそろえなければなりません。1.5 × 10³に2.5 × 10²を足すのは1,500に250を足すことで、答えは1.75 × 10³です。ふつうの小数の計算と違うところは何もありません。同じ和です。ただ、この表記はそろえる段を忘れやすくします。入力はどちらの形でも受け付けます。プログラムが打つe表記、3.2e5や4e-3はそのまま読み取られ、ふつうの小数45,000も同じです。2つは同じ数で、このページは同じに扱います。4.5 × 10⁴のような書かれた形は受け付けません。理由は回避策を探すより知っておく価値があります。それを認識するとは、同じ考えの5通りの綴りを受け入れることで、掛け算記号、x、アスタリスク、上付きの指数、キャレットがそれにあたります。1つでも読み違えれば、違う数で計算することになります。結果のe表記の行は、入力欄に貼り戻すためにあります。どちらの数も有効数字15桁まで、指数は−99から99までです。答えはその範囲を越えてかまいません。1e99 × 1e99は1 × 10¹⁹⁸だからです。このサイトのほかのページとは違って、計算そのものに1つ注意があります。小数の足し算と掛け算は倍精度で行われるので、すべての小数を正確に表せるわけではありません。0.1 + 0.2は何よりも先に0.30000000000000004です。これは浮動小数点の表し方から来る誤差で、丸めはそれを隠しているだけです。結果は有効数字15桁に丸められ、末尾の0が落とされるので、印字されるのは3 × 10⁻¹と0.3です。尾は16桁目と17桁目にあります。この15は表示の幅であって主張ではありません。2つの数から計算した答えは、自分の桁のいくつが測定されたのかを知りませんし、ここで何桁印字してもそれは分かりません。答えが何桁の有効数字に値するかを決めるのは別の問いで、このページではなく有効数字のページに属します。このページでは2つの流儀が出会うので、一度切り分けておく価値があります。アメリカではこの表記をscientific notationと呼び、イギリスとGCSEのシラバスでは同じものをふつうstandard formと呼びます。2つの名は同じ係数と指数の形を指していて、標準形のページが仕事の変換の半分、つまり1つの数を入れて同じ数を別の書き方で出すほうを担当し、このページが計算の半分を担当します。
10の累乗を、指数表記・e表記・ふつうの小数の3通りで書いたもの
| 累乗 | ふつうの小数 | e表記 |
|---|---|---|
| 1 × 10⁻⁹ | 0.000000001 | 1e-9 |
| 1 × 10⁻⁶ | 0.000001 | 1e-6 |
| 1 × 10⁻³ | 0.001 | 1e-3 |
| 1 × 10⁻² | 0.01 | 1e-2 |
| 1 × 10⁻¹ | 0.1 | 1e-1 |
| 1 × 10⁰ | 1 | 1e0 |
| 1 × 10¹ | 10 | 1e1 |
| 1 × 10² | 100 | 1e2 |
| 1 × 10³ | 1000 | 1e3 |
| 1 × 10⁴ | 10000 | 1e4 |
| 1 × 10⁵ | 100000 | 1e5 |
| 1 × 10⁶ | 1000000 | 1e6 |
| 1 × 10⁹ | 1000000000 | 1e9 |
10⁻⁹から10⁹までの13の累乗を、同じ数を3通りで書いたものです。1列目を指数、3列目を入力する形として読んでください。10⁻³は0.001で、1e-3です。実際に困るのは真ん中の行です。10⁰は1、10⁻¹は0.1なので、マイナスを1つ落とすと値が10倍動きます。測定の仕事でいちばんよく出てくるのは10⁻²と10⁻³の2つです。小数の形が楽でなくなる場所にも注目してください。10⁻⁶より下では右側の0が数えにくくなり、小さい値をこの表記で書く理由がそこにあります。10⁶より上ではふつうの形は区切りなしには読めず、このページは区切りを印字しません。このサイトが提供する言語のいくつかではコンマが小数点を意味するからです。ここにあるセルはすべて、パネルが使っているのと同じ計算から出ているので、行が上の答えと食い違うことはありません。
公式
(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ; (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ; 1.5 × 10³ + 2.5 × 10² = 1,500 + 250 = 1.75 × 10³; 3.2e5 × 4e-3 = 1.28 × 10³ = 1.28e3 = 1,280
- 3.2e5と4e-3
- 組み合わせる2つの数で、それぞれe表記（3.2e5）でもふつうの小数（320,000）でも書けます。どちらも有効数字15桁まで持てます。このページが読み取る入力で、答えはそれらから計算される新しい数です
- × ÷ + −
- 4つの選択肢から選ぶ演算です。掛け算が最初にあるのは、それが指数表記の目的だからです。指数が足されるので、係数を1つも掛けないうちに答えの大きさが決まります
- 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ
- 掛け算と割り算の下にある指数の規則です。積では指数を足し、商では指数を引きます。10⁵ × 10⁻³が0を1つも数えずに10²になるのはそのためです
- 1.5 × 10³ + 2.5 × 10²
- 足し算と引き算が別扱いになる理由です。ここでは指数がそろっていないので、2つの数を共通の指数で書き直してから足す必要があります。1,500 + 250で、結果は1.75 × 10³です。この段を飛ばすのがよくある間違いです
- 0.1 + 0.2 = 3 × 10⁻¹
- 答えが有効数字15桁で印字される理由です。0.1と0.2はどちらも倍精度では正確に持てず、その和は0.30000000000000004になります。15桁に丸め、残った末尾の0を落とすと3 × 10⁻¹と0.3が印字されます。15は精度についての主張ではなく表示の幅です
- 1.28 × 10³、1.28e3、1,280
- 1つの答えの3つの形です。1つ目は教科書が印字する形、2つ目は入力欄に貼り戻したときにプログラムや表計算が受け取る形、3つ目は数を書き下した形です。3つの違う答えになることはありません
指数表記は、数が1から遠く離れているところで居場所を得ます。物理学では、原子で測るものでもメートルで測るものでも光年で測るものでも、これが既定の書き方です。電子の質量、恒星までの距離、色の波長。理由はどの尺度でも同じで、指数が大きさを運ぶので、2つの量の比較が2つの指数の比較になります。化学では数えることと組になります。6.022 × 10²³は粒子の個数で、それに測った量を掛けるのはこの形での計算です。工学は図面の両端の公差でこれに頼り、計算機の世界がこれに頼るのはe表記が存在する理由そのものです。浮動小数点の数は係数と指数として格納され、このページが印字するe表記はそれを正直に書くいちばん短い形です。教科書と試験問題はこれを検算できる形として使います。指数表記で解いて4.5 × 10⁴と答えると、答えの大きさが0の並びより見える形で出てくるので、指数の置き間違いはこの形では目で見つかり、もう一方の形では見逃されます。その仕事の中でこのページが担うのは計算の段です。指数の帳尻を合わせ、次の段が必要とする3つの形のどれかで答えを印字します。数が組み合わされていて、答えを見積もりではなく書き下す必要があるときに、いちばん役に立ちます。その両隣に2つの仕事があります。計算を伴わずに同じ数を別の書き方で書くのが標準形のページです。答えの中の桁のいくつが実際に測定されたのかを決めること、つまり有効数字の話が有効数字のページで、それはこのページが意図的に答えない問いです。
計算例
掛け算：3.2 × 10⁵に4 × 10⁻³を掛ける
- 係数を掛ける：3.2 × 4 = 12.8
- 指数を足す：10⁵ × 10⁻³ = 10²
- 積は12.8 × 10²だが、係数が10未満でなければならないので、まだ指数表記ではない
- 10を1つ、係数から指数へ移す：12.8 × 10² = 1.28 × 10³
- 書き下すと1,280になり、e表記の1.28e3はどちらの入力欄にも貼り戻せる
既定値で、この表記を使う価値があることを示す場合です。どちらの数も短く、計算は掛け算2つと足し算1つです。表記を使わなければ同じ仕事が320,000 × 0.004になり、0がすべての仕事をして、答えは10倍ずれやすくなります。注意すべきは正規化の段で、パネルが黙ってやっているのもこの段です。12.8 × 10²と1.28 × 10³は同じ数で、指数表記なのは2つ目だけです。
割り算：9.6 × 10⁷を3.2 × 10³で割る
- 係数を割る：9.6 ÷ 3.2 = 3
- 指数を引く：10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
- 係数はすでに1と10の間にあるので、正規化は要らない
- 答えは3 × 10⁴で、3e4であり30,000である
係数がきれいに出る割り算なので、指数の規則を隠すものが何もありません。係数に末尾の0が付かないことにも注目してください。結果は3.00ではなく3です。このページは有効数字15桁で印字し、情報を持たない0を落とすからです。答えを3と書くべきか3.00000と書くべきかは有効数字の問いで、ここにある入力では決まりません。
0.1と0.2を足す
- どちらの入力にも指数が現れないので、2つの数はそのまま書く：0.1と0.2
- 倍精度では、格納される値は正確に10分の1と10分の2ではなく、その和は0.30000000000000004になる
- 結果は有効数字15桁に丸められ、0.300000000000000が残る
- 末尾の0は落とす。15桁は表示の幅であって測定値ではないからである
- 残るのは3 × 10⁻¹、つまり3e-1か0.3である
表示幅を正当化する算例です。有効数字7桁で印字しても浮動小数点の尾は隠せますが、別の場合が壊れます。123456789012345 + 0が123456800000000と印字され、それは単に間違った数です。15桁は、入力が受け付けるすべての値に対して正確さを保ついちばん広い設定なので、尾を隠しつつ数を保ちます。この和をプログラミングのパズルとして見たことがあるなら、パズルは実在します。ただこの幅では見えないだけです。
適用限界
それぞれの入力は有効数字15桁まで、指数は−99から99までを受け付けます。答えはその制限に縛られません。1e99 × 1e99は1 × 10¹⁹⁸で、そのふつうの形は199文字の行になります。書かれた形は拒否されます。4.5 × 10⁴も4.5×10^4も解釈されず、桁区切りのコンマも同じです。このサイトが提供する言語のいくつかではコンマが小数点を意味するので、どちらの流儀かを推測すると計算に違う数が入ってしまいます。コンマを外して書くか、4.5e4の形で入れてください。0で割ると無限大ではなく例外になります。無限大は書き下せる結果ではないからです。0は3つの形すべてで0と印字されます。0 × 10⁰は、大きさを持たない数に大きさを付けたものになってしまいます。結果は有効数字15桁に丸められ、末尾の0が落とされるので、答えは精度について何の情報も運ばず、このページも何も主張しません。その問いは有効数字のページに属します。掛け算、割り算、足し算、引き算が倍精度で行われるので、結果が正確なのは有効数字15桁までです。このページが受け付ける入力には十分で、それより長い値を正確な算術として扱うには足りません。長い値が拒否されるのはそのためです。最後に、下の表は固定された10の累乗の一覧で、入力に追随しません。答えの横に置いて読むためのもので、答えから計算されるものではありません。
よくある質問
- 指数表記とは何か
- 数を1以上10未満の係数と10の累乗の積として書く書き方です。45,000は4.5 × 10⁴、0.00045は4.5 × 10⁻⁴です。数の大きさが指数の側へ移るので、この形での掛け算と割り算は、長い0の並びではなく小さな整数を扱う仕事になります。イギリスでは同じものをふつう標準形と呼びます。
- e表記とは何か、なぜ印字するのか
- 同じ数を普通の文字だけで書いたものです。4.5e4は4.5 × 10⁴、4.5e-4は4.5 × 10⁻⁴を意味します。プログラム、表計算、検索欄が受け取る形なので、3つの形の1つとして印字しています。入力欄にそのまま貼り戻せる版の答えです。
- 0.1 + 0.2がここではちょうど0.3になるのはなぜか
- 印字する前に結果を有効数字15桁へ丸めるからです。格納されている和は0.30000000000000004で、違いは16桁目と17桁目にあります。15桁は見た目のために選んだ丸い数ではなく、入力が受け付けるすべての値が正確に印字されるいちばん広い表示幅です。だから123456789012345 + 0は短く丸められず、123456789012345のまま戻ってきます。
- 入力欄に4.5 × 10⁴と打てるのか
- 打てませんし、このページはそう表示します。その形を認識するとは、その綴りをいくつも受け入れることです。掛け算記号、x、アスタリスク、上付きの指数、キャレット。1つでも読み違えれば違う数で計算することになります。代わりに4.5e4か45,000と打ってください。どちらも同じ値で、どの答えのe表記の行も貼り戻せるように書かれています。
- 指数表記で掛け算と割り算はどうやるのか
- 積では係数どうしを掛けて指数を足し、商では係数どうしを割って指数を引きます。そのあと係数が1と10の間にあるかを確かめ、外れていれば10を1つ指数へ移します。3.2 × 10⁵に4 × 10⁻³を掛けると12.8 × 10²で、これは1.28 × 10³と書きます。足し算と引き算は先に指数をそろえる必要があり、その段をこの表記は飛ばしやすくします。
- 答えから有効数字が分かるのか
- いいえ。答えは計算された数で、その桁のいくつが測定されたのかは表示幅では分かりません。入ってきた数の精度と、そもそも測定値だったのかどうかで決まります。末尾の0を落とすのも同じ理由で、残せば計算が持っていない精度をほのめかすことになります。答えが何桁の有効数字に値するかを求めるのは有効数字のページの主題です。
参考文献
- Scientific notation — 係数と指数の形、その形での掛け算と割り算の規則、およびこの表記の歴史 — Wolfram MathWorld (United States)
- Scientific notation — この形と、掛け算・割り算の指数規則への入門 — Math is Fun (United Kingdom)
- Scientific notation — 定義と、イギリス名のstandard formで示された同じ形 — Math is Fun (United Kingdom)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。科学記数法で数を表すことと、整数指数の累乗の計算は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部