Calcolatrice del margine di errore

ME = z* × SE SE = s / √n SE = √(p(1 − p) / n)

ME

Il margine di errore — metà della larghezza dell'intervallo di confidenza, nelle unità della stima. È una semiampiezza e non una larghezza perché l'intervallo si scrive come stima ± ME, quindi lo stesso numero viene sottratto da un lato e aggiunto dall'altro. Le sue unità seguono la stima: punti percentuali per una proporzione, e qualunque unità in cui i dati erano misurati per una media

z*

Il valore critico, e in questa modalità è sempre il valore della t preso con n − 1 gradi di libertà, non il familiare 1,96. La differenza è piccola accanto alle dimensioni campionarie che i sondaggi hanno di solito, ma non è nulla ed è massima proprio dove il margine di errore è massimo: con n = 2 il valore della t è 12,7062, quindi un campione di due persone con deviazione standard 4 ottiene un margine di errore di 35,94

s

La deviazione standard campionaria, usata solo nella modalità media. In un sondaggio si conosce raramente in anticipo, ed è per questo che i sondaggi riportano proporzioni: per una domanda sì o no la variabilità discende dalla percentuale stessa e non c'è nulla da stimare a parte

p

La proporzione campionaria, usata solo nella modalità proporzione e scritta come frazione nella formula e come percentuale nel pannello. Il suo contributo alla larghezza è massimo al 50%: metà del campione d'accordo e metà in disaccordo è il massimo di incertezza che una domanda binaria possa avere, ed è per questo che il margine di errore citato per un sondaggio è di solito il caso peggiore con p = 0,5 e non la cifra di quel sondaggio

n

La dimensione del campione, che compare come √n. Quella radice quadrata è la ragione per cui raddoppiare il campione non dimezza il margine di errore — lo divide solo per 1,41, quindi dimezzare il margine richiede quattro volte il campione. È anche l'unico fattore che un ricercatore controlla, dato che p viene dai dati e il livello di confidenza è un'affermazione su quanto accurata debba essere la risposta

Usala quando hai già raccolto i dati e vuoi sapere quanta parte della cifra riportata è rumore, oppure quando stai leggendo un numero riportato da altri e vuoi vedere di che cosa è fatto. Le due cose più utili che mostra stanno entrambe nel pannello e non nel risultato principale: il valore critico, che rivela se è stata usata la t o la z e quindi se l'analista ha tenuto conto di stimare la dispersione, e l'errore standard, che rende visibile la legge della radice quadrata — quadruplica il campione e questo si dimezza. Per pianificare uno studio anziché interpretarlo, la pagina sulla dimensione del campione è lo strumento migliore, perché gira la domanda al contrario e chiede quante risposte servano per un margine che hai già deciso essere accettabile. Nel leggere un risultato di sondaggio, ricorda che il margine copre solo l'errore di campionamento. Non dice nulla su chi ha risposto, se la domanda era tendenziosa o se il campione è stato estratto in modo che chiunque nella popolazione potesse essere scelto. Quei problemi non si riducono al crescere di n, e un campione grande con un margine di errore piccolo è esattamente il modo in cui un sondaggio distorto arriva a sembrare autorevole.

1. Il caso predefinito: una media stimata da 100 osservazioni

   1. Errore standard: s / √n = 12 / 10 = 1,2
   2. Valore critico: il valore della t con 99 gradi di libertà, 1,9842 — non 1,9600
   3. Margine di errore: 1,9842 × 1,2 = 2,3811
   4. La stima in sé non è un input, quindi la risposta è una semiampiezza e non un intervallo

   La riga che vale la pena leggere è quella del valore critico, perché è dove un calcolo a mano di solito sbaglia: 100 osservazioni sono un campione grande, e prendere 1,96 invece di 1,9842 cambia la risposta dell'1,2%. Qui è poco e con n = 2 è enorme, dove la stessa sostituzione trasformerebbe 35,9 punti in 5,5 — una sottostima di sei volte dell'incertezza. La pagina stampa il valore critico proprio perché questo passo sia verificabile invece che nascosto dentro una moltiplicazione.

2. Una proporzione da 1000 risposte

   1. Proporzione come frazione: 50% = 0,5
   2. Errore standard in punti percentuali: √(0,5 × 0,5 / 1000) × 100 = 1,5811
   3. Valore critico: il valore normale 1,9600, perché la modalità proporzione usa la z
   4. Margine di errore: 1,96 × 1,5811 = 3,099 punti percentuali

   Questa è la forma della cifra che i giornali citano, e tre dettagli meritano di essere separati. Il valore critico qui è 1,9600 mentre l'esempio sulla media qui sopra usava 1,9842, perché la variabilità di una proporzione è interamente determinata da p e non ha bisogno di gradi di libertà. Il campo della deviazione standard resta sul pannello inutilizzato — in questa modalità la variabilità viene dalla percentuale, non da una stima separata. E p = 50% è il caso peggiore, quindi il numero si generalizza: qualsiasi domanda di quel sondaggio ha un margine di errore non più grande di questo.

3. Nove osservazioni mettono il margine di errore esattamente sul valore critico

   1. Errore standard: 3 / √9 = 1, esattamente
   2. Valore critico con 8 gradi di libertà: 2,306
   3. Margine di errore: 2,306 × 1 = 2,306
   4. Due delle tre righe stampano lo stesso numero, ed è una coincidenza di questa scelta di input, non una regola

   Vale la pena vedere la coincidenza una volta, per non scambiarla più avanti per una relazione: l'errore standard è uscito esattamente 1, il che rende la moltiplicazione un'operazione neutra e lascia il valore critico visibile come risposta. Nove osservazioni con deviazione standard 3 sono un piccolo campione naturale, e questo è lo stesso valore della t che la pagina dell'intervallo di confidenza produce con n = 9 — le due pagine condividono l'intero calcolo e differiscono solo nel fatto che lì è stata fornita anche una media campionaria per spostarlo.

4. Gli stessi dati letti al 99% invece che al 95%

   1. Errore standard invariato a 1,2 — nulla dei dati si è mosso
   2. Valore critico al 99% con 99 gradi di libertà: 2,6264
   3. Margine di errore: 2,6264 × 1,2 = 3,1517
   4. Confronto con il caso al 95%: 2,3811, quindi la confidenza in più costa il 32% di larghezza

   Solo una delle tre righe cambia, ed è il senso di stamparle tutte: il livello di confidenza tocca il valore critico e nient'altro, mentre la dimensione del campione tocca l'errore standard e nient'altro. Le due manopole sono indipendenti, e confonderle è un modo comune di fraintendere che cosa è stato cambiato. Lo scambio in sé merita di essere nominato — una confidenza del 99% non è più accurata, è più prudente. Compra un intervallo più largo che copre il vero più spesso e fissa la stima con meno precisione in ogni singola occasione.

Il margine di errore copre una sola fonte di errore: la variazione che deriva dall'aver estratto un campione anziché misurato l'intera popolazione. Non dice nulla sulla distorsione, e le due cose non sono intercambiabili — un campione di mille volontari raccolto su un sito web ha un margine di errore piccolo e può sbagliare di venti punti, perché chi ha scelto di rispondere non è un'estrazione casuale. Presuppone inoltre che le osservazioni siano indipendenti. Intervistare più persone dello stesso nucleo familiare, o misurare due volte lo stesso soggetto, riduce la dimensione campionaria effettiva molto al di sotto del numero di risposte, e la formula non ha modo di saperlo; il margine esce troppo stretto. Sia la formula della media sia quella della proporzione sono approssimazioni per campioni grandi: la versione per la proporzione in particolare è inaffidabile quando n·p o n·(1 − p) sono piccoli, che è ciò che accade con le categorie rare — un tasso di risposta del 2% in un campione di 100 non andrebbe riportato affatto con un più o meno simmetrico. E un margine di errore descrive una stima isolata. È lo strumento sbagliato per confrontare due gruppi, dove quello che conta è il margine di errore della differenza, che non è la somma dei due margini individuali a meno che i gruppi non siano indipendenti.

Che cosa significa davvero un margine di errore del 3%?

Significa che se lo stesso sondaggio fosse ripetuto molte volte, circa il 95% degli intervalli risultanti — la cifra riportata più o meno 3 punti — conterrebbe il valore vero della popolazione. Non significa che il valore vero sia dentro 3 punti con certezza, e non significa che il sondaggio sbagli al massimo di 3 punti. Ne discendono due conseguenze facili da mancare. Il valore vero o è dentro l'intervallo o è fuori, quindi il 95% descrive la procedura e non questo singolo risultato. E i margini si compongono quando si confrontano gruppi: se due candidati distano 4 punti in un sondaggio con 3 punti di margine ciascuno, la gara non è «dentro il margine» in nessun senso semplice — la differenza ha un margine di errore proprio, più grande di entrambi.

Perché il margine di errore è più piccolo quando il campione è più grande, ma non in proporzione?

Perché la dimensione del campione entra nella formula sotto una radice quadrata. Passare da 100 a 400 risposte dimezza il margine di errore, e passare da 400 a 1600 lo dimezza di nuovo — ogni dimezzamento costa quattro volte il campione. È il fatto più consequenziale di tutta la progettazione di un sondaggio, e spiega perché i sondaggi convergono su poche centinaia o un paio di migliaia di rispondenti: il primo migliaio compra la maggior parte della precisione disponibile, e il migliaio successivo ne compra la metà. È anche il motivo per cui un margine di errore non si migliora con un'analisi migliore. L'unica leva sono più dati, e agisce su una radice quadrata.

Un margine di errore più grande è peggio?

È più onesto, non peggio. Un intervallo più largo ha più probabilità di contenere il vero, quindi uno studio che riporta ±5 punti al 99% di confidenza fa un'affermazione più prudente di uno che riporta ±3 al 90% — i due non sono confrontabili finché non si dichiara il livello di confidenza. Quello che è davvero peggio è un margine non dichiarato, o citato senza il suo livello di confidenza, perché allora il lettore non può sapere quanto peso abbia il numero. L'altra cosa che un margine largo segnala è semplicemente che il campione era piccolo, che è un'informazione e non un difetto: dice che lo studio non può risolvere differenze fini, e uno studio che non può risolverle non va letto come se l'avesse fatto.

Perché la pagina rifiuta una proporzione dello 0% o del 100%?

Perché lì la formula collassa. L'errore standard di una proporzione è √(p(1 − p)/n), e con p = 0 o p = 1 il fattore p(1 − p) è zero, quindi il margine di errore esce esattamente zero. Stampare «60% ± 0 punti» è una dichiarazione di certezza che nessun campione può sostenere — dice che il valore della popolazione è 60%, mentre tutto ciò che i dati mostrano è che nessuno in questo campione è caduto fuori dalla categoria. Esistono modi corretti di trattare un conteggio nullo o pieno, e tutti comportano l'aggiunta di qualcosa ai conteggi anziché fidarsi della casella vuota; nessuno di essi è un semplice margine di errore, quindi la pagina si astiene invece di restituire un numero che verrebbe letto come certezza.

Il margine di errore tiene conto di un campione distorto?

No, ed è il limite più importante dell'intera idea. Il margine di errore misura la variabilità campionaria — la parte di errore che deriva dal guardare una parte della popolazione invece di tutta. La distorsione è un errore di natura diversa, prodotto dal modo in cui il campione è stato selezionato o le domande sono state poste, e non si riduce al crescere del campione. Un sondaggio online volontario su diecimila persone può avere un margine di errore di un punto percentuale ed essere comunque sbagliato di quindici, perché chi ha risposto non è un'estrazione casuale dalla popolazione. I campioni grandi rendono piccolo l'errore di campionamento; fanno sembrare più preciso quello di distorsione. Davanti a qualsiasi margine dichiarato, chiedi prima come è stato estratto il campione.

Qual è la differenza tra il margine di errore e l'errore standard?

L'errore standard è la dispersione grezza della stima, e il margine di errore è quella dispersione moltiplicata per un valore critico che dipende dal livello di confidenza. Quindi l'errore standard è una proprietà dei soli dati, e il margine di errore è un'affermazione su quanta confidenza vuoi riporci. Per un intervallo al 95% il moltiplicatore è circa due, ed è per questo che i due numeri stanno spesso entro un fattore due l'uno dall'altro e che vengono confusi. Entrambi sono stampati sul pannello proprio per questo: l'errore standard ti dice quanta informazione porta il campione, il margine di errore ti dice che cosa hai deciso di affermare con essa.

• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods (the standard deviation the standard error is built from, and the n − 1 denominator the degrees of freedom come from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the critical value that multiplies the standard error, and the tail areas a confidence level is split into) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the sampling distribution whose spread is the standard error, which is what the plus-or-minus sign is describing) — National Institute of Standards and Technology (NIST)