Kalkulator Pemuaian Termal

ΔL = α · L · ΔT dan, untuk zat padat isotropik, ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

Koefisien muai panjang, dalam bagian per sejuta per derajat — sebuah tetapan bahan yang diukur dengan mengamati sebuah batang memanjang pada perubahan suhu yang diketahui. Angkanya kecil dan lebih enak diucapkan daripada dibayangkan: 23,1×10⁻⁶ milik aluminium berarti satu meter aluminium bertambah 23,1 mikrometer per kelvin, dan itulah sebabnya tidak ada apa pun di kehidupan sehari-hari yang tampak sedang memuai. Koefisien antarbahan biasa terentang lebih dari tiga puluh kali, dari sekitar 1,5×10⁻⁶ untuk Invar — paduan yang sengaja direkayasa agar kebal terhadap gejala ini, dan dipakai untuk batang pendulum serta instrumen presisi yang membutuhkannya — sampai 55×10⁻⁶ dan lebih untuk PVC serta plastik lain. Memilih baris yang benar karena itu merupakan sebagian besar pekerjaannya; aritmetika sesudahnya hanya satu perkalian.

L

Panjang pada suhu awalnya, dalam milimeter, pada satuan yang Anda pilih. Yang dipakai adalah panjang aslinya, bukan panjang akhirnya, dan bukan rata-ratanya — perbedaan yang baru muncul ketika Anda mencoba berjalan ke arah sebaliknya, dari panjang akhir yang terukur menuju koefisiennya, dan di situlah cukup banyak hitungan tangan diam-diam meleset. Satuan dasarnya milimeter karena satuan itulah yang menjaga jawabannya tetap terbaca: satu meter aluminium yang dipanaskan 40 K bertambah 0,924 mm, dan mencetaknya sebagai 0,000924 m tidak menolong siapa pun. Nol adalah isian yang sah — batang tanpa panjang tidak memuai — tetapi angka negatif tidak, dan karena itulah batas bawah kotak isiannya tertutup di nol dan pemeriksaan di dalamnya menolak apa pun di bawahnya.

ΔT

Perubahan suhu dalam kelvin (atau derajat Celsius — keduanya sama besarnya, dan di sini yang dibicarakan adalah perubahan dan bukan suhu, jadi keduanya benar). Nilai negatif itu normal dan berarti pendinginan: baja yang mendingin 40 K menyusut, pemuaiannya keluar negatif, dan memang begitulah seharusnya bunyi aritmetikanya. Batas ±500 K mencakup rentang dari nitrogen cair sampai tungku, dan membiarkan kotak isiannya terbuka lebar bagi pembaca yang bekerja pada puluhan derajat, tempat hampir semua kasus nyata berada. Di Indonesia, ΔT sebesar itu jarang datang dari pergantian musim dan hampir selalu datang dari matahari: permukaan atap seng atau aspal bisa berbeda 30 sampai 40 K antara malam dan siang, sedangkan suhu udaranya sendiri hanya bergeser beberapa derajat.

ΔL

Pertambahan panjangnya, dalam milimeter, dicetak bersebelahan dengan panjang barunya supaya besar perubahannya dan hasil penjumlahannya terlihat sekaligus. Angkanya kecil dalam satuan mutlak dan justru itulah perangkapnya: 0,9 mm terdengar sepele sampai batangnya tidak punya tempat untuk pergi. Batang yang tertahan di kedua ujungnya tidak bisa sekadar batal memuai — pemuaiannya berubah menjadi tegangan, dan karena modulus elastisitasnya besar, gayanya sama sekali tidak kecil. Itulah sebabnya rel kereta api dipasang dengan celah di antara batangnya, dan sebabnya jembatan panjang punya sambungan muai di salah satu ujungnya alih-alih dek yang menyambung terus. Halaman ini memberi pertambahan panjang pada pemuaian bebas; tegangan yang muncul ketika pemuaian dicegah adalah hitungan kedua, dan di sanalah kerusakan yang sebenarnya bersarang.

3 · α · ΔT

Bagian volumenya, ditampilkan sebagai regangan dalam persen alih-alih sebagai volume, karena itulah yang diberikan pengukuran yang sama secara cuma-cuma: setiap dari ketiga dimensinya bertambah sebesar α · ΔT, sehingga volume sebuah kubus padat bertambah sekitar 3 · α · ΔT. Ada dua syarat yang menempel pada faktor tiga itu. Ia berlaku untuk bahan isotropik — logam, kaca, dan plastik yang dianggap seragam — tetapi tidak untuk kayu, yang memuai berbeda searah serat dan melintang seratnya, tidak juga untuk komposit berlapis maupun kristal tunggal. Dan ia adalah pendekatan regangan kecil: faktor yang tepat adalah (1 + α·ΔT)³ − 1, yang sepakat dengan 3αΔT sampai sekian banyak angka di belakang koma pada besaran seperti ini dan tidak akan sepakat pada perubahan suhu yang cukup besar untuk berarti.

Pakai sebelum Anda mengunci kedua ujung sesuatu pada rangka yang kaku: memasang rel, menggantung jalur pipa di antara penahannya, memasang kaca jendela yang pas ketat, membaut bagian aluminium ke baja, atau menentukan lebar celah pada dek jembatan. Juga untuk versi sehari-harinya dari pertanyaan yang sama — tutup logam yang terlepas setelah disiram air panas, atau stoples yang menolak dibuka sampai dihangatkan — yang mekanismenya adalah tutupnya memuai lebih dulu karena koefisiennya lebih besar atau massanya lebih kecil. Ia menjawab pertanyaan tentang pemuaian bebas yang tidak tertahan saja. Kalau bagiannya tertahan di kedua ujung, halaman ini memberi tahu Anda panjang yang ingin ia capai, sedangkan angka yang jauh lebih berguna — tegangan yang menumpuk sebagai gantinya — datang dari modulus elastisitas bahannya, bukan dari sini. Di Indonesia pemakaian yang paling sering justru pada yang terkena matahari langsung: memasang seng atap, menyambung pipa air panas dari pemanas listrik, memasang kaca jendela pada rangka aluminium, serta memasang aspal dan beton jalan.

1. Layar pertama: satu meter aluminium, 40 K lebih hangat

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23,1×10⁻⁶ · 1.000 mm · 40 K
   2. 23,1×10⁻⁶ · 1.000 = 0,0231 mm per kelvin
   3. 0,0231 · 40 = 0,924 mm
   4. Panjang baru: 1.000 + 0,924 = 1.000,924 mm
   5. Regangan volume: 3 · 23,1×10⁻⁶ · 40 = 0,2772%

   Kurang dari satu milimeter pada satu meter, untuk perubahan suhu yang bisa dihasilkan oleh satu sore yang terik — dan itulah sebabnya halaman ini ada serta sebabnya hasilnya dicetak sampai tiga angka di belakang koma. Baris regangannya adalah hasil yang sama dilihat dari sisi lain: 0,28 % volume itu kecil, tetapi bukan nol, dan bagian yang terkekang ke tiga arah sekaligus tidak punya cara menyerapnya. Di Indonesia contoh ini punya wajah yang konkret: satu meter profil aluminium rangka jendela yang menghadap matahari langsung bisa naik dari 24 °C pada malam hari ke sekitar 60 °C pada permukaan yang tersengat, dan 0,8 mm itulah salah satu alasan kusen aluminium dipasang dengan kelonggaran dan bukan dipasang rapat. Perhatikan juga bahwa panelnya mencetak koefisiennya kembali kepada Anda: baris itu adalah bahan yang Anda pilih, dan ia ada di sana supaya Anda bisa memeriksa kotak pilihannya sebelum mempercayai sisanya.

2. Kasus klasiknya: rel baja 25 m, 60 K di bawah matahari

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25.000 mm · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25.000 = 0,3 mm per kelvin
   3. 0,3 · 60 = 18 mm
   4. Panjang baru: 25.000 + 18 = 25.018 mm

   Delapan belas milimeter pada satu batang rel, dari malam yang dingin ke sore yang panas. Inilah angka yang menentukan selebar apa celah rel harus dibuat, dan inilah sebabnya jalur kereta dipasang dengan celah seperti yang ada sekarang alih-alih sebagai satu pita yang dilas menyambung — dan sebabnya jalur las menyambung yang modern justru ditarik dan ditambatkan di bawah tegangan terkendali, sehingga 18 mm yang sama menjadi tegangan yang terbagi sepanjang rel, bukan 18 mm yang membuat relnya melengkung di satu sambungan. Pilihan itu bukan soal apakah bajanya memuai; ia selalu memuai. Untuk pembaca di Indonesia ada satu perbedaan yang perlu disadari: 60 K itu adalah selisih suhu rel itu sendiri antara malam dan siang di bawah matahari, bukan selisih suhu udara, karena suhu udara di sini nyaris tidak bergeser sepanjang tahun. Rel baja yang terjemur bisa jauh lebih panas daripada udaranya, dan justru itulah yang membuat angka ini tetap berlaku di negara tanpa musim.

3. Pendinginan, dan jawaban yang negatif: baja tahan karat, 40 K lebih dingin

   1. ΔL = 17,3×10⁻⁶ · 500 mm · (−40 K)
   2. 17,3×10⁻⁶ · 500 = 0,00865 mm per kelvin
   3. 0,00865 · (−40) = −0,346 mm
   4. Panjang baru: 500 − 0,346 = 499,654 mm

   Tidak ada yang berubah selain tanda pada perubahan suhunya, dan kalkulatornya melaporkan penyusutan sebagai pemuaian negatif dan panjang akhir yang lebih pendek. Itu konvensi yang jujur dan itulah yang harus dipertahankan ketika bagian-bagiannya dirakit: selongsong baja tahan karat yang didinginkan dengan nitrogen cair akan menyelinap masuk ke poros yang tidak bisa dimasukinya pada suhu ruang, dan panjang barunya adalah 499,654 mm di atas, bukan 500 mm yang tadi dibubut. Kedua barisnya dicetak karena keduanya penting — besarnya penyusutan untuk kecocokannya, panjang akhirnya untuk gambar perakitannya. Di Indonesia sisi pendinginan ini jarang datang dari cuaca dan hampir selalu dari teknik pendinginan buatan: selongsong yang dikerutkan ke poros, komponen yang dipasang dengan kejutan dingin, atau pipa yang membawa refrigeran pada suhu jauh di bawah nol.

4. Ujung ekstrem tabelnya: besi cor, 100 m, +500 K

   1. ΔL = 10,8×10⁻⁶ · 100.000 mm · 500 K
   2. 10,8×10⁻⁶ · 100.000 = 1,08 mm per kelvin
   3. 1,08 · 500 = 540 mm
   4. Panjang baru: 100.000 + 540 = 100.540 mm
   5. Regangan volume: 3 · 10,8×10⁻⁶ · 500 = 1,62%

   Setengah meter, pada seratus meter, untuk perubahan dari suhu ruang ke suhu tungku. Koefisien besi cor yang rendah adalah alasan ia dulu menjadi bahan blok mesin dan landasan perkakas — ia paling sedikit bergerak di antara logam-logam yang umum — dan contoh ini ada untuk menunjukkan skala ketika gejalanya berhenti bisa diabaikan: 540 mm bukan toleransi, melainkan fitur rancangan. Ia juga menunjukkan mengapa batas kotak isiannya selebar sekarang: halaman ini harus tetap berguna bagi pembaca yang benar-benar punya jalur pipa 100 m yang berjalan dari dingin ke panas, dan ia lebih suka menjawab daripada menolak. Di Indonesia rentang 500 K ini paling sering muncul di peralatan proses dan pembangkit, bukan di bangunan: pipa uap, saluran gas panas, dan cerobong pembangkit listrik adalah tempat di mana angka sebesar ini harus benar-benar dihitung, dan di sanalah sambungan muai serta lengkungan pipa benar-benar dibangun.

Baris volumenya mengandaikan bahannya memuai dengan cara yang sama ke segala arah, dan itu benar untuk logam serta kaca serta tidak benar untuk kayu, kristal tunggal, maupun komposit berlapis — untuk bahan-bahan itu setiap sumbunya memerlukan koefisiennya sendiri dan faktor tiga itu tidak berarti apa-apa. Koefisiennya sendiri dikutip pada suhu acuan di dekat 20 °C, dan α naik perlahan mengikuti suhu, sehingga jawaban untuk ayunan 500 K adalah ekstrapolasi dari pengukuran suhu ruang dan bukan pengukuran pada suhu itu. Nilai terbitan juga saling berselisih: aluminium bernilai 23×10⁻⁶ di salah satu sumber di bawah dan 25×10⁻⁶ di sumber lainnya, selisih beberapa persen, jadi perlakukan angka ketiga di belakang koma dari jawaban mana pun sebagai hiasan dan angka pertamanya sebagai informasi yang sebenarnya. Halaman ini memberi pertambahan panjang pada pemuaian bebas dan tidak mengatakan apa pun tentang apa yang terjadi ketika bagiannya ditahan di kedua ujungnya — pemuaian yang sama, kalau ditahan, menjadi tegangan berorder E·α·ΔT, yang untuk baja pada 60 K jauh di atas seratus megapascal, cukup untuk melengkungkan rel atau meretakkan las, dan tidak satu pun dari itu muncul di angka-angka di atas. Ia juga tidak mengatakan apa pun tentang waktu: coran yang tebal memanas tidak merata, sehingga pemuaiannya datang sebagai gradien dan pelengkungan dan bukan sebagai perubahan panjang yang seragam. Dan ia mengandaikan perubahannya terjadi di bawah titik pelunakan bahannya — plastik di dekat suhu transisi gelasnya, atau apa pun yang mendekati titik lelehnya, berada di luar apa yang bisa digambarkan satu koefisien. Satu catatan untuk Indonesia: karena suhu udaranya hampir tidak berubah sepanjang tahun, ΔT di sini hampir selalu berasal dari radiasi matahari, sehingga suhu permukaanlah yang menentukan dan bukan suhu udara — permukaan yang gelap dan bertekstur kasar bisa puluhan derajat lebih panas daripada udara di sekitarnya, dan tidak ada angka tunggal untuk itu. Warnanya, kecepatan anginnya, dan seberapa cepat panasnya terbawa ke bagian di bawahnya semuanya ikut menentukan, dan tidak satu pun dari itu ada di dalam ΔL = α · L · ΔT.

Apa rumus pemuaian termal?

ΔL = α · L · ΔT: pertambahan panjangnya sama dengan koefisien muai panjang bahannya dikali panjang awalnya dikali perubahan suhunya. Untuk zat padat yang memuai sama besar ke segala arah, volumenya bertambah tiga kali lipatnya secara pecahan, sehingga regangan volumenya adalah 3 · α · ΔT — hubungan yang sama dengan sebuah faktor yang muncul karena ruangnya berdimensi tiga, bukan dari fisika tambahan apa pun. Keduanya ditampilkan di halaman ini, dan yang kedua dilaporkan sebagai regangan dalam persen alih-alih sebagai volume, karena itulah bentuk yang langsung diberikan koefisiennya.

Berapa besar baja memuai per derajat?

Sekitar 12×10⁻⁶ per kelvin, sehingga satu meter baja bertambah 0,012 mm untuk setiap derajat — 12 mikrometer, kira-kira seperdelapan ketebalan selembar kertas; kertas sendiri sekitar 0,1 mm. Pada rentang 60 K di bawah sinar matahari, rel 25 m bertambah 18 mm, dan itulah sebabnya celah rel ada dan sebabnya jalur las menyambung harus ditarik serta ditambatkan dan bukan sekadar dibentangkan. Aluminium sekitar dua kali lebih responsif pada 23×10⁻⁶, dan PVC lebih dari empat kali baja pada 55×10⁻⁶, yang merupakan alasan mengapa pemipaan plastik memerlukan penyangga yang lebih rapat serta lengkungan muai yang lebih longgar daripada pemipaan logam pada jalur yang sama. Untuk pemakaian di Indonesia, inilah juga alasan mengapa pipa PVC air bersih yang dipasang memanjang di bawah sinar matahari langsung perlu diberi kelonggaran di setiap sambungannya.

Mengapa perubahan volumenya tiga kali perubahan panjangnya?

Karena zat padat bertambah besar ke tiga arah sekaligus. Setiap dimensinya bertambah sebesar pecahan α·ΔT, sehingga volume sebuah kubus bertambah (1 + α·ΔT)³ − 1, yang untuk angka sekecil ini sama dengan 3·α·ΔT sampai jauh lebih banyak angka di belakang koma daripada yang dibutuhkan siapa pun. Faktor tiga itu adalah akibat dari isotropi — ia mengandaikan bahannya memuai identik pada setiap sumbunya. Kayu tidak begitu (ia bergerak jauh lebih banyak melintang serat daripada searah seratnya), demikian pula kristal tunggal dan komposit berlapis, sehingga untuk bahan-bahan itu baris volume di halaman ini bukan pendekatan dari jawaban yang benar melainkan jawaban atas pertanyaan yang berbeda.

Panjang yang saya masukkan itu panjang awal atau panjang akhir?

Yang awal — panjang pada suhu mula-mula, sebelum apa pun menghangat. Ini lebih penting daripada penampakannya: berjalan mundur dari panjang akhir yang terukur menuju koefisiennya berarti membagi dengan panjang awalnya, dan memakai panjang akhir sebagai gantinya menyisipkan galat relatif sekitar α·ΔT, yang bisa diabaikan untuk baja dan tidak bisa diabaikan untuk plastik pada perubahan suhu yang besar. Halaman ini mencetak baik perubahannya maupun panjang barunya supaya Anda bisa melihat mana yang mana, dan perubahannya selalu relatif terhadap apa yang Anda ketik.

Apa peran sambungan muai?

Ia adalah hal yang Anda bangun ketika pemuaiannya tidak boleh dibiarkan bebas. Bagian yang ditahan di kedua ujungnya tidak tinggal sepanjang yang ia inginkan; pemuaiannya ditahan dan berubah menjadi tegangan, berorder modulus elastisitas bahannya dikali α·ΔT — untuk baja pada 60 K itu jauh di atas seratus megapascal, cukup untuk melengkungkan rel, membengkokkan jalur pipa, atau meretakkan las. Sambungan muai, lengkungan pipa, lubang baut yang lonjong, dan tumpuan yang bisa menggelincir semuanya adalah cara memberi bahan itu tempat untuk pergi, dan semuanya ada karena hitungan di halaman ini harus dibayar dengan salah satu cara.

Mengapa tabel yang berbeda memberi koefisien yang berbeda?

Karena koefisiennya tidak sepenuhnya konstan dan tidak sepenuhnya disepakati. α berubah mengikuti suhu, sehingga nilai yang dikutip pada 20 °C dan nilai yang dirata-ratakan pada 0–100 °C adalah angka yang berbeda untuk bahan yang sama, dan buku pegangan yang berbeda mengutip paduan yang berbeda di bawah nama yang sama — aluminium di salah satu sumber di bawah bernilai 23×10⁻⁶ dan di sumber lainnya 25×10⁻⁶, sedangkan 'baja tahan karat' mencakup satu keluarga yang koefisiennya berjalan dari sekitar 10 sampai 18×10⁻⁶. Untuk sebagian besar keperluan, perselisihannya beberapa persen dan tidak mengubah keputusannya. Ketika ia mulai berarti — instrumen presisi, jalur yang panjang, kecocokan yang ketat — itu adalah alasan untuk mengukur bets yang sebenarnya alih-alih memilih tabel yang lain.

• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids — ΔL = αLΔT with the definition of the coefficient, the β ≈ 3α relation for volume, and a table of coefficients for common metals — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — the handbook values this page's table is drawn against, including cast iron, brass, stainless and PVC — The Engineering ToolBox