臨界値計算

上側：Φ(z) = 1 − α/2　　t：T(t, df) = 1 − α/2　　カイ二乗：P(χ² > x, df) = α　　F：P(F > f, df₁, df₂) = α

α

有意水準——境界が引かれる裾の面積で、上のドロップダウンが信頼水準と呼んでいるのと同じ量です。2つの語彙は引き算1つ分しか違いません。信頼水準95%はα = 0.05、水準99%はα = 0.01です。この違いを分けておくことが効いてきます。その5%が片側にあるのか2つで分け合うのかをページが知る必要があり、それが見えるのはαの読み方だけだからです

Φ⁻¹

標準正規累積関数の逆関数——z表を読むもとになっているのと同じ曲線を、逆に走らせたものです。表は与えられたzに対する面積を与え、臨界値は与えられた面積に対するzです。答えが算術ではなく近似から来なければならないのは、まさにそのためです

df

自由度——t分布とカイ二乗分布の形のパラメータです。同じ信頼水準がページによって違う答えを返すのはこれのせいです。95%両側で、自由度1なら境界は12.7062、10なら2.2281、標本がtと正規の区別がつかないほど大きければ1.9600です

df₁, df₂

F分布の2つの自由度——分子と分母です。F検定は2つの分散、あるいは複数の群の平均をまとめて比べるので、両方が必要で、ページの2つ目の欄はこのモードでだけ読まれます。逆の順で入れるのはよくある取り違えで、答えが変わります

tails

境界が分布のどちら側にあるかです。両側はαを半分に分けて両端にα/2を置くので、95%両側のzは1.9600、95%片側のzは1.6449になります。同じ信頼で、基準は低くなります。5%の全体が片側に載るからです。カイ二乗とFには両側という読み方がありません。これらの分布は左右非対称なので、下側の境界は上側の符号を変えたものではなく、まったく別の数になります

信頼水準または有意水準があって、検定統計量と比べる数を必要としているときに使います。手計算を仕上げるとき、ソフトが何を使ったかを確かめるとき、標本サイズが変わると基準がどれだけ動くかを見るときです。この分野で最もよくある混乱を片付けるのもこのページです。1.96と1.645は同じ検定に対する2つの流儀ではなく、5%水準での両側と片側の境界であり、どちらが当てはまるかは、データを見る前に仮説が向きを名指ししたかどうかで決まります。逆に読めば逆の問いにも答えます。報告された統計量2.3は、境界2.2281のとなりでは5%両側で有意で、自由度5での2.5706のとなりでは有意ではありません。このページが決めないのは、どの分布を使うべきかです。それは研究についての問いです。標準偏差が既知の定数ならz、同じデータから推定したならt、度数と分散にはカイ二乗、分散の比にはFです。ドロップダウンは使う人の判断で、間違えやすいところは下のFAQで説明しています。

1. 既定値：95%両側のzの境界

   1. 信頼水準95%はα = 0.05です
   2. 両側なので各裾に0.025ずつ入り、上側の境界は標準正規曲線が下に0.975を残す点になります
   3. Φ⁻¹(0.975) = 1.9600
   4. 下側の境界はその鏡像で−1.9600です。両側検定が|z|をこの1つの数と比べるのはそのためです

   統計で最も引用される数で、ここから始めるのが正しいのは、ページのほかの何かを信じる前に記憶と照合できるからです。両側という読み方が問題に何をするかに注目してください。5%の全体ではなく半分を上に残すzを求めており、その半分にすることが1.9600と1.6449の違いのすべてです。自由度の2つの欄はどちらも画面にあり、このモードでは使われません。z検定に自由度はなく、ページはそれを灰色にするのではなく読まないことで示しています。

2. 同じ95%でも、標準偏差が標本から出た場合

   1. 信頼水準も裾の数も同じなので、α/2 = 0.025も同じです
   2. 分布が正規から自由度10のtに変わり、裾が重くなります
   3. T⁻¹(0.975, 10) = 2.2281
   4. 同じ境界は自由度5なら2.5706、50なら2.0086です。標本が大きくなるにつれて1.9600へ歩いて行きます

   1.9600と2.2281の開きは、母標準偏差を知らないことの代価であり、2つの分布を互換として扱わず分けておく理由です。小さな補正ではありません。統計量2.1はzの基準は越えますが、自由度10のtの基準では落ちます。ここで挙げた3つのt値——2.5706、2.2281、2.0086——は3つの自由度での同じ計算で、順に読むのが、tが別の規則ではなく、薄れていく罰則を伴う同じ規則であることを見る最も明快な方法です。

3. カイ二乗の境界に両側版はない

   1. カイ二乗は二乗の和なので負にならず、曲線は右に偏っています
   2. 検定は観測されたずれが大きすぎるかを問うので、境界は上側のほうです。曲線が下に0.95を残す点です
   3. P(χ² > x, df = 3) = 0.05よりx = 7.8147です
   4. ここで両側を選ぶと、近似ではなく拒否されます

   カイ二乗に両側を求めるのがこのページが拒否する唯一の入力で、その拒否のほうが情報になります。対称な分布では2つの境界は互いの負なので、1つの数が両端を受け持ちます。非対称な分布では無関係な値で、自由度3のカイ二乗の上側5%点は7.8147、下側5%点は0.3518です。どちらかを「両側の臨界値」として印字すれば静かな誤りになるので、ページはそこで止まります。下側の境界も求めれば出ますし、ばらつきが小さすぎることを棄却する適合度検定が使うのはそちらです。

4. 下側の境界は上側の符号を変えたものではない

   1. F統計量は分散の比なので、カイ二乗と同じく負にならず、曲線は左右非対称です
   2. 自由度10と20での上側5%の境界は2.3479です
   3. 下側5%の境界は下に0.05を残す値で、0.3605です
   4. この2つは負号の関係にはありません。同じ非対称な曲線上の2つの独立した点です

   この組が、非対称な分布でもページが裾を尋ねる理由です。Fは比なので、その下側の裾は異常に小さな比のもので、等分散の検定が見るのはまさにそれです。2つ目の群のほうがばらつきが大きいと分かったときです。かつて上側の裾だけを印字した1つの表からこれらを読むのに使われたのが、F(1−α, df₁, df₂) = 1 / F(α, df₂, df₁)という逆数の関係で、このページが代わりにやっている算術がまさにそれです。

このページは境界を返して、そこで止まります。何かと比べることはしません。比べる相手を持たないからです。検定統計量はこのページが決して見ないデータから来ます。この分離は意図的で、分布を推測せずに名指しさせる理由でもあります。境界は、何がそれと比べて測られるかを知って初めて意味を持ち、算術はzとtを見分けられません。2つ目にしないのは、自由度の妥当性を確かめることです。自由度1のtは12.7062という完全に正しい答えを返しますが、5人の研究ではその答えはほとんど役に立ちません。標準偏差の推定が1つの自由度に載っているので、境界が広いのです。入力の流れの中に、意図した負荷試験と間違いを区別するものは何もないので、どちらでも同じ数が返ります。最後に、4つの分布はすべて観測が独立であることを前提にし、Fについてはもとの母集団が正規であることを前提にします。間違った分布から正しく計算した臨界値も、越えるべき基準としては間違ったままです。

臨界値とp値の違いは何か

同じ事実を反対側から読んだものです。臨界値は選んだ有意水準から出発して境界を返し、p値は観測した統計量から出発してその先の裾の面積を返します。2つは逆の関係にあるので、統計量を境界と比べても、p値をαと比べても、判定は必ず一致します。ソフトがどちらでも報告できるのはそのためです。実務上の違いは、選択がいつ行われるかです。臨界値はデータを見る前に固定され、その水準で走るどの研究でも同じです。一方p値はその標本の性質で、前もって引用できません。このページが境界の側で、p値のページがもう片方です。

1.96と1.645のどちらを使うべきか

それは流儀ではなく裾についての問いです。1.9600は5%水準の両側の境界、1.6449は同じ水準の片側の境界です。前者は5%を両端で分け、後者はその全体を上に置きます。データを集める前に向きが指定されていなければ両側の値を使ってください。片側検定は、反対方向の差を見つける能力を手放すことで低い基準を買っているからです。上の表がその模様を直接示しています。どのαにも2つの読み方があり、αでの片側の列は2αでの両側の列です。

どの分布を選べばよいのか

標準偏差をどう手に入れたか、何を比べているかから決まります。標準偏差が推定値ではなく既知の定数ならzを使ってください。推定が安定していて問題にならない大標本の場合も含みます。標準偏差が平均と同じ標本から出たならtです。これがふつうの状況で、実務でtがずっとよく使われる理由です。度数と分散にはカイ二乗を使います。適合度、分割表の独立性、分散の信頼区間です。統計量が2つの分散の比であるとき、あるいは分散分析で複数の群の平均をまとめて比べるときはFです。このページはあなたの数からこれを推測できないので、選択は自動の手順ではなく欄になっています。

カイ二乗やFで両側の臨界値を求められないのはなぜか

これらの分布は左右非対称で、2つの裾が鏡像ではないからです。正規やtの曲線では下側の境界は上側のちょうど負なので、1つの数が両端を記述し、「両側」は明確に定義できる要求になります。カイ二乗とFは0から始まって右へ裾を引くので、上側と下側の境界は無関係な2つの値です。自由度3のカイ二乗では上側5%点が7.8147、下側5%点が0.3518です。どちらかを両側の答えとして報告すれば静かに間違った数になるので、このページはその組み合わせを拒否し、どちらの裾かを尋ねます。

自由度を変えると臨界値が変わるのはなぜか

自由度がt・カイ二乗・Fの分布の形を決め、境界はその形の上の位置だからです。小さな標本はtを広くします。95%両側で、自由度1なら境界は12.7062、10なら2.2281、50なら2.0086で、自由度が増えるにつれて1.9600に近づきます。この収束は偶然ではありません。tは正規を推定された広がりで割ったときに得られるもので、標本が大きくなれば推定が不確かさを足すのをやめます。同じ仕組みでカイ二乗とFの境界も自由度とともに動くので、どちらも正規のように表にできないのです。

臨界値は信頼区間と同じものか

違いますが、信頼区間はそれから組み立てられます。区間の幅は臨界値に標準誤差を掛けたもので、境界は2つの材料のうちの1つ、もう1つはデータの広がりです。この役割分担のおかげで、このページはデータを一切持たずに答えられます。境界は信頼水準と自由度だけで決まり、区間は標本も必要とします。同じ信頼水準の2つの研究が違う区間を持つ理由もこれで説明できます。臨界値は共有し、標準誤差で違うのです。掛け算の係数ではなく区間そのものが欲しいときは、平均と広がりを入力に取る信頼区間のページです。

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：zの境界がその逆関数である累積関数と、通常それを読み取る表 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e：述べられた信頼水準で曲線の中央がどう切り取られ、2つの裾の面積が何に足し合わされるか — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods：それ自身の分布を持つ量としての検定統計量。その分布上の境界が意味を持つのはこのおかげです — National Institute of Standards and Technology (NIST)