Che cos'è la sottrazione in colonna?

È sottrarre i numeri come si scrivono: incolonnare le cifre per posizione, lavorare dalla colonna delle unità verso sinistra e prendere in prestito dieci dalla colonna successiva ogni volta che la cifra in alto è troppo piccola. Dà la stessa risposta di una calcolatrice, con i passaggi intermedi conservati invece che buttati via.

Che cosa significa prendere in prestito?

Significa prendere uno dalla colonna a sinistra e spenderlo qui come dieci. 4 − 7 non si può, quindi si sposta una decina e la colonna legge 14 − 7 = 7. La colonna da cui è stata presa ora vale uno in meno, ed è per questo che ogni prestito tocca due colonne e non una.

Il prestito è la stessa cosa del raggruppamento?

Sì: raggruppamento, cambio e scambio sono la stessa mossa sotto nomi diversi, e quale parola si usi in classe è una questione di moda. Un prestito scambia sempre un'unità della posizione successiva a sinistra con dieci unità di questa, quindi non si crea e non si distrugge nulla.

Perché la catena dei prestiti finisce con uno zero?

Perché la colonna più alta non prende mai in prestito. Un prestito avviene solo quando una colonna non riesce a coprire la cifra sottostante, e la colonna più alta del numero maggiore è sempre più grande dell'intero numero minore, quindi la catena si ferma lì. Lo zero finale è quel fermarsi, e la catena ha una voce in più rispetto ai prestiti che si vedono davvero.

Come faccio a controllare la risposta?

Somma la differenza al sottraendo e guarda se ritrovi il minuendo. 1234 − 567 = 667, e 667 + 567 = 1234. Quel controllo è esatto e costa un'addizione in colonna, ed è per questo che sottrazione e addizione si insegnano come un unico procedimento con i segni cambiati.

Posso togliere un numero più grande da uno più piccolo?

Sì, e il risultato negativo arriva con un segno meno davanti. Il calcolo si svolge comunque come il più grande meno il più piccolo, perché un procedimento colonna per colonna ha bisogno che da qualche parte le cifre in alto siano quelle maggiori; cambia soltanto il segno della differenza. 3 − 5 si svolge come 5 − 3 = 2 e si riporta come −2.

Calcolatrice delle sottrazioni

Risultato

667

Differenza

Prestiti: 1, 1, 1, 0

La calcolatrice della sottrazione in colonna toglie un numero intero da un altro come si scrivono sul quaderno, una colonna alla volta, e stampa il prestito che a ogni passo si sposta verso sinistra. Mostra il procedimento: la differenza torna indietro con la cifra scritta a ogni posizione e con una catena di prestiti che ha una voce per colonna. L'esempio predefinito toglie 567 da 1234 e ottiene 667, chiedendo in prestito a ogni colonna che non riesce a coprire la cifra sottostante. Si accettano soltanto numeri interi, e i due possono anche essere al contrario: il procedimento gira comunque come il più grande meno il più piccolo.

1234 − 567 svolta una colonna alla volta

Colonna	Cifre	Prestito entrante	Grezzo	Cifra scritta	Prestito uscente
0	4 - 7	0	-3	7	1
1	3 - 6	1	-4	6	1
2	2 - 5	1	-4	6	1
3	1 - 0	1	0	0	0

Una riga per colonna, letta dalla colonna delle unità verso l'alto, che è la direzione in cui il lavoro procede davvero. La colonna Cifre mostra che cosa viene sottratto da che cosa, e siccome il calcolo gira sempre come il numero più grande meno il più piccolo, mostra le due cifre come finiscono per essere e non come sono state digitate: 3 − 5 qui compare come 5 − 3. Il Grezzo è la sottrazione della colonna prima che le venga prestato qualcosa da sinistra, quindi può essere negativo; il Prestito uscente vale 1 esattamente quando lo è, e la cifra scritta è quel valore grezzo portato a dieci. Il prestito entrante della prima riga è zero perché alla sua destra non c'è nulla, e il prestito uscente dell'ultima riga è zero perché alla sua sinistra non c'è nulla. I numeri di colonna sono interi e le stringhe di cifre sono notazione, quindi la tabella è identica nelle dieci lingue servite dal sito.

Formula

colonna k: grezzo = cifra_k(minuendo) − prestito entrante − cifra_k(sottraendo) prestito uscente = 1 se grezzo < 0, altrimenti 0 cifra scritta = grezzo + 10 × prestito uscente

minuendo: Il minuendo: il numero da cui si toglie, un intero non più grande di mille miliardi. Sta sulla riga di sopra del calcolo, e ogni colonna si legge contro le sue cifre, comprese le colonne in cui non ha più cifre: quelle valgono zero.
sottraendo: Il sottraendo: il numero che viene tolto, scritto sotto e incolonnato sulle unità. Può essere il più grande dei due, e in quel caso il calcolo si svolge al contrario e alla differenza viene messo davanti un segno meno.
colonna k: La k-esima posizione da destra, contando la colonna delle unità come zero. Una colonna si può sistemare solo dopo che è stata sistemata quella alla sua destra, perché il prestito viaggia verso sinistra: è per questo che la colonna delle unità decide di tutte quelle sopra di lei.
prestito: L'1 preso dalla colonna successiva a sinistra quando la cifra in alto è più piccola di quella in basso. Nella colonna che lo riceve vale dieci, quindi 4 − 7 diventa 14 − 7, e la colonna da cui è stato preso perde uno.
differenza: La risposta, e anche il termine con cui si misura la catena dei prestiti: la catena ha una voce per ogni colonna del numero più grande, quindi la sua ultima voce è sempre 0. Gli zeri iniziali non si scrivono mai, perciò 099 è la risposta 99.

Usa questa pagina per togliere un numero intero da un altro quando il procedimento va mostrato invece che soltanto risolto: per insegnare il prestito nel punto esatto in cui una colonna non riesce a coprire la cifra sottostante, o per controllare una differenza calcolata a mano. Il controllo che va a braccetto con la sottrazione è l'addizione: somma la differenza al sottraendo e deve ritornare il minuendo. E se ti serve il passaggio inverso, cioè sommare più numeri invece di togliere, la pagina dell'addizione in colonna fa lo stesso lavoro con i riporti al posto dei prestiti.

Esempi svolti

1234 − 567
1. Colonna delle unità: 4 − 7 non si può, quindi si prende in prestito 1 dalle decine e si legge 14 − 7 = 7
2. Colonna delle decine: il 3 ha già perso uno con quel prestito, quindi anche 2 − 6 non si può: si prende ancora in prestito e si legge 12 − 6 = 6
3. Colonna delle centinaia: anche il 2 ha perso uno, quindi 1 − 5 non si può: si prende in prestito e si legge 11 − 5 = 6
4. Colonna delle migliaia: l'1 ha perso uno e resta 0 − 0 = 0
5. Le cifre scritte, dalla colonna più alta in giù, sono 0, 6, 6, 7
6. La differenza è 667 e la catena dei prestiti è 1, 1, 1, 0
Il caso predefinito, e quello che mostra perché il calcolo si scrive: ogni colonna che prende in prestito lascia quella sopra di sé più piccola di uno, quindi il prestito arriva prima che le cifre di quella colonna vengano lette. L'ultima voce è 0 perché la colonna più alta non ha nulla sopra di sé da cui prendere: quello zero è la catena che si ferma, non un passaggio mancante.
1000 − 1, con il prestito che attraversa gli zeri
1. Colonna delle unità: 0 − 1 non si può, quindi si prende in prestito dalla colonna delle decine
2. La colonna delle decine contiene uno 0 e non può prestare, quindi prima prende in prestito dalle centinaia
3. Anche la colonna delle centinaia contiene uno 0, quindi prende in prestito dalle migliaia, il che trasforma 1000 in 990 con dieci nelle centinaia
4. Prestare uno di quei dieci alla colonna delle decine ne lascia 9 lì e dieci nella colonna delle unità
5. Colonna delle unità: 10 − 1 = 9. Colonna delle decine: 9 − 0 = 9. Colonna delle centinaia: 9 − 0 = 9
6. La differenza è 999 e la catena dei prestiti è 1, 1, 1, 0
La catena ha le stesse quattro voci dell'esempio predefinito, e questo è il punto: il prestito attraversa tutta la larghezza del numero e la risposta è il complemento a nove. Uno zero in mezzo non è un posto che può prestare — deve prima prendere in prestito da sinistra, e sul quaderno è quella catena di barrature che gli insegnanti scrivono sopra l'operazione.
3 − 5, dove la risposta diventa negativa
1. Il numero in alto è più piccolo di quello in basso, quindi la sottrazione si svolge al contrario: 5 − 3
2. Colonna delle unità: 5 − 3 = 2, senza nulla da prendere in prestito
3. Le cifre scritte sono soltanto 2
4. Siccome i due numeri sono stati scambiati di posto, la risposta porta un segno meno
5. La differenza è −2 e la catena dei prestiti è 0
Il calcolo è sempre il numero più grande meno il più piccolo, quindi la colonna delle cifre nella tabella qui sotto non mostra mai una riga negativa: il segno meno vive sulla risposta e da nessun'altra parte. È questo che rende leggibile la catena dei prestiti, perché ha una voce per ogni colonna del numero più grande, e non sarebbe una lunghezza fissa se le colonne potessero girare nell'altro verso.

Limiti

Si accettano soltanto numeri interi. Anche i decimali si sottraggono in colonna, ma solo dopo essere stati allineati sulla virgola e riempiti di zeri, e questo cambia il significato di una colonna: perciò i decimali vengono rifiutati invece di essere trattati in silenzio come numeri interi. Gli ingressi negativi sono rifiutati per lo stesso genere di motivo: un segno non è una cifra e avrebbe bisogno di una colonna e di una regola proprie. I numeri presi sono esattamente due; una catena di sottrazioni è più di queste operazioni una dopo l'altra. Ogni numero è limitato a mille miliardi, perché le cifre si leggono una posizione alla volta e oltre quel limite le cifre scritte smettono di corrispondere alla risposta. Quando il secondo numero è il più grande la risposta è negativa, ma le cifre mostrate nel calcolo sono quelle del più grande meno il più piccolo, quindi la tabella non si legge dai numeri come sono stati digitati.

Domande frequenti

Che cos'è la sottrazione in colonna?: È sottrarre i numeri come si scrivono: incolonnare le cifre per posizione, lavorare dalla colonna delle unità verso sinistra e prendere in prestito dieci dalla colonna successiva ogni volta che la cifra in alto è troppo piccola. Dà la stessa risposta di una calcolatrice, con i passaggi intermedi conservati invece che buttati via.
Che cosa significa prendere in prestito?: Significa prendere uno dalla colonna a sinistra e spenderlo qui come dieci. 4 − 7 non si può, quindi si sposta una decina e la colonna legge 14 − 7 = 7. La colonna da cui è stata presa ora vale uno in meno, ed è per questo che ogni prestito tocca due colonne e non una.
Il prestito è la stessa cosa del raggruppamento?: Sì: raggruppamento, cambio e scambio sono la stessa mossa sotto nomi diversi, e quale parola si usi in classe è una questione di moda. Un prestito scambia sempre un'unità della posizione successiva a sinistra con dieci unità di questa, quindi non si crea e non si distrugge nulla.
Perché la catena dei prestiti finisce con uno zero?: Perché la colonna più alta non prende mai in prestito. Un prestito avviene solo quando una colonna non riesce a coprire la cifra sottostante, e la colonna più alta del numero maggiore è sempre più grande dell'intero numero minore, quindi la catena si ferma lì. Lo zero finale è quel fermarsi, e la catena ha una voce in più rispetto ai prestiti che si vedono davvero.
Come faccio a controllare la risposta?: Somma la differenza al sottraendo e guarda se ritrovi il minuendo. 1234 − 567 = 667, e 667 + 567 = 1234. Quel controllo è esatto e costa un'addizione in colonna, ed è per questo che sottrazione e addizione si insegnano come un unico procedimento con i segni cambiati.
Posso togliere un numero più grande da uno più piccolo?: Sì, e il risultato negativo arriva con un segno meno davanti. Il calcolo si svolge comunque come il più grande meno il più piccolo, perché un procedimento colonna per colonna ha bisogno che da qualche parte le cifre in alto siano quelle maggiori; cambia soltanto il segno della differenza. 3 − 5 si svolge come 5 − 3 = 2 e si riporta come −2.

Riferimenti

Subtraction — the operation itself, and the fact that a difference can be checked by adding it back — Wolfram MathWorld (United States)
Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is why a borrow is worth exactly ten — Wolfram MathWorld (United States)
Subtraction with regrouping — the column-by-column procedure taught in schools, and the names it goes by — SplashLearn (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice delle addizioni in colonnaSomma numeri interi in colonna, con tutti i riporti.Calcolatrice delle moltiplicazioniMoltiplica numeri interi o decimali con tutti i passaggi.Calcolatrice binariaSomma, sottrae, moltiplica e divide numeri binari.