展開形計算
計算結果
展開形
- 10の累乗を使った展開形
- 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰
この計算ツールは、数を展開形で書き表します。それぞれの桁を、その桁が座っている位の値に掛けて足し合わせた形です。3,456は3,000 + 400 + 50 + 6になります。別の数になるわけでも、短い書き方になるわけでもなく、同じ数の構造をそのまま見えるようにしたものです。この和を読み戻すことがこのページの全部で、3は千の位にあるので3,000、4は百の位にあるので400、以下同じように並んで最後の6は一の位です。累乗で書いた形は同じ和を、位の値を10の累乗として名指ししたものです。3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰。2行は同じことを言っていて、このページは両方を並べて印字します。前者は位取り表がそのまま出す形で、後者は同じ表の列に指数を付けた形だからです。展開形では0を落とします。205.04は200 + 5 + 0.04です。十の位の0と小数第1位の0は和に何も寄与しませんし、寄与しない項の隣に0 × 10と書き添えても行が読みにくくなるだけです。ここがこのページと位の値のページが意図的に食い違う唯一の点です。あちらは0を残します。あちらの主題は桁であり、どんな桁にも位の値があって、値が0の桁もそこに含まれるからです。こちらは主題が和で、値が0の項は和から外しても和は変わりません。1より小さい数も同じように展開し、指数が負になります。0.004560は0.004 + 0.0005 + 0.00006で、これは4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵です。末尾に何が起きたかに注目してください。0.004560の最後の0は項を作りません。205.04の0と同じ理由です。このページは数の書かれた形を保存しているのではなく、数を分解しているからです。負の数は符号を括弧の外に置いて書きます。−550は−(500 + 50)で、−500 + −50ではありません。後者は算術としては同じですが、出力が和であるこのページでは、2つの負の数を足しているように読めてしまい、符号が数ではなく桁に属しているようにも見えます。0は項を1つも持たない唯一の入力で、空行ではなく0と印字されます。入力はふつうの小数でもe表記でも書けます。e表記を受け付けるのは、このサイトのほかの場所で印字しているのと同じ理由で、プログラムが受け取る書き方だからです。隣のページを2つ知っておく価値があります。位の値のページは同じ数を分解しますがすべての桁を残すので、問いが和はいくらかではなく、ある桁はいくらかであるときのページです。標準形のページは逆方向に動き、数を係数と指数へ畳みます。畳むのが要約で、これは解剖です。
4つの数を展開したものと、同じ4つの展開を10の累乗で書いたもの
| 数 | 展開形 | 10の累乗で書いた展開 |
|---|---|---|
| 3456 | 3000 + 400 + 50 + 6 | 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ |
| 205.04 | 200 + 5 + 0.04 | 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻² |
| 1200 | 1000 + 200 | 1 × 10³ + 2 × 10² |
| 0.004560 | 0.004 + 0.0005 + 0.00006 | 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵ |
規則が何をするかを覆うように選んだ4つの場合です。0を含まない4桁の数、小数点とその左右に1つずつ0がある数、末尾に0が2つ付く整数、そして末尾に0が1つ付く1未満の値。2行目と4行目は2度読む価値があります。205.04では十の位の0と小数第1位の0がどちらも展開から消え、0.004560では末尾の0も消えます。どの場合でも、残った項を足し戻すと左の数になります。3列目の指数の動きにも注目してください。右へ1桁進むごとに1つずつ下がり、一の位で0をまたぎ、小数点より下では負の数として下がり続けます。ここにあるセルはすべて、上の入力に答えているのと同じ計算から出ているので、行がパネルと食い違うことはありません。
公式
3,456 = 3,000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰; 205.04 = 200 + 5 + 0.04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²; −550 = −(500 + 50)
- 3,456
- 分解する対象の数で、ふつうの小数でもe表記でも書けます。桁は書き換えられず、丸めも行われません。数を式として書き直しているだけなので、展開した項を足し戻して入力と一致しなければ、それは丸めの判断ではなく不具合です
- 3,000 + 400 + 50 + 6
- 展開形そのものです。0でない桁1つにつき項が1つで、各項はその桁と位の値の積になります。桁はもとの左から右の順に現れるので、この行はもとの数を読むのと同じ順で読めます
- 3 × 10³
- 同じ項を、位の値を10の累乗として書いたものです。指数はその桁が一の位から何歩離れているかを表し、左へ数えると正、右へ数えると負になります。一の位自身が10¹ではなく10⁰なのはそのためです
- 200 + 5 + 0.04
- 0がどこへ行くかを示す例です。205.04には十の位に0、小数第1位に0があり、どちらの項も省かれます。和に0を足しても何も変わらないからです。位の値のページはこれを残しますが、このページは残しません。その対比が2つのページの存在理由です
- 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴
- 小数点より下の部分の展開で、指数が負になります。0.004560は4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵になり、入力の末尾の0は項を作りません。このページは値を読むのであって、書かれた形を保存しているわけではないからです
- −(500 + 50)
- 負の数の書き方です。符号は和全体に掛かり、括弧の外に置かれます。−500 + −50のように各項へ配ると、2つの負の数の和を読んでいるように見えてしまいます
展開形は位取りの教え方そのもので、数を数えることと筆算の間にある一段です。3,456を3,000 + 400 + 50 + 6と書ける子は、3と4がそのまま足せない理由が見えています。筆算の足し算が成り立つのはその考え方の上で、同じ展開が引き算の下にあれば繰り下がりを説明し、掛け算の下にあれば3,000 × 4と3 × 4が違う理由になります。学校を出たずっと後になっても、数の構造を読める形として現れ続けます。同じ量の2つの測定値を比べる技術者には、食い違いがどの位にあるかを見るのに展開形がいちばん速く、表計算の結果を確かめる読み手は、合計を展開して各桁を入力と突き合わせれば、全体を一度に信じずに済みます。累乗の形は指数表記と計算機への橋です。3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰は3.456 × 10³まであと一歩で、10の代わりに2の累乗を並べた同じ式が2進数の展開そのものです。ビットはそれぞれ自分の位置の値だけを持ちます。逆方向に動いて数を係数と10の累乗へ畳むのが標準形のページで、そちらは個々の桁を並べずに失います。そして問いがすべての桁ではなく特定の1桁についてであるとき、位の値のページは0も含めてすべての桁をその位置に残します。
計算例
4桁の数：3,456
- 左から桁を読む：3、4、5、6
- それぞれの桁の位を確かめる：千の位、百の位、十の位、一の位
- 各桁にその位の値を掛ける：3 × 1,000、4 × 100、5 × 10、6 × 1
- 項を足す：3,000 + 400 + 50 + 6
- 同じ4つの項を、位の値を10の累乗として書くと3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰になる
既定値で、意図的にいちばん素直な場合です。0も小数点も符号もないので、どんな規則を当てる前でも答えの形が見えます。項を足し戻すと3,456になり、これがどんな展開にも走らせる価値のある検算です。項の和はもとの数に一致しなければならず、どの桁もちょうど1回ずつ現れます。
0と小数点を含む数：205.04
- 桁は2、0、5、0、4で、位は百の位から小数第2位まで並ぶ
- 2は200、5は5の値を持ち、十の位と小数第1位の0は値を持たず項を作らない
- 4は小数点から右に2つ目なので位の値は0.01で、その項は0.04になる
- 展開は200 + 5 + 0.04で、足すと205.04に戻る
- 10の累乗で書くと、同じ項は2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²になり、指数の2、0、−2は一の位からの距離である
このページの中心になる場合です。0が2つ、小数点の左右に1つずつあり、どちらも項を作りません。同じ入力を位の値のページで引くと2 × 100、0 × 10、5 × 1、0 × 0.1、4 × 0.01、つまり5つの項が返ってきます。3つと5つ、どちらも別の問いへの正しい答えです。5 × 10⁰の指数が0であることにも注目してください。一の位もほかの位と同じ位で、指数が0なのはその桁が自分自身から0歩しか離れていないからです。
負の数：−550
- まず符号を無視して桁を取る：5と5で、百の位と十の位
- 項は500と50になり、一の位の0は何も足さない
- それらの項の和は550で、もとの数はその和を負にしたものである
- 符号は和全体を囲む括弧の外に1回だけ書く：-(500 + 50)
符号は数の性質であって、どれか1つの桁の性質ではありません。それを書き言葉で表したのが括弧です。配ってしまうと-500 + -50になり、算術としては同じでも読みにくくなります。出力が和であるこのページでは、マイナスが2つ並ぶと2つの数を足しているように読め、行を確かめる読み手は、それが負の桁なのか負の合計なのかを考え込むことになります。
1未満で末尾に0が付く値：0.004560
- 意味を持つ桁を探すと4、5、6である。先頭の0は小数点の位置を決めているだけである
- 4は小数第3位にあるので、その項は0.004である
- 5は小数第4位で0.0005、6は小数第5位で0.00006になる
- 入力の最後の桁は小数第6位の0で、何も寄与せず項を作らない
- 項を足すと0.00456になり、これは入力の値である
面白いのは末尾の0で、ここでこのページと有効数字のページが分かれます。ここでは0は単に項にならないだけで、和には必要ないからです。あちらでは0は測定された桁で、0.004560が持つ4桁の有効数字に数えられます。どちらも同じ入力から出た読みで、どちらも間違いではありません。1つは数の値について、もう1つは測定の精度についての話です。
適用限界
0は項を作りません。205.04は200 + 5 + 0.04に展開され、200 + 0 + 5 + 0 + 0.04にはなりません。つまり展開形は入力を桁ごとに書き写したものではなく、入力を和として書いたもので、値が0の項は省かれます。0を残したいときは位の値のページが残します。書かれた形は入力として受け付けません。4.5 × 10⁴は拒否され、桁区切りのコンマも同じく拒否されます。コンマを外して入れてください。入力は有効数字15桁まで、指数は±99までです。整数の先頭に付いた0も保存されません。007は位の値を持たず、その入力の展開は7になります。0は両端で特別です。入力の0は項を持たない0として展開され、どんな数の展開も書かれた形の終わりではなく最後の0でない桁で終わります。丸めも変換も行わないので、9.99の展開は9 + 0.9 + 0.09で、10になることはありません。最後に、このページは桁を並べるだけです。それを足し上げたり、有効数字が何桁かを決めたり、数を係数と10の累乗で書いたりはしません。それは3つの別の仕事で、それぞれ位の値、有効数字、標準形のページの担当です。
よくある質問
- 展開形とは何か
- 数を、各桁とその位の値の積の和として書いたものです。3,456は3,000 + 400 + 50 + 6になります。別の数でも、短い書き方でもなく、同じ数で、位の構造が見えるようになっているだけです。位取りを最初に教えるときの形であり、筆算が成り立つ理由を説明する形でもあります。
- 展開形で0を省くのはなぜか
- 値が0の項は和から外しても和が変わらず、書いてあれば行が読みにくくなるだけだからです。205.04は200 + 0 + 5 + 0 + 0.04ではなく200 + 5 + 0.04です。位の値のページは逆の立場を取り、主題が和ではなく桁なのですべての桁を残します。同じ数について、どちらのページも正しい答えを出します。
- 展開形と展開記法はどう違うのか
- 後者は位の値を10の累乗として書きます。3,000 + 400 + 50 + 6ではなく3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰です。このページは両方を上下に並べて印字します。前者は位取り表がそのまま出す形で、後者は同じ表の列に指数を付けた形だからです。
- 小数はどう展開するのか
- 同じやり方で、小数点より右の位が負の指数を持ちます。205.04は2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²です。4は一の位から右に2つ目にあるからです。0.004560は4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵になり、末尾の0は項を1つも作りません。
- -550が-(500 + 50)と書かれるのはなぜか
- 符号がどれか1つの桁ではなく数全体に属するからです。配ると-500 + -50になり、値は同じでも2つの負の数を足しているように読めます。出力が和であるページでは紛らわしい書き方です。括弧の外に1回だけ書けば、1つの数が負であり、その数の内訳が何か、という形で言えます。
- 展開形から有効数字が分かるのか
- いいえ。このページは桁と位の値を並べてそこで止まります。0.004560の末尾の0は単に項にならないだけです。その0が測定されたものかどうかは別の問いで、答えるのは有効数字のページです。あちらでは0も数えられ、この数は有効数字4桁になります。
参考文献
- Expanded form — 展開形とは何か、数を位の値の和として書く方法、同じ展開を10の累乗で書いた形 — SplashLearn (United States)
- Expanded notation — 同じ展開を10の累乗で書いた形で、アメリカで使われる呼び名 — Wolfram MathWorld (United States)
- Place value — 展開形を読み取るもとになる位取り表と、位置によって決まる各桁の値 — SplashLearn (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。万の位までの数の位取りと数の構成、小数の位と位の値は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部