सापेक्ष जोखिम कैलकुलेटर

RR = (a / n₁) ÷ (c / n₂) OR = (a · d) / (b · c)

a

प्रभावित समूह: कितने मामले — वे लोग जिनमें संपर्क भी था और नतीजा भी। यह अनुपात की पहली जोखिम का अंश है, और ऑड्स अनुपात में भी प्रभावित समूह का यही हिस्सा जाता है — इसीलिए गिनतियों का एक ही सेट दोनों जवाबों को खिलाता है

n₁

प्रभावित समूह: कुल कितने लोग, यानी मामले और गैर-मामले दोनों। जोखिम इस कुल से भाग देकर निकलता है, इसलिए वही तीस मामले सौ में कुछ और मतलब रखते हैं और दस हज़ार में कुछ और — जोखिम अनुपात दरों की तुलना है, गिनतियों की नहीं, और समूहों के आकार ही दोनों दरों को तुलनीय बनाते हैं

c

अप्रभावित समूह: कितने मामले। a और c हाथ में हों तो दोनों जोखिम सीधे लिखे जा सकते हैं और अनुपात उनका भागफल है। यह शून्य हो तो पन्ना कुछ भी नहीं निकालता, और यह इनकार जान-बूझकर है: ऐसे अप्रभावित समूह का जोखिम शून्य होता है, और शून्य से भाग देना अपरिभाषित है, अनंत नहीं

n₂

अप्रभावित समूह: कुल कितने लोग। दोनों समूहों का आकार बराबर होना ज़रूरी नहीं, और अक्सर होता भी नहीं — किसी समूह अध्ययन में संपर्क से बाहर के लोग संपर्क वालों से कहीं ज़्यादा हो सकते हैं, और सूत्र इसे बिना किसी सुधार के संभाल लेता है क्योंकि हर जोखिम अपने ही समूह के भीतर निकाला जाता है

b, d

दोनों समूहों के गैर-मामले, जो पन्ना ख़ुद निकालता है, पूछता नहीं। ये सिर्फ़ ऑड्स अनुपात (OR) में आते हैं, जहाँ b = n₁ − a और d = n₂ − c। इन्हें निकालना ही चारों इनपुट को एक-दूसरे से टकराने अयोग्य बनाता है: चार खुली गिनतियाँ ऐसी तालिका भी बता सकती थीं जिसमें कुल लोगों से ज़्यादा मामले हों

इसे तब लगाइए जब दो समूहों को आगे की ओर देखते हुए उनकी गिनतियाँ जुटा ली हों और उनके जोखिमों का अनुपात चाहिए — वही असर का नाप जिसके लिए समूह अध्ययन बनाया जाता है। दोनों जवाब बारीक़ी से अलग सवाल पूछते हैं, और उनके बीच चुनाव आम तौर पर पसंद का नहीं, अध्ययन की बनावट का मामला है। जोखिम अनुपात दोनों में ज़्यादा समझने लायक़ है: 2 का मतलब है कि प्रभावित समूह का जोखिम दुगना था, और इस वाक्य को किसी और व्याख्या की ज़रूरत नहीं। ऑड्स अनुपात वह है जो केस-कंट्रोल अध्ययन से निकलता है, जहाँ मामलों का अनुपात ख़ुद शोधकर्ता तय करता है और इसलिए जोखिम का कोई अनुमान ही नहीं लगाया जा सकता; वहाँ सिर्फ़ ऑड्स अनुपात निकल सकता है, और लॉजिस्टिक रिग्रेशन भी वही छापता है। नतीजा दुर्लभ हो तो दोनों इतने पास होते हैं कि ऑड्स अनुपात को जोखिम अनुपात पढ़ लेने में ज़्यादा नुक़सान नहीं होता, और यही इस आम छूट का आधार है। नतीजा आम हो तो वे अलग हो जाते हैं, और हमेशा एक ही दिशा में: ऑड्स अनुपात 1 से ज़्यादा दूर होता है, इसलिए रक्षात्मक संपर्क और रक्षात्मक दिखने लगता है और नुक़सानदेह और नुक़सानदेह। यह पन्ना दोनों एक ही तालिका से निकालता है ताकि यह अंतर मान लेने के बजाय दिख जाए। इसे अध्ययन की बनावट याद रखकर पढ़िए: संबंध कारण नहीं होता, और इन चार संख्याओं में ऐसा कुछ नहीं जो उस संपर्क को उस संपर्क से अलग कर सके जिसके साथ नतीजा बस चला आया।

1. डिफ़ॉल्ट: 100 में से 30 प्रभावित, 100 में से 20 अप्रभावित

   1. प्रभावित समूह का जोखिम: 30 / 100 = 0.30, यानी 30%
   2. अप्रभावित समूह का जोखिम: 20 / 100 = 0.20, यानी 20%
   3. जोखिम अनुपात: 0.30 / 0.20 = 1.5 — प्रभावित समूह का जोखिम डेढ़ गुना
   4. गैर-मामले निकाले गए: b = 70 और d = 80, इसलिए ऑड्स अनुपात (30 × 80) / (70 × 20) = 2400 / 1400 = 1.7143
   5. यानी एक ही तालिका से 1.5 और 1.7143 दोनों निकले, और चौदह प्रतिशत का यही फ़र्क़ पन्ने के दोनों आउटपुट रखने की वजह है

   इतने आम नतीजे पर दोनों जवाबों में 14% का अंतर है, और दोनों दिखना ही इस पन्ने के दोनों निकालने की वजह है। जोखिम अनुपात कहता है जोखिम 50% ज़्यादा; ऑड्स अनुपात कहता है ऑड्स 71% ज़्यादा। दोनों में से कोई ग़लत नहीं — ये दो अलग राशियाँ हैं — पर जो रिपोर्ट 1.71 को "जोखिम में 71% की बढ़ोतरी" लिखती है वह इन दोनों को मिला देती है, और चिकित्सा तथा समाज-विज्ञान के नतीजे पढ़ने की यह सबसे आम ग़लतियों में से एक है। यह भी देखिए कि समूहों का आकार बराबर होना ज़रूरी नहीं, और यहाँ वह सिर्फ़ इसीलिए चुना गया कि प्रतिशत पूरे बैठें।

2. मज़बूत संबंध दोनों नापों के बीच का फ़ासला बढ़ा देता है

   1. प्रभावित समूह का जोखिम: 45 / 150 = 0.30
   2. अप्रभावित समूह का जोखिम: 15 / 150 = 0.10
   3. जोखिम अनुपात: 0.30 / 0.10 = 3, यानी तीन गुना जोखिम
   4. ऑड्स अनुपात: (45 × 135) / (105 × 15) = 6075 / 1575 = 3.8571
   5. यानी जोखिम अनुपात 3 पर ऑड्स अनुपात 3.86 तक पहुँच गया, और पिछले उदाहरण का 0.21 का फ़ासला अब लगभग एक पूरी इकाई है

   3 के जोखिम अनुपात पर ऑड्स अनुपात 3.86 हो गया है, और पूरा फ़ासला पिछले उदाहरण के 0.21 के बजाय अब लगभग एक इकाई है। यह पैटर्न संयोग नहीं, व्यवस्थित है: ऑड्स अनुपात हमेशा 1 से ज़्यादा दूर बैठता है, और यह दूरी संबंध की ताक़त तथा नतीजे की आवृत्ति दोनों के साथ बढ़ती है। इसीलिए दुर्लभ-नतीजे का अंगूठा-नियम याद रखने लायक़ है — वह कोई छोटी तकनीकी चेतावनी नहीं, बल्कि ऑड्स में 286% की बढ़ोतरी और जोखिम में 200% की बढ़ोतरी बताने का अंतर है।

3. वह संपर्क जिसके साथ जोखिम कम है

   1. प्रभावित समूह का जोखिम: 10 / 100 = 0.10
   2. अप्रभावित समूह का जोखिम: 25 / 100 = 0.25
   3. जोखिम अनुपात: 0.10 / 0.25 = 0.4 — जोखिम में 60% की कमी
   4. ऑड्स अनुपात: (10 × 75) / (90 × 25) = 750 / 2250 = 0.3333, यानी ऑड्स में 67% की कमी
   5. यानी नतीजा दोनों तरफ़ एक जैसा: 1 के नीचे भी ऑड्स अनुपात 1 से ज़्यादा दूर रहता है, इसलिए संपर्क असल में जितना है उससे ज़्यादा रक्षात्मक दिखता है

   1 के नीचे भी बात वही है: ऑड्स अनुपात 1 से ज़्यादा दूर रहता है, इसलिए संपर्क असल में जितना रक्षात्मक है उससे ज़्यादा रक्षात्मक दिखता है। कमी को दोनों तरीक़ों से कहते समय सावधानी रखिए। 0.4 का जोखिम अनुपात कहता है कि जोखिम 60% घटा, न कि 60% पर आ गया — इन दोनों पढ़ने में जो अनुपात का फ़र्क़ है वह 1 से दूर जाते-जाते तेज़ी से बढ़ता है, और इन्हें मिला देने वाली रिपोर्ट किसी छोटे असर को नाटकीय बना सकती है या उलटा।

4. दुर्लभ नतीजा, जहाँ दोनों नाप लगभग एक हो जाते हैं

   1. प्रभावित समूह का जोखिम: 2000 / 1,00,000 = 0.02, यानी 2%
   2. अप्रभावित समूह का जोखिम: 1000 / 1,00,000 = 0.01, यानी 1%
   3. जोखिम अनुपात: 0.02 / 0.01 = 2
   4. ऑड्स अनुपात: (2000 × 99000) / (98000 × 1000) = 19,80,00,000 / 9,80,00,000 = 2.0204 — जोखिम अनुपात के 1% के भीतर
   5. यानी 2% के जोखिम पर गैर-मामले मामलों से इतने भारी हैं कि गैर-मामलों की गिनती से भाग देना लगभग समूह के कुल से भाग देना बन जाता है

   दुर्लभ-नतीजे का सन्निकटन यहाँ रटने के नियम की तरह नहीं, अंकगणित की तरह दिखता है। 2% के जोखिम पर गैर-मामले मामलों से इतने भारी पड़ते हैं कि गैर-मामलों की गिनती से भाग देना लगभग समूह के कुल से भाग देना हो जाता है, और ऑड्स अनुपात जोखिम अनुपात पर आ गिरता है। ये समूह-आकार किसी समूह अध्ययन की असली शक्ल भी हैं — एक लाख लोग, दो हज़ार घटनाएँ — जबकि पिछले उदाहरणों में प्रतिशत पढ़ने लायक़ रखने के लिए छोटे-गोल आकार लिए गए थे।

यह पन्ना एक अनुपात लौटाता है और यह दावा नहीं करता कि उस संपर्क ने नतीजा पैदा किया। 3 का जोखिम अनुपात कहता है कि प्रभावित समूह का जोखिम तीन गुना था; यह नहीं कहता कि वह जोखिम संपर्क से बना, और ये चार गिनतियाँ किसी कारण को ऐसे चिह्न से अलग नहीं कर सकतीं जो संयोग से साथ चला आया हो — क्लासिक उदाहरण वह चर है जो संपर्क और नतीजा दोनों से जुड़ा होता है। यह यह भी मानकर चलता है कि दोनों समूहों को बराबर समय तक देखा गया, या कि गिनतियाँ पहले ही किसी एक साझा अवधि में बदल दी गई हैं। नए मामले जमा होते रहते हैं, इसलिए दो साल तक देखे गए समूह में लगभग दुगने मामले होंगे जितने बाक़ी सब बराबर होते हुए एक साल तक देखे गए समूह में, और इनपुट में ऐसा कुछ नहीं जो यह बता दे। शून्य वाला इनकार एक सीमा है, भूल नहीं: हर ख़ाने में छोटा-सा अचर जोड़ने से जवाब किसी गढ़े हुए आधे आदमी पर निर्भर हो जाता, इसलिए पन्ना इनकार कर देता है ताकि यह दिख जाए कि आँकड़े ही बहुत पतले हैं। केस-कंट्रोल आँकड़े आख़िरी सीमा हैं। उस बनावट में शोधकर्ता तय करता है कि कितने मामले जुटाने हैं, इसलिए हर समूह में मामलों का अनुपात नमूने की बनावट का नतीजा है, और उन गिनतियों से निकाला जोखिम अनुपात निरर्थक होगा — ऑड्स अनुपात बच जाता है क्योंकि वह सममित है, और ठीक इसीलिए केस-कंट्रोल अध्ययन वही छापते हैं, जोखिम अनुपात नहीं।

सापेक्ष जोखिम और ऑड्स अनुपात में क्या फ़र्क़ है?

सापेक्ष जोखिम प्रायिकताओं का अनुपात है और ऑड्स अनुपात ऑड्स का, और नतीजा आम होते-होते दोनों अलग हो जाते हैं। 30% और 20% के जोखिम पर जोखिम अनुपात 1.5 बनता है जबकि ऑड्स अनुपात 1.7143; 2% और 1% के जोखिम पर वे 2 और 2.0204 होते हैं। ऑड्स अनुपात हमेशा 1 से ज़्यादा दूर रहता है, इसलिए नुक़सानदेह संपर्क ज़्यादा नुक़सानदेह दिखता है और रक्षात्मक ज़्यादा रक्षात्मक। नतीजा दुर्लभ हो तो यह फ़र्क़ नगण्य होता है, और यही उस प्रसिद्ध छूट का आधार है जो ऑड्स अनुपात को जोखिम अनुपात पढ़ लेती है। वह छूट ऐसी बीमारी के लिए सुरक्षित है जो हज़ार में एक को लगती है, और ऐसे नतीजे के लिए असुरक्षित है जो तीन में एक को लगता है।

अप्रभावित समूह में कोई मामला न हो तो पन्ना इनकार क्यों कर देता है?

क्योंकि उस समूह का जोखिम शून्य होता है और जोखिम अनुपात उससे भाग दे रहा होता। कुछ सॉफ़्टवेयर इसे हर ख़ाने में छोटी-सी संख्या जोड़कर सँभालते हैं — हैल्डेन–एन्सकॉम्ब सुधार — पर उससे जवाब एक गढ़े हुए आधे आदमी पर निर्भर हो जाता है, और गिनतियाँ छोटी हों तो नतीजा साफ़-साफ़ हिल जाता है, यानी ठीक उसी वक़्त जब यह समस्या उठती है। पन्ना इसके बजाय त्रुटि लौटाता है ताकि असली बात दिख जाए: अप्रभावित समूह में एक भी मामला न हो तो आँकड़े असर की ऊपरी हद तय ही नहीं कर सकते, और कोई भी सीमित संख्या सुधार का नतीजा होगी, कोई निष्कर्ष नहीं। असली इलाज सिर्फ़ और आँकड़े जुटाना है।

क्या मैं इसे केस-कंट्रोल आँकड़ों पर लगा सकता हूँ?

ऑड्स अनुपात पर हाँ, सापेक्ष जोखिम पर नहीं। केस-कंट्रोल अध्ययन में शोधकर्ता तय करता है कि कितने मामले और कितने अप्रभावित लोग भर्ती करने हैं, इसलिए हर समूह में मामलों का अनुपात देखे जाने के बजाय नमूने की बनावट से तय होता है। इससे दोनों जोखिम अनुमान के तौर पर निरर्थक हो जाते हैं — पर ऑड्स अनुपात पर कोई असर नहीं पड़ता, क्योंकि वह मामलों और अप्रभावित लोगों के बीच सममित है: तालिका की पंक्तियाँ और स्तंभ बदल देने से वह नहीं बदलता। ठीक इसीलिए केस-कंट्रोल अध्ययन ऑड्स अनुपात छापते हैं, और इसीलिए उनकी गिनतियों से निकाला जोखिम अनुपात नहीं पढ़ा जाना चाहिए, चाहे अंकगणित चल जाए।

ठीक 1 का सापेक्ष जोखिम क्या बताता है?

यह बताता है कि इस नमूने में दोनों समूहों का जोखिम बराबर था, यानी संपर्क का नतीजे से कोई संबंध नहीं दिखता। इसका मतलब यह नहीं कि समष्टि में कोई संबंध नहीं — कोई नमूना आसानी से ठीक 1 का अनुपात, या कोई भी और मान, तब भी दे सकता है जब असली अनुपात अलग हो। इसी के लिए अनुपात के चारों ओर विश्वास अंतराल निकाला जाता है, और इसीलिए सिर्फ़ बिंदु-अनुमान छापने वाला अध्ययन अधूरा होता है। पन्ना जान-बूझकर अनुमान और उसके साथी नाप पर रुक जाता है: अंतराल के लिए अनुपात के लघुगणक की मानक त्रुटि चाहिए, जो उन्हीं चार गिनतियों को दूसरे ढंग से पढ़ना नहीं, एक और गणना है।

क्या 3 का सापेक्ष जोखिम मतलब है कि संपर्क मेरा जोखिम तीन गुना कर देता है?

इसका मतलब है कि इस अध्ययन में प्रभावित समूह का जोखिम अप्रभावित समूह से तीन गुना था। यह आपके अपने जोखिम में कितना बड़ा बदलाव बनता है, यह आधार-दर पर निर्भर है, और वह अनुपात में नहीं आती। अगर अप्रभावित जोखिम 1,00,000 में 1 है तो उसे तीन गुना करने पर 1,00,000 में 3 होता है, जो अब भी छोटा है; अगर वह 100 में 1 है तो तीन गुना करना एक ऐसा बदलाव है जिस पर ध्यान देना बनता है। यही सापेक्ष और निरपेक्ष जोखिम का फ़र्क़ है, और इसीलिए कोई अध्ययन ऐसे नतीजे का चौंकाने वाला अनुपात बता सकता है जो असल में दुर्लभ ही रहता है। अनुपात के साथ हमेशा उसके नीचे के दोनों जोखिम भी माँगिए।

इनपुट चार ख़ानों के बजाय मामले और कुल संख्या क्यों हैं?

क्योंकि चार खुली गिनतियाँ एक नामुमकिन तालिका भी बता सकती हैं। अगर पन्ना चारों गिनतियाँ अलग-अलग माँगता, तो कोई भी उपयोगकर्ता एक ही समूह में 100 में से 30 मामले और 100 में से 70 गैर-मामले भर सकता था — ऐसी तालिका जिसके हिस्से एक-दूसरे को काटते हैं, जो बिना शिकायत निकल जाती और एक बेमतलब संख्या दे डालती। हर समूह के लिए मामले और समूह का कुल पूछने से बाक़ी दो ख़ाने अपने आप तय हो जाते हैं, इसलिए ऑड्स अनुपात में जाने वाली गैर-मामलों की गिनती हमेशा जोखिम अनुपात में जाने वाले जोखिमों से मेल खाती है। क़ीमत एक इनपुट कम होने की है, और फ़ायदा यह कि बेतुकी तालिका मुमकिन ही नहीं रहती, बस असंभव नहीं।

• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (probability as a long-run proportion, which is what each group's risk is and what makes the ratio of two of them meaningful) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a count divided by a group total as an estimated probability, and the sampling variability that estimate carries) — National Institute of Standards and Technology (NIST)