Calcolatrice del chi quadrato

χ² = Σ ( O − E )² / E df = k − 1 p = P( χ² ≥ χ²₀ )

O

La frequenza osservata in ogni categoria — un conteggio, non una misura, quindi i numeri sono interi e la loro somma è la dimensione del campione. Un conteggio pari a zero è ammesso: significa che la categoria non si è mai presentata, ed è un risultato, non un errore

E

La frequenza attesa in ogni categoria, cioè ciò che predice l'ipotesi nulla e non ciò che speri di vedere. Lasciata vuota diventa il totale diviso il numero di categorie, e il test si riduce a chiedersi se le categorie sono ugualmente probabili

k

Il numero di categorie, letto dalla lunghezza della lista che hai digitato. Fissa i gradi di libertà ed è anche il valore su cui si mediano le frequenze attese quando vengono lasciate vuote, quindi una sola lista di conteggi determina entrambe le cose

df

I gradi di libertà, che sono k − 1 e non k. La sottrazione è la parte che si dimentica: una volta fissati il totale e tutti i conteggi tranne uno, l'ultimo conteggio è determinato, quindi le categorie portano un'informazione in meno di quante sono

χ²₀

La statistica calcolata da questa pagina, inserita nella propria distribuzione nulla per ottenere l'area di coda. È la stessa operazione che si fa leggendo un valore su una curva normale, con la curva del chi quadrato al posto di quella normale — ed è il motivo per cui il valore p ha bisogno anche dei gradi di libertà, oltre che della statistica

Usala quando i dati sono un insieme di conteggi che cadono in categorie e la domanda è se i conteggi sono compatibili con una certa previsione. I conteggi sono ciò che distingue questo test da quelli sulla media e sulla proporzione: le osservazioni non sono misurate su una scala, e conta quanti elementi sono finiti in ciascun gruppo e non quanto è grande ciascuno. La previsione può essere una ripartizione uniforme oppure un insieme di frequenze attese costruite su dati precedenti — un tasso nazionale applicato a una popolazione locale, un rapporto mendeliano, l'output di un modello. Il test vale quanto valgono quelle attese: confronta ciò che hai contato con ciò che hai dichiarato, e non si accorge se la dichiarazione stessa era sbagliata. Due condizioni meritano un controllo prima di fidarsi del valore p, e la pagina stampa la prima per te, dato che la più piccola frequenza attesa è proprio il numero su cui verte la solita regola empirica.

1. Quattro categorie contate in modo disomogeneo, con le frequenze attese lasciate vuote

   1. Il totale è 100, e con l'attesa vuota ciascuna delle 4 categorie dovrebbe contenerne 100 / 4 = 25
   2. Scarti al quadrato da 25: (30 − 25)² = 25, (10 − 25)² = 225, (20 − 25)² = 25, (40 − 25)² = 225
   3. Dividi ciascuno per il suo atteso 25 e somma: 1 + 9 + 1 + 9 = 20
   4. Gradi di libertà: k − 1 = 3, e la coda superiore oltre 20 è 0,017%

   Questo è il caso predefinito della pagina, scelto per essere visibilmente disomogeneo: 40 e 10 contro un'attesa di 25 ciascuno. Il valore p esce a 0,017%, quindi i conteggi sono lontani da ciò che produrrebbe una ripartizione uniforme, e la più piccola frequenza attesa, 25, è comodamente sopra qualsiasi soglia in uso — perciò l'approssimazione dietro il valore p qui poggia su terreno solido. Nota che le frequenze attese non è stato necessario digitarle. Lasciare il campo vuoto è il modo di esprimere una ripartizione uniforme, ed è la ragione per cui il campo è facoltativo.

2. Tre categorie contro frequenze attese prese da un'indagine precedente

   1. Entrambe le liste totalizzano 100, quindi l'attesa è coerente con i conteggi e il test può procedere
   2. Scarti al quadrato: (50 − 60)² = 100, (30 − 30)² = 0, (20 − 10)² = 100
   3. Dividi per ciascuna attesa e somma: 100/60 + 0/30 + 100/10 = 1,6667 + 0 + 10 = 11,6667
   4. Gradi di libertà: 3 − 1 = 2, e la coda superiore oltre 11,6667 è 0,2928%

   Le due liste devono descrivere lo stesso numero di osservazioni, e qui entrambe arrivano a 100 — è questo che rende la seconda lista un'ipotesi sulla prima e non un esperimento diverso. Leggere i termini uno alla volta è istruttivo: la categoria centrale corrispondeva esattamente alla sua attesa e non ha contribuito a nulla, mentre la terza ha contribuito con dieci degli undici punti e mezzo della statistica pur essendo la categoria più piccola, perché ha mancato la sua attesa del 100%. La più piccola attesa, 10, resta sopra il livello solitamente richiesto.

3. Una moneta lanciata 20 volte, confrontata con una ripartizione uniforme

   1. Conteggi attesi: 20 lanci divisi in parti uguali tra due esiti danno 10 e 10
   2. Scarti al quadrato: (12 − 10)² = 4 e (8 − 10)² = 4
   3. Dividi e somma: 4/10 + 4/10 = 0,8
   4. Gradi di libertà: 2 − 1 = 1, e la coda superiore oltre 0,8 è 37,1093%

   Dodici teste su venti sembrano una moneta truccata finché non si legge la probabilità di coda: il 37% delle monete eque produce una ripartizione almeno così sbilanciata, quindi il risultato non ha nulla di notevole. È la stessa aritmetica del primo esempio fatta sulla più piccola tabella utile, e mostra perché la statistica non si legge mai da sola — 0,8 e 20 non sono numeri confrontabili, e solo il valore p li mette sulla stessa scala. Il caso a due categorie ha anche una scorciatoia che vale la pena conoscere: la statistica chi quadrato è uguale al quadrato della z che userebbe un test per due proporzioni.

Il valore p poggia su un'approssimazione che richiede frequenze attese ragionevolmente grandi, e la più piccola frequenza attesa stampata è il numero con cui controllarlo — i manuali non concordano su dove passi la linea, e sono in uso sia la regola di almeno 5 in ogni categoria sia quella di almeno 1 in ogni categoria più 5 nella maggior parte. Quando le attese sono troppo piccole l'approssimazione fallisce in silenzio, restituendo un valore p dall'aspetto normale. Si presume inoltre che i conteggi siano indipendenti, cosa che non vale per misure appaiate o ripetute né per campionamenti a grappolo, e ciascuna di queste situazioni rende la statistica troppo grande. Le attese stesse vengono prese come date, quindi un test contro una previsione sbagliata risponde a una domanda diversa da quella che si intendeva porre. Infine, un valore p piccolo dice che i conteggi sono incoerenti con l'attesa, non perché: non dice quale categoria ne sia responsabile, e con più categorie vale la pena esaminare separatamente le differenze che alimentano la statistica.

Che cosa mi dice davvero il test chi quadrato?

Se i conteggi che hai osservato sono compatibili con le frequenze che ti aspettavi, dato il numero di osservazioni. La statistica cresce con il totale degli scarti al quadrato tra osservato e atteso, riscalati per quanto era grande ciascuna attesa, quindi lo stesso scarto proporzionale pesa di più quando le attese sono piccole. Il valore p dice poi quanto spesso un mondo equo produrrebbe uno scarto almeno altrettanto grande. È un test sull'intera tabella e non su una singola categoria, e le due cose si confondono facilmente quando una categoria è palesemente quella fuori posto.

Che cosa succede se lascio vuote le frequenze attese?

La pagina presume che ogni categoria sia ugualmente probabile e calcola la frequenza attesa come il totale diviso il numero di categorie. È l'uso più comune del test — un dado, una ruota, quattro pulsanti che dovrebbero ricevere lo stesso traffico — e risparmia di digitare una lista i cui valori sono comunque tutti uguali. È anche l'unica lettura disponibile quando non esistono dati precedenti da cui predire la ripartizione. Digita le frequenze attese ogni volta che hai una previsione reale da verificare, come la distribuzione dell'anno scorso o un rapporto teorico, perché un test contro una ripartizione uniforme e un test contro un modello specifico rispondono a domande diverse, e solo il secondo usa l'informazione che già possiedi.

Perché le due liste devono totalizzare lo stesso numero?

Perché in un test di bontà di adattamento le frequenze attese derivano dal numero totale di osservazioni e non si scelgono liberamente: descrivono come quelle stesse osservazioni si sarebbero distribuite se l'ipotesi fosse vera. Due liste con totali diversi descrivono due esperimenti diversi, e la statistica calcolata su di esse non è il test di nulla. Quando ogni frequenza attesa è scritta come numero intero, ciascuna può essere fuori di mezza unità senza cambiarne l'intento, quindi la pagina ammette una tolleranza di 0,5 per categoria: 20,5, 20,5 e 20,5 contro un totale di 60 viene accettato, perché sono valori arrotondati di una ripartizione uniforme esatta di 20 ciascuno.

Una categoria può avere conteggio zero?

Sì per un conteggio osservato, no per uno atteso, e l'asimmetria discende direttamente dalla formula. Uno zero osservato è un risultato ordinario — una categoria che non si è mai presentata — e lo scarto al quadrato viene semplicemente grande, che è ciò che deve succedere. Uno zero atteso non è utilizzabile perché è il divisore, e il termine sarebbe infinito: la previsione che una categoria non possa mai verificarsi non è una previsione che questo test possa pesare contro un conteggio. Se un'attesa reale è molto piccola anziché nulla, il test l'accetta, e la più piccola frequenza attesa stampata sotto il risultato è il punto dove vedere se questo è un problema.

Dov'è la tabella dei valori critici del chi quadrato?

Non in questa pagina, per la stessa ragione della pagina sul valore p: l'unico valore che conta è già stampato, dato che la statistica e i suoi gradi di libertà determinano direttamente l'area di coda. Una tabella andrebbe inoltre costruita a un solo livello di significatività, quindi chi lavora all'1% si troverebbe davanti una tabella in contraddizione con il pannello. Lo strumento dedicato ai valori critici è il posto giusto per la consultazione, e c'è un'ulteriore ragione per cui questa pagina non può mostrare una tabella nemmeno in linea di principio: i suoi gradi di libertà sono k − 1, dove k è il numero di categorie digitate dal lettore, quindi la riga di tabella che si applica non è nota finché non lo sono i conteggi.

• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with its own distribution under the null hypothesis, which is what makes the tail area computable) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (relative frequency as an estimate of a probability, which is the step that turns a category's probability into an expected count of observations) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the same reading of a tail area off a cumulative curve that this page performs with the chi-square curve instead) — National Institute of Standards and Technology (NIST)