Calcolatrice intervallo di confidenza

media: x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n proporzione: p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

La media campionaria — il numero che hai misurato, nelle unità di misura dei dati. L'intervallo è costruito intorno a essa, quindi l'intero intervallo si sposta quando si sposta lei

s

La deviazione standard campionaria, la dispersione delle osservazioni intorno alla loro media. È s e non σ perché di un campione è tutto ciò che hai; dividerla per la radice quadrata della dimensione del campione è ciò che la trasforma nell'errore standard

n

Quante osservazioni contiene il campione, almeno 2. Entra nel calcolo due volte: dentro l'errore standard e di nuovo attraverso i gradi di libertà del quantile t, che sono n − 1

t(α/2, n − 1)

Il valore critico per una media: il punto di una distribuzione t con n − 1 gradi di libertà che lascia metà di α in ciascuna coda. È sempre un po' più grande del valore critico normale e molto più grande per campioni piccoli: è la distribuzione t che paga il fatto che s sia stata stimata anziché nota

p̂

La proporzione campionaria, inserita come percentuale. L'intero calcolo della proporzione resta in punti percentuali, quindi i limiti, il margine di errore e l'errore standard stanno tutti sulla stessa scala del numero che hai digitato

z(α/2)

Il valore critico per una proporzione: 1,9600 al 95% di confidenza, e lo stesso valore a qualsiasi dimensione del campione, perché una proporzione si giudica rispetto alla distribuzione normale e non alla t. Compare due volte nella riga della proporzione, una fuori dalla radice e una dentro attraverso p̂

Usala quando hai un campione e vuoi dire quanto è precisa la stima che ne ricavi — una media da poche misurazioni, oppure una quota da un sondaggio. È il modo onesto di riportare un singolo numero: una media di 50 su 100 osservazioni è un'affermazione diversa da una media di 50 su 5, e l'intervallo è quella differenza, perché la dimensione del campione sta al denominatore dell'errore standard. Due impostazioni decidono tutto il resto. Scegli il ramo della media quando la grandezza è una misura — una lunghezza, un tempo, un punteggio — e il ramo della proporzione quando è un conteggio su un totale, inserito come percentuale. Poi scegli il livello di confidenza: il 95% è la convenzione, e i tre livelli offerti coprono quasi ogni cifra pubblicata. Nota che cosa l'intervallo non fa: non dice dove sia il valore vero e non dice quale quota di osservazioni future cadrà al suo interno. È un'affermazione sulla procedura di stima, non sui dati.

1. Una media da un campione di 100 misurazioni

   1. Errore standard: 12 / √100 = 12 / 10 = 1,2
   2. Gradi di libertà: n − 1 = 99, che dà un valore critico di 1,9842 al 95% di confidenza
   3. Margine di errore: 1,9842 × 1,2 = 2,3811
   4. Limiti: 50 − 2,3811 = 47,6189 e 50 + 2,3811 = 52,3811

   Il valore critico è il numero che qui vale la pena notare: 1,9842 invece del familiare 1,96. Lo scarto è quello che la distribuzione t fa pagare per stimare la dispersione dalle stesse 100 osservazioni, e si riduce al crescere del campione — con n = 1000 è quasi svanito. Nota anche che il campo della proporzione contiene ancora 60 e non fa nulla: i due gruppi di input sono sempre entrambi sullo schermo, e la casella in alto decide quale dei due la formula usa.

2. Una proporzione da un sondaggio su 1000 persone

   1. La proporzione campionaria del 50% è 0,5 in forma decimale, e anche 1 − p̂ = 0,5
   2. Errore standard: √( 0,5 × 0,5 / 1000 ) = 0,015811, cioè 1,5811 punti percentuali
   3. Valore critico: 1,96 al 95% di confidenza, lo stesso a qualsiasi dimensione del campione
   4. Margine di errore: 1,96 × 1,5811 = 3,099 punti percentuali, che dà i limiti 46,901% e 53,099%

   Ogni numero di questo esempio è in punti percentuali, non in proporzioni: l'errore standard è 1,58 punti e non 0,0158. È la convenzione di scala che la pagina usa per una proporzione, ed è il motivo per cui qui l'errore standard sembra grande accanto a quello del primo esempio — sta misurando un'altra cosa, una quota anziché una misura. Lo stesso calcolo è all'origine della nota affermazione che un sondaggio su circa mille persone porta un margine di errore di circa tre punti.

3. Le stesse 100 osservazioni riportate al 99% di confidenza

   1. L'errore standard è invariato a 12 / √100 = 1,2, perché nulla del campione è cambiato
   2. Si sposta solo il valore critico: 2,6264 invece di 1,9842
   3. Margine di errore: 2,6264 × 1,2 = 3,1517
   4. Limiti: 50 ± 3,1517, quindi da 46,8483 a 53,1517

   Confrontare questo esempio con il primo isola esattamente che cosa compra il livello di confidenza: gli stessi dati, lo stesso errore standard e un intervallo più largo del 32%. Alzare il livello non ha fatto imparare nulla — l'informazione contenuta nel campione non è cambiata, è cambiata solo l'affermazione che se ne fa. È per questo che il 95% è la convenzione, e perché citare un intervallo al 99% senza dirlo è fuorviante e non semplicemente prudente.

Entrambi i rami presumono che le osservazioni siano indipendenti l'una dall'altra. Un campione di 500 letture dallo stesso strumento, o di 500 studenti presi da 20 classi, porta meno informazione di quanto l'aritmetica creda, e l'intervallo esce più stretto di quanto dovrebbe. Entrambi presumono inoltre che la stima sia all'incirca simmetrica intorno al valore vero: il ramo della media si appoggia al fatto che il campione sia approssimativamente normale, o che n sia abbastanza grande perché la distribuzione t sia indulgente, e il ramo della proporzione è il più fragile dei due — vicino allo 0% o al 100% la formula è semplicemente quella sbagliata, ed è per questo che la pagina rifiuta quei due valori invece di restituire un intervallo strettissimo e sicuro di sé intorno a una proporzione che non si può stimare così. Le popolazioni finite non vengono corrette qui. Se il campione è una quota ampia di una popolazione piccola, la pagina sulla dimensione del campione applica la correzione e chiederà meno persone di quante ne implichi questa.

Che cosa significa davvero un intervallo di confidenza?

È un intervallo costruito da una procedura che cattura il valore vero nel 95% dei campioni, con l'impostazione al 95% — non una probabilità del 95% che questo particolare intervallo lo contenga. La distinzione conta perché il valore vero è fisso e ignoto: o è dentro i limiti che hai appena calcolato, o è fuori, e a questo non si attacca alcuna probabilità. Quello che il numero descrive è l'affidabilità del metodo. In pratica la lettura che si usa è che i valori vicini al centro dell'intervallo sono più plausibili dei valori vicini agli estremi, e che un valore fuori dall'intervallo è in una certa tensione con i dati — ed è il ponte verso i test di ipotesi della pagina sul valore p.

Perché una media usa la t e una proporzione usa la z?

Perché con una media stai stimando anche la dispersione oltre al centro, mentre con una proporzione no. L'errore standard di una media è s / √n, e s è a sua volta calcolata dallo stesso campione, quindi l'intervallo deve tenere conto di quell'incertezza in più — è esattamente ciò che fa la distribuzione t, ed è il motivo per cui il suo valore critico è 1,9842 con n = 100 anziché 1,96. Una proporzione non ha una seconda stima del genere: la dispersione della stima discende dalla proporzione stessa, attraverso p̂(1 − p̂), quindi la distribuzione normale si applica a qualsiasi dimensione del campione. Entrambi i gruppi di input sono sempre visibili sullo schermo; la casella in alto decide quale dei due il calcolo legge.

Qual è la differenza tra margine di errore ed errore standard?

L'errore standard è una unità di incertezza e il margine di errore è di quante unità si allunga l'intervallo. Il margine di errore è l'errore standard moltiplicato per il valore critico, quindi al 95% di confidenza con un campione grande è circa il doppio dell'errore standard (1,96 volte) e al 99% è circa due volte e mezzo (2,5758). Entrambe le righe sono stampate perché si veda la struttura in due passi: se vuoi un intervallo più stretto, la riga da attaccare è quella dell'errore standard, perché è l'unica che risponde alla raccolta di più dati. Il valore critico si muove solo quando cambi il livello di confidenza.

L'intervallo può scendere sotto lo 0% o salire sopra il 100%?

Sì, e la pagina lo stamperà invece di ritagliarlo in silenzio. Al 50% con un campione di 2 i limiti sono −19,3% e 119,3%, e non è un difetto: con due osservazioni non c'è davvero quasi nessuna informazione su una proporzione, e un intervallo che lo dice è più onesto di uno forzato dentro l'intervallo di valori che una proporzione può assumere. Leggilo come «questo campione non può stimare nulla di utile qui» e raccogli più dati. Quello che la pagina rifiuta davvero è una proporzione inserita esattamente come 0% o 100%, perché in quei due punti la formula divide per una dispersione di ampiezza nulla e restituirebbe un intervallo di ampiezza nulla — una dichiarazione di certezza che il metodo non può sostenere.

Dov'è la tabella dei valori critici?

Su questa pagina non c'è, ed è una scelta deliberata. Tutto ciò per cui qui si userebbe una tabella di valori critici è già fatto: scegli un livello e l'unico valore che quel livello implica è stampato in una riga sua. Una tabella dovrebbe inoltre scegliere un livello di confidenza a cui essere costruita, quindi chi passasse al 99% si troverebbe davanti una tabella in contraddizione con il pannello sopra — il modo di sbagliare in cui una pagina contraddice se stessa. La distribuzione t ha un problema ulteriore, dato che il suo valore critico dipende anche dai gradi di libertà oltre che dal livello, il che significherebbe una griglia intera anziché una tabella. Lo strumento dedicato ai valori critici, che prende in ingresso il livello e i gradi di libertà, è il posto giusto per quella consultazione.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the source of the critical values this page multiplies the standard error by, and of the tail areas they leave behind) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the standard deviation the standard error is built from, and why a spread estimated from a sample is itself an estimate with a distribution) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (relative frequency as an estimate of a probability, which is the step that lets a sample proportion stand in for the population proportion) — OpenStax (Rice University)