सिक्का उछालने का टूल

heads = क्रम में कितने H आए · tails = flips − heads · longest run = एक जैसे नतीजों का सबसे लंबा टुकड़ा · split chance = C(n, heads) / 2ⁿ

उछाल

कितनी बार उछाला जाए। उछालों का क्रम हर उछाल के लिए एक H या T रखता है, और बाक़ी हर आँकड़ा ठीक इतने ही उछालों पर गिना जाता है

रैंडम सीड

रैंडम सीड: जनरेटर की धारा में से कौन-सा क्रम खींचा जाएगा। एक ही सीड हमेशा वही हेड और वही टेल देता है, इसलिए कोई उछाल बिलकुल दोहराया जा सकता है; इससे किसी पक्ष का मौक़ा बढ़ता नहीं

H

हेड, दो बराबर मुमकिन पक्षों में से एक। उछालों का क्रम H और T छापता है, शब्द नहीं, क्योंकि ये अक्षर गणित का संकेत हैं और हर भाषा में एक ही रहते हैं

T

टेल, दूसरा पक्ष। निष्पक्ष सिक्के को याद नहीं रहता, इसलिए एक ही पक्ष का लंबा सिलसिला क्रम का संयोग है, सिक्के का किसी तरफ़ झुकाव नहीं

बँटवारे की संभावना

इतने उछालों में ठीक इतने हेड पड़ने की संभावना — यानी ठीक इस बँटवारे की संभावना, जो इस सवाल से अलग है कि इस बार असल में कितना हिस्सा हेड आया

इसे तब उठाइए जब सिक्का उछालना हो पर सिक्का न हो, या जब हेड-टेल का कोई क्रम आँख से देखने के बजाय गिना जाना हो। लगातार वाला आँकड़ा ही वह हिस्सा है जो क्रम से आँख से नहीं पढ़ा जा सकता, और यही सबसे ज़्यादा ग़लत आँका जाता है: दो सौ उछालों में सात का सिलसिला सामान्य है, इस बात का सबूत नहीं कि सिक्का भारी है। इससे जुड़ा सवाल ठीक इस बँटवारे की संभावना जवाब देती है — यह नहीं कि इस बार कितना हिस्सा हेड आया, बल्कि यह कि ऐसा बँटवारा निष्पक्ष सिक्के से कितनी बार बनता है। यह पेज यह नहीं जाँचता कि सिक्का निष्पक्ष है या नहीं; वह मान लेता है कि है, और दिखाता है कि निष्पक्ष दिखता कैसा है।

1. दस उछाल: सात हेड, तीन टेल, सबसे लंबा सिलसिला तीन

   1. जनरेटर से दस नतीजे खींचिए: H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. H गिनिए: सात हैं, इसलिए टेल 10 − 7 = 3
   3. हिस्सा 7 / 10 = 70% है
   4. क्रम पर एक बार चलकर एक ही पक्ष का सबसे लंबा टुकड़ा ढूँढिए: तीसरे से पाँचवें स्थान पर HHH, और सातवें-आठवें पर HH — सबसे लंबा 3 है
   5. दस निष्पक्ष उछालों में ठीक सात हेड पड़ने की संभावना C(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1024 = 11.72% है

   आख़िरी दो संख्याएँ साथ पढ़िए, क्योंकि इसी जोड़ी पर यह पेज सबसे ज़्यादा ग़लत पढ़ा जाता है। 70% यह बताता है कि इस बार क्या हुआ; 11.72% यह बताता है कि निष्पक्ष सिक्का सात-तीन का बँटवारा कितनी बार बनाता है। दोनों एक-दूसरे का खंडन नहीं करते, और 70% 11.72% का दूसरा रूप नहीं है — पहला इस एक उछाल-क्रम को बताता है, दूसरा उन सारे दस-उछाल क्रमों को जिनमें सात हेड हैं।

2. वही दस उछाल, दूसरा सीड: पाँच और पाँच

   1. सीड 7 दूसरा क्रम खींचता है: T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. पाँच हेड और पाँच टेल, इसलिए हिस्सा 50% है
   3. सबसे लंबा टुकड़ा फिर 3 है — छठे से आठवें स्थान पर TTT, और तीसरे से पाँचवें पर HHH
   4. पाँच-पाँच के बँटवारे की संभावना C(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1024 = 24.61% है

   दोनों उछाल-क्रम सबसे लंबे टुकड़े 3 पर उतरे, और दस उछालों पर यही सामान्य नतीजा है, इसमें पढ़ने लायक़ कोई संयोग नहीं। जो बदला वह बँटवारे की संभावना है: पाँच-पाँच का बँटवारा सात-तीन से दोगुने से भी ज़्यादा मुमकिन है, क्योंकि दस स्थानों में पाँच हेड जमाने के तरीक़े सात हेड जमाने से कहीं ज़्यादा हैं। इसी वजह से सीड एक अलग ख़ाना है, छिपी हुई जानकारी नहीं — एक ही पेज दोबारा खोलने पर चुपचाप दूसरा जवाब नहीं देना चाहिए, और जिस उछाल पर बात करनी हो वह दोहराया जा सकना चाहिए।

3. एक ही उछाल, सबसे छोटी सीमा

   1. एक ही नतीजा खींचिए: H
   2. एक हेड, कोई टेल नहीं, इसलिए हिस्सा 1 / 1 = 100% है
   3. एक जैसे नतीजों का सबसे लंबा टुकड़ा वही अकेला उछाल है, यानी 1
   4. एक निष्पक्ष उछाल में एक हेड की संभावना C(1,1) / 2¹ = 1/2, यानी 50% है

   एक उछाल इस पेज का सबसे छोटा स्वीकार्य इनपुट है, और यही दिखाता है कि हिस्सा और संभावना दो अलग पंक्तियाँ क्यों हैं। अकेला उछाल एक ही तरफ़ पड़ता है, इसलिए हिस्सा 100% आता है — ऐसा आँकड़ा जो सिक्के के बारे में कुछ नहीं बताता। बँटवारे की संभावना 50% है, और सिक्के के बारे में बताने वाला आँकड़ा यही है। एक उछाल पर दोनों पंक्तियाँ लगभग उलटी लगती हैं; दो सौ पर वे पास आ जाती हैं, और छोटी गिनतियों पर उनका यह फ़ासला ही पूरे नमूने का विषय है।

4. दो सौ उछाल और नौ का सिलसिला

   1. जनरेटर से दो सौ नतीजे खींचिए — उछालों का क्रम वाली पंक्ति इन सबको रखती है
   2. हेड गिनिए: 95, इसलिए टेल 200 − 95 = 105
   3. हिस्सा 95 / 200 = 47.5% है, जो बराबर बँटवारे से 2.5 अंक दूर है
   4. एक ही पक्ष का सबसे लंबा टुकड़ा 9 है — लगातार नौ एक जैसे नतीजे
   5. दो सौ निष्पक्ष उछालों में ठीक 95 हेड पड़ने की संभावना करीब 4.39% है

   नौ का सिलसिला ही वह संख्या है जिस पर ठहरना चाहिए। लोग नौ के सिलसिले को इस बात का सबूत पढ़ते हैं कि सिक्के में कुछ गड़बड़ है, जबकि दो सौ निष्पक्ष उछालों में यह कोई हैरानी की बात नहीं — सबसे लंबा टुकड़ा क्रम की लंबाई के साथ बढ़ता जाता है, धीरे-धीरे पर बिना किसी छत के। यह भी देखिए कि दोनों पंक्तियाँ किस तरफ़ खींचती हैं: हिस्सा आराम से 47.5% है, बराबर के इतना पास कि सही लगे, जबकि बँटवारे की संभावना केवल 4.39% है, क्योंकि ठीक 95 पर उतरना उन ढेरों नतीजों में से एक है जो सब देखने में एक जैसे लगते हैं।

ये उछाल असली नहीं हैं। हर उछाल एक रैंडम सीड वाले जनरेटर से खींचा जाता है, इसलिए पेज जो दिखाता है वह एक ऐसा क्रम है जो निष्पक्ष सिक्के जैसा बर्ताव करता है, किसी असली सिक्के का लेखा-जोखा नहीं — और एक ही सीड हर बार वही क्रम खींचता है, जो इस ख़ाने की ख़ास बात भी है और उसकी सीमा भी। तीन और सीमाएँ बताने लायक़ हैं। पहली, पेज कभी यह नहीं जाँचता कि सिक्का निष्पक्ष है या नहीं; वह हर उछाल पर एक-आध की संभावना मान लेता है और उससे जो निकलता है वही बताता है, इसलिए असल में भारी सिक्का भी ऐसा क्रम बनाएगा जिसे पेज वैसे ही निष्पक्ष मानकर बयान करेगा। दूसरी, दो सौ उछाल ही ऊपरी सीमा है, जो इस पेज के लिए चुनी गई नहीं बल्कि साझा रैंडम कर्नेल की खींचने की सीमा से आई है, और दो सौ पर क्रम वाली पंक्ति कई लाइनों तक लिपट जाती है। तीसरी, पेज नतीजा दिखाता है पर उस पर फ़ैसला नहीं देता — नौ का सबसे लंबा सिलसिला, या हेड का 70% हिस्सा, बिना यह कहे छपता है कि यह चौंकाने वाला है या नहीं, और यही फ़ैसला करने का तरीक़ा है उसके साथ बँटवारे की संभावना पढ़ना।

एक ही सीड हमेशा वही क्रम क्यों देता है?

क्योंकि उछाल असली सिक्के से नहीं बल्कि सीड वाले रैंडम जनरेटर से आते हैं, और सीड तय करता है कि उस जनरेटर की धारा में से कौन-सा क्रम खींचा जाएगा। सीड 1 दो बार भरिए तो वही दस हेड-टेल मिलेंगे; उसे 7 कर दीजिए तो उसी लंबाई का दूसरा क्रम मिलेगा। यह जान-बूझकर है: जो पेज हर बार अपना जवाब फिर से खींचे वह जाँचा नहीं जा सकता, उसके नतीजे को हवाले की तरह नहीं दिया जा सकता, और उसके पीछे के अपने-आप चलने वाले परीक्षणों के पास तुलना करने को कुछ नहीं बचता। इससे सीड यहाँ की अकेली ऐसी चीज़ बन जाता है जो कोई मात्रा नहीं है — वह एक क्रम चुनता है, किसी पक्ष को भार नहीं देता, इसलिए कोई सीड हेड को ज़्यादा मुमकिन नहीं बनाता।

हेड का हिस्सा और बँटवारे की संभावना में क्या फ़र्क़ है?

हिस्सा आपके सामने के इस एक क्रम को बताता है; बँटवारे की संभावना इस लंबाई के उन सारे क्रमों को बताती है जो इसी बँटवारे पर उतरते हैं। दस उछालों में सात हेड आने पर हिस्सा 70% होता है, और दस निष्पक्ष उछालों में ठीक सात हेड पड़ने की संभावना 11.72%। ये एक ही बात कहने के दो तरीक़े नहीं हैं, और ये उलटी दिशाओं में भी चल सकती हैं: दो सौ उछालों पर हिस्सा आराम से 50% के पास बैठ सकता है जबकि बँटवारे की संभावना 5% से नीचे रहती है, क्योंकि एक ठीक गिनती पर उतरना संकरा निशाना है, चाहे उसके आसपास के इलाक़े में भीड़ लगी हो। हिस्से को नतीजा पढ़िए और बँटवारे की संभावना को हैरानी का बजट।

क्या लगातार नौ हेड आना इस बात का संकेत है कि सिक्का निष्पक्ष नहीं है?

नहीं, और दो सौ उछालों पर तो यह असामान्य भी नहीं है। एक जैसे नतीजों का सबसे लंबा टुकड़ा क्रम की लंबाई के साथ बढ़ता है — धीरे-धीरे, पर बिना किसी छत के — इसलिए लंबा सिलसिला वही है जो निष्पक्ष सिक्के से आख़िरकार बनना ही है। निष्पक्ष सिक्का जो नहीं करता वह याद रखना है: आठ हेड के बाद भी नौवें उछाल पर मौक़ा आधा ही रहता है, और इसीलिए इतनी लंबी श्रृंखलाओं में इस लंबाई के सिलसिले दिखते हैं। किसी सिलसिले को पक्षपात का सबूत पढ़ने का मतलब है क्रम के उस हिस्से को, जो लंबाई के साथ बढ़ता है, किसी स्थिर आँकड़े की तरह पढ़ना — और सबसे लंबे सिलसिले वाली पंक्ति इसीलिए छपती है कि इस अंतर्ज्ञान को भरोसे के बजाय जाँचा जा सके।

दो सौ बार से ज़्यादा उछाल क्यों नहीं सकता?

क्योंकि 200 उस साझा रैंडम कर्नेल की खींचने की सीमा है जिसे यह पेज, पासा रोलर और रैंडम नंबर जनरेटर तीनों इस्तेमाल करते हैं — यह यहाँ चुनी गई सीमा नहीं, विरासत में मिली है, और इसे रखने का मतलब है कि एक ही सीड तीनों पेजों पर एक ही बात कहता है। नतीजा सामने दिखता है: दो सौ उछालों पर क्रम वाली पंक्ति इतनी लंबी हो जाती है कि कई लाइनों में लिपट जाए, और यह इस सीमा का सीधा नतीजा है, कोई दिखाने की ख़राबी नहीं। अगर इससे लंबा क्रम चाहिए तो ईमानदार जवाब यह है कि यह पेज सही औज़ार नहीं है — आपको कोई प्रोग्राम चाहिए, ऐसा क्रम नहीं जिसे आँख से गिनना पड़े।

कैलकुलेटर के नीचे नतीजों की कोई तालिका क्यों नहीं है?

क्योंकि यहाँ जो तालिका काम की होती वह आपका अपना क्रम है, और संदर्भ तालिकाएँ बनाने वाला कोड यह देख ही नहीं सकता कि आपने क्या भरा — वह निर्माण के समय केवल कैलकुलेटर की बनावट से चलता है, इनपुट तक उसकी पहुँच नहीं। सामान्य संभावनाओं और आँकड़ों की कोई तालिका पैनल के नीचे आपके सवाल का जवाब दिखते हुए कोई दूसरा सवाल जवाब देती रहती। इसलिए यह पेज ख़ुद क्रम छाप देता है, पैनल की आख़िरी पंक्ति में, और तालिकाएँ उन पेजों के लिए छोड़ देता है जिनका विषय वाक़ई गिनी-चुनी तय संख्याएँ हैं, कोई एक उछाल नहीं।

H और T अक्षरों का मतलब क्या है, और शब्द क्यों नहीं?

H यानी हेड और T यानी टेल, हर उछाल के लिए एक, उसी क्रम में जिसमें वे खींचे गए। इन्हें हर भाषा में अक्षर ही रखा गया है क्योंकि यह क्रम लिखावट का संकेत है, कोई वाक्य नहीं: उछालों का वही क्रम हर भाषा में एक ही डोरी की तरह पढ़ा जाना चाहिए, और अनुवादित क्रम की तुलना उसके बग़ल की संख्याओं से करना नामुमकिन हो जाता। यह पंक्ति इसीलिए है कि गिनती, हिस्सा और ख़ास तौर पर सबसे लंबा सिलसिला — सब हाथ से जाँचे जा सकें; सबसे लंबा सिलसिला तो किसी और तरह क्रम से पढ़ा ही नहीं जा सकता।

• Coin Tossing — from Wolfram MathWorld (the idealised coin: two sides with equal probability, written H and T) — Wolfram MathWorld
• Run — from Wolfram MathWorld (a run as a sequence of consecutive identical outcomes, and the probability that a run of a given length appears in a given number of tosses) — Wolfram MathWorld
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (the law of large numbers: the relative frequency of heads on a fair coin approaches one half as the number of tosses grows) — OpenStax (Rice University)