Calcolatrice del valore critico

Φ(z) = 1 − α/2 T(t, df) = 1 − α/2 P(χ² > x, df) = α P(F > f, df₁, df₂) = α

α

Il livello di significatività — l'area di coda a cui si traccia il confine, e la stessa grandezza che il menu qui sopra chiama livello di confidenza. I due vocabolari distano una sottrazione: un livello di confidenza del 95% è α = 0,05, un livello del 99% è α = 0,01. Distinguerli conta, perché la pagina deve sapere se quel 5% sta in una coda sola o è diviso tra due, e solo la lettura in termini di α lo rende visibile

Φ⁻¹

L'inversa della funzione di ripartizione normale standard — la stessa curva da cui si legge la tabella z, percorsa al contrario. La tabella dà un'area per un dato z; un valore critico è lo z per una data area, ed è esattamente per questo che la risposta deve venire da un'approssimazione anziché da aritmetica

df

I gradi di libertà — il parametro di forma delle distribuzioni t e chi quadrato. È ciò che fa sì che lo stesso livello di confidenza dia risposte diverse su pagine diverse: al 95% a due code il confine è 12,7062 con un grado di libertà, 2,2281 con dieci, e 1,9600 quando il campione è abbastanza grande perché t e normale siano indistinguibili

df₁, df₂

I due gradi di libertà della distribuzione F — il numeratore e il denominatore. Un test F confronta due varianze oppure le medie di più gruppi contemporaneamente, quindi servono entrambi, e il secondo campo della pagina viene letto solo in questa modalità. Inserirli nell'ordine sbagliato è uno sbaglio frequente e dà una risposta diversa

code

Da quale lato della distribuzione sta il confine. Due code divide α a metà e mette α/2 a ciascun estremo, quindi lo z a due code al 95% è 1,9600 mentre lo z a una coda al 95% è 1,6449 — stessa confidenza, asticella più bassa, perché ora tutto il 5% sta da un lato solo. Per chi quadrato e F non esiste affatto una lettura a due code: quelle distribuzioni sono asimmetriche, quindi il confine inferiore è un numero del tutto separato e non l'opposto di quello superiore

Usala quando hai un livello di confidenza o di significatività e ti serve il numero con cui confrontare una statistica test — per finire un calcolo a mano, per controllare che cosa ha usato un software, o per vedere quanto si sposta l'asticella al variare della dimensione del campione. È anche la pagina che scioglie la confusione più comune in questo campo: 1,96 e 1,645 non sono due convenzioni per lo stesso test, sono i confini a due code e a una coda al livello del 5%, e quale dei due si applichi lo decide il fatto che l'ipotesi nominasse o meno una direzione prima di vedere i dati. Letta al contrario, la pagina risponde anche alla domanda inversa — una statistica riportata di 2,3 accanto a un confine di 2,2281 è significativa al 5% a due code, mentre accanto a 2,5706 con cinque gradi di libertà non lo è. Quello che la pagina non decide è quale distribuzione avresti dovuto usare. È una domanda sullo studio: uno z vale quando la deviazione standard è una costante nota, una t quando è stata stimata dagli stessi dati, chi quadrato per conteggi e varianze, F per rapporti di varianze. Il menu è una scelta dell'utente, e le domande frequenti qui sotto spiegano i punti di quella scelta che si sbagliano più facilmente.

1. Il caso predefinito: il confine z a due code al 95%

   1. Un livello di confidenza del 95% è α = 0,05
   2. Due code significa 0,025 per lato, quindi il confine superiore è dove la curva normale standard lascia 0,975 sotto di sé
   3. Φ⁻¹(0,975) = 1,9600
   4. Il confine inferiore è la sua immagine speculare a −1,9600, ed è per questo che un test a due code confronta |z| con questo unico numero

   Questo è il numero più citato della statistica ed è il punto giusto da cui partire, perché si può verificare a memoria prima di fidarsi di qualsiasi altra cosa sulla pagina. Nota che cosa fa la lettura a due code al problema: chiede lo z che lascia sopra di sé metà del 5% e non tutto, e quel dimezzamento è l'intera differenza tra 1,9600 e 1,6449. Entrambi i campi dei gradi di libertà sono sullo schermo e inutilizzati in questa modalità — un test z non ha gradi di libertà, e la pagina lo dice non leggendoli invece di disattivarli.

2. Lo stesso 95%, ma la deviazione standard veniva dal campione

   1. Stesso livello di confidenza e stesso numero di code, quindi stesso α/2 = 0,025
   2. La distribuzione passa dalla normale alla t con 10 gradi di libertà, che ha code più pesanti
   3. T⁻¹(0,975, 10) = 2,2281
   4. Lo stesso confine con 5 gradi di libertà sarebbe 2,5706, e con 50 è 2,0086 — scende verso 1,9600 al crescere del campione

   Lo scarto tra 1,9600 e 2,2281 è il prezzo di non conoscere la deviazione standard della popolazione, ed è la ragione per cui le due distribuzioni vengono tenute distinte invece di essere considerate intercambiabili. Non è una correzione da poco: una statistica di 2,1 supera l'asticella z e fallisce quella t con dieci gradi di libertà. I tre valori t citati qui — 2,5706, 2,2281, 2,0086 — sono lo stesso calcolo a tre gradi di libertà diversi, e leggerli in sequenza è il modo più chiaro per vedere che la t non è una regola diversa ma la stessa regola con una penalità che svanisce.

3. Un confine chi quadrato non ha una versione a due code

   1. Il chi quadrato è una somma di quadrati, quindi non è mai negativo e la sua curva è sbilanciata verso destra
   2. Un test chiede se lo scostamento osservato è troppo grande, quindi il confine è quello superiore: dove la curva lascia 0,95 sotto di sé
   3. P(χ² > x, df = 3) = 0,05 dà x = 7,8147
   4. Scegliere due code qui viene rifiutato anziché approssimato

   Chiedere un chi quadrato a due code è l'unico input che la pagina rifiuta, e il rifiuto è la parte istruttiva: su una distribuzione simmetrica i due confini sono l'uno l'opposto dell'altro, quindi un solo numero serve entrambi gli estremi. Su una asimmetrica sono valori senza relazione, e il punto del 5% superiore di un chi quadrato con 3 gradi di libertà è 7,8147 mentre il punto del 5% inferiore è 0,3518. Stampare l'uno o l'altro come «il valore critico a due code» sarebbe un errore silenzioso, quindi la pagina si ferma. Il confine inferiore è disponibile a richiesta ed è quello usato dai test di bontà di adattamento che rifiutano per una variabilità troppo piccola.

4. Il confine inferiore non è l'opposto di quello superiore

   1. La statistica F è un rapporto di varianze, quindi come il chi quadrato non può essere negativa e la sua curva è asimmetrica
   2. Il confine del 5% superiore con 10 e 20 gradi di libertà è 2,3479
   3. Il confine del 5% inferiore è il valore che lascia 0,05 sotto di sé: 0,3605
   4. I due non stanno in una relazione di segno meno — sono due punti indipendenti sulla stessa curva asimmetrica

   Questa coppia è la ragione per cui la pagina chiede una coda anche sulle distribuzioni asimmetriche. Poiché F è un rapporto, la sua coda inferiore appartiene ai rapporti insolitamente piccoli — che è ciò che guarda un test di uguaglianza delle varianze quando il secondo gruppo si rivela il più variabile. L'identità reciproca F(1−α, df₁, df₂) = 1 / F(α, df₂, df₁) è il modo in cui questi valori si leggevano una volta da un'unica tabella stampata solo per la coda superiore, ed è esattamente l'aritmetica che la pagina fa per te.

La pagina restituisce un confine e si ferma lì. Non confronta nulla con esso, perché non ha nulla da confrontare — la statistica test viene da dati che la pagina non vede mai. Questa separazione è deliberata ed è anche la ragione per cui la pagina ti chiede di nominare una distribuzione invece di dedurla: un confine ha senso solo quando sai quale grandezza viene misurata contro di esso, e l'aritmetica non sa distinguere uno z da una t. La seconda cosa che non fa è dare un controllo di buon senso ai gradi di libertà. Una t con un grado di libertà dà una risposta perfettamente corretta di 12,7062, e su uno studio di cinque persone quella risposta è anche quasi inutile — il confine è largo perché la stima della deviazione standard poggia su un solo grado di libertà. Nulla nel flusso di input distingue una prova di stress voluta da uno sbaglio, quindi il numero viene restituito in entrambi i casi. Infine, tutte e quattro le distribuzioni presuppongono osservazioni indipendenti e, per la F, che le popolazioni sottostanti siano normali; un valore critico calcolato correttamente dalla distribuzione sbagliata resta comunque l'asticella sbagliata da superare.

Qual è la differenza tra un valore critico e un valore p?

Sono lo stesso fatto letto da due estremi opposti. Un valore critico parte dal livello di significatività che hai scelto e restituisce il confine; un valore p parte dalla statistica che hai osservato e restituisce l'area di coda oltre di essa. Poiché i due sono inversi, confrontare una statistica con un confine e confrontare un valore p con α danno sempre lo stesso verdetto — ed è per questo che un software può riportare l'uno o l'altro. La differenza pratica è quando si fa la scelta: un valore critico si fissa prima di vedere i dati ed è lo stesso per ogni studio condotto a quel livello, mentre un valore p è una proprietà del particolare campione e non si può citare in anticipo. Questa pagina è la metà del confine; la pagina sul valore p è l'altra.

Devo usare 1,96 o 1,645?

È una domanda sulle code, non sulle convenzioni. 1,9600 è il confine a due code al livello del 5% e 1,6449 è il confine a una coda allo stesso livello — il primo divide il 5% tra i due estremi, il secondo lo mette tutto sopra. Usa il valore a due code a meno che una direzione sia stata specificata prima di raccogliere i dati, perché un test a una coda compra un'asticella più bassa rinunciando alla capacità di rilevare una differenza nella direzione opposta. La tabella qui sopra mostra l'andamento direttamente: ogni α ha entrambe le letture, e la colonna a una coda per un dato α è la colonna a due code per 2α.

Quale distribuzione devo scegliere?

Discende da come è stata ottenuta la deviazione standard e da che cosa si confronta. Usa z quando la deviazione standard è una costante nota e non qualcosa di stimato — compresi i casi di campione grande in cui la stima è abbastanza stabile da non contare. Usa t quando la deviazione standard viene dallo stesso campione della media, che è la situazione abituale ed è il motivo per cui la t è di gran lunga più comune in pratica. Usa chi quadrato per conteggi e varianze: bontà di adattamento, indipendenza in una tabella di contingenza, un intervallo di confidenza per una varianza. Usa F quando la statistica è un rapporto tra due varianze, oppure quando si confrontano le medie di più gruppi insieme in un'analisi della varianza. La pagina non può dedurlo dai tuoi numeri, ed è per questo che la scelta è un campo e non un passo automatico.

Perché non posso chiedere un valore critico chi quadrato o F a due code?

Perché quelle distribuzioni sono asimmetriche e le due code non sono immagini speculari. Su una curva normale o t il confine inferiore è esattamente l'opposto di quello superiore, quindi un solo numero descrive entrambi gli estremi e «a due code» è una richiesta ben definita. Chi quadrato e F partono da zero e si allungano verso destra, quindi i confini superiore e inferiore sono due valori senza relazione — per un chi quadrato con 3 gradi di libertà il punto del 5% superiore è 7,8147 e quello del 5% inferiore è 0,3518. Riportare l'uno o l'altro come risposta a due code sarebbe un numero silenziosamente sbagliato, quindi la pagina rifiuta la combinazione e chiede quale coda intendevi.

Perché il valore critico cambia quando cambio i gradi di libertà?

Perché i gradi di libertà fissano la forma delle distribuzioni t, chi quadrato e F, e un confine è una posizione su quella forma. I campioni piccoli danno una t più larga: al 95% a due code il confine è 12,7062 con un grado di libertà, 2,2281 con dieci e 2,0086 con cinquanta, avvicinandosi a 1,9600 al crescere dei gradi di libertà. Quella convergenza non è una coincidenza — la t è ciò che si ottiene dividendo una normale per una dispersione stimata, e la stima smette di aggiungere incertezza quando il campione è grande. Lo stesso meccanismo fa muovere i confini di chi quadrato e F con i loro gradi di libertà, ed è per questo che nessuno dei due si può tabulare come si fa con la normale.

Il valore critico è la stessa cosa dell'intervallo di confidenza?

No, anche se l'intervallo di confidenza è costruito a partire da esso. La larghezza di un intervallo è il valore critico moltiplicato per un errore standard, quindi il confine è uno dei due ingredienti e la dispersione dei dati è l'altro. Questa divisione dei compiti è il motivo per cui questa pagina può rispondere senza alcun dato: il confine dipende solo dal livello di confidenza e dai gradi di libertà, mentre l'intervallo ha bisogno anche del campione. Spiega anche perché due studi con lo stesso livello di confidenza hanno intervalli diversi — condividono il valore critico e differiscono nell'errore standard. Se vuoi l'intervallo stesso invece del moltiplicatore, la pagina dell'intervallo di confidenza è quella che ha come input la media e la dispersione.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function whose inverse the z boundary is, and the table it is normally read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (how the middle of the curve is cut off at a stated confidence level, and what the two tail areas add up to) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with its own distribution, which is what makes a boundary on that distribution mean anything) — National Institute of Standards and Technology (NIST)