Calculatrice de projection vectorielle

s = (u · v) ÷ |v| proj_v u = (s ÷ |v|) · v = ((u · v) ÷ |v|²) · v

vecteur source u

Le vecteur que l’on projette — celui dont on veut l’ombre. Deux ou trois nombres séparés par des espaces ou des virgules. Il peut être le vecteur nul, et sa projection est alors simplement nulle

vecteur cible v

Le vecteur sur lequel tombe l’ombre, et celui qui fournit la direction. Ce champ et l’autre ne sont pas interchangeables : les échanger change la réponse, et c’est pourquoi ils sont étiquetés par leur rôle plutôt que numérotés

u · v

Le produit scalaire des deux vecteurs : chaque couple de composantes multiplié et les produits additionnés. Il apparaît au numérateur des deux formules, et il vaut donc la peine de remarquer qu’un produit scalaire nul signifie que les deux vecteurs sont perpendiculaires — c’est le cas qui donne une projection nulle

|v|

La longueur du vecteur cible, par laquelle le produit scalaire est divisé. Si la cible se trouve avoir une longueur de 1, cette division ne change rien et la projection scalaire se réduit au produit scalaire — la première ligne du tableau de référence est ce cas, et c’est la ligne la plus facile à vérifier à la main

s

La projection scalaire : jusqu’où la source porte le long de la direction de la cible, sous forme d’un nombre signé. Elle est négative quand les deux pointent globalement dans des directions opposées et nulle quand ils sont perpendiculaires. Ce n’est pas la longueur du vecteur source et ce n’est pas le produit scalaire — c’est le produit scalaire divisé par la longueur de la cible

proj_v u

Le vecteur projeté : la projection scalaire multipliée par le vecteur unitaire de la cible, ce qui y remet la direction et donne un vecteur posé exactement sur la droite de la cible. Sa longueur est la valeur absolue de s

signe de s

Ce que fait le fait d’inverser la cible. Changer le signe du vecteur cible change le signe de la projection scalaire, parce que le numérateur change de signe et que la longueur au carré du dénominateur ne change pas — mais le vecteur projeté reste inchangé, puisque la même inversion apparaît une fois en haut et une fois en bas

vecteur cible nul

Refusé. La cible fournit la direction et le diviseur, et le vecteur nul n’a ni l’une ni l’autre : le dénominateur serait nul, et il n’y a aucune droite sur laquelle projeter. Un vecteur source nul est une autre affaire et il est accepté, avec une projection nulle

sans unité

La projection scalaire et les trois composantes du vecteur projeté sont ici des nombres purs. La projection scalaire a la même unité que les composantes saisies, puisqu’elle est une longueur mesurée avec elles, mais rien sur cette page ne sait laquelle c’était

quatre décimales

La largeur avec laquelle les sorties sont écrites. La projection scalaire est souvent une fraction propre des entrées — 11 divisé par 5 donne exactement 2,2 — tandis que les composantes du vecteur sont presque toujours arrondies

Utilisez cette page quand vous voulez la part d’un vecteur qui pointe le long d’un autre, c’est-à-dire l’étape qui se cache derrière toute décomposition en composantes. Prendre les parties horizontale et verticale d’une force est une projection sur les deux axes ; le travail d’une force est la projection de cette force sur la direction du déplacement, multipliée par la distance ; une ombre, une composante le long d’une pente et le coefficient d’un ajustement par les moindres carrés sont tous la même opération. Les deux sorties répondent à deux questions différentes à son sujet. Le scalaire signé répond à combien, y compris dans quel sens : c’est lui qu’on utilise dans la suite des calculs, où une valeur négative signifie que la source penche à l’écart de la cible. Le vecteur répond à où, et c’est lui qu’on utilise quand la réponse doit être un vecteur — il est posé exactement sur la droite de la cible, il peut donc être additionné à autre chose ou dessiné. Inverser le vecteur cible est le moyen le plus rapide de voir la différence : le scalaire change de signe et le vecteur non, parce que le scalaire est mesuré par rapport à une orientation et que le vecteur ne l’est pas. Des vecteurs perpendiculaires donnent une projection nulle dans les deux sorties, et zéro est une vraie réponse — elle dit que la source n’a aucune composante le long de la cible. La seule entrée inutilisable est le vecteur cible nul, puisqu’une direction et un diviseur sont exactement ce qu’il ne fournit pas.

1. 3 4 projeté sur 1 0

   1. Produit scalaire : 3 × 1 + 4 × 0 = 3
   2. Longueur de la cible : |1 0| = 1
   3. Projection scalaire : 3 ÷ 1 = 3
   4. Vecteur projeté : (3 ÷ 1) × (1, 0) = (3, 0, 0)

   L’entrée avec laquelle la page se charge, et le cas où rien n’est caché : la cible est un vecteur unitaire, donc diviser par sa longueur ne change rien et la projection scalaire se réduit au produit scalaire. C’est aussi le cas le plus facile à vérifier à l’œil, parce que la cible est posée sur l’axe des x et que la projection est la source privée de sa composante y. Voilà ce que fait une projection dans le cadre le plus simple possible — elle garde la part du vecteur qui pointe le long de la cible et jette le reste.

2. 1 2 projeté sur 3 4

   1. Produit scalaire : 1 × 3 + 2 × 4 = 11
   2. Longueur de la cible : √(9 + 16) = 5
   3. Projection scalaire : 11 ÷ 5 = 2,2
   4. Vecteur projeté : (2,2 ÷ 5) × (3, 4) = (1,32, 1,76, 0)

   Le cas ordinaire, où la cible n’est pas un vecteur unitaire et où les deux divisions doivent être faites. La projection scalaire tombe juste — 11 divisé par 5 vaut 2,2 — alors que les composantes du vecteur non. Vérifiez que la réponse est réellement posée sur la droite de la cible : 1,32 divisé par 3 vaut 0,44, et 1,76 divisé par 4 vaut 0,44, les deux composantes sont donc dans le même rapport que celles de la cible, ce qui est exactement ce que veut dire être sur cette droite. La longueur de la projection vaut 2,2, le scalaire, comme il se doit.

3. 3 4 projeté sur −1 0

   1. Produit scalaire : 3 × (−1) + 4 × 0 = −3
   2. Longueur de la cible : |−1 0| = 1
   3. Projection scalaire : −3 ÷ 1 = −3
   4. Vecteur projeté : (−3 ÷ 1) × (−1, 0) = (3, 0, 0)

   La même source et la même droite que dans le premier exemple, avec la cible qui pointe dans l’autre sens, et la démonstration la plus claire de ce que chacune des deux sorties sait. La projection scalaire a basculé à −3 : elle se mesure le long d’une orientation, et l’orientation a changé. Le vecteur projeté est identique au chiffre près à celui du premier exemple, (3, 0, 0), parce qu’inverser la cible introduit un signe moins au numérateur et un autre dans la longueur au carré du dénominateur, et que les deux s’annulent. Le scalaire sait dans quel sens pointe la cible ; le vecteur ne connaît que sa droite.

4. 1 0 projeté sur 0 1

   1. Produit scalaire : 1 × 0 + 0 × 1 = 0
   2. Longueur de la cible : |0 1| = 1
   3. Projection scalaire : 0 ÷ 1 = 0
   4. Vecteur projeté : (0 ÷ 1) × (0, 1) = (0, 0, 0)

   Deux vecteurs perpendiculaires, et la projection est nulle dans les deux sorties. C’est une vraie réponse et non un échec : elle dit que la source n’a aucune part qui pointe le long de la cible, ce qui est exactement le sens du mot perpendiculaire. Un produit scalaire nul est le signal à guetter, et c’est le seul moyen d’obtenir une projection scalaire nulle sans que l’un des vecteurs soit nul. Les deux vecteurs mesurent une unité ici, aucun n’est donc petit — une projection nulle entre deux vecteurs de pleine longueur mérite un temps d’arrêt la première fois qu’elle apparaît.

5. 0 0 projeté sur 3 4

   1. Produit scalaire : 0 × 3 + 0 × 4 = 0
   2. Longueur de la cible : √(9 + 16) = 5
   3. Projection scalaire : 0 ÷ 5 = 0
   4. Vecteur projeté : (0 ÷ 5) × (3, 4) = (0, 0, 0)

   Le vecteur nul comme source : chaque produit du produit scalaire est nul, les deux sorties sont donc nulles sans qu’aucun problème de division n’apparaisse. Rien sur cette page ne refuse cette entrée. Le refus va dans l’autre sens — c’est le vecteur cible qui ne doit pas être nul, parce qu’il fournit la direction et le diviseur, et une projection sur le vecteur nul n’a aucune droite sur laquelle atterrir.

Les deux vecteurs doivent avoir le même nombre de composantes, et chacun doit en avoir deux ou trois. Les deux champs ne sont pas interchangeables et les étiquettes disent lequel est lequel : la source est le vecteur que l’on projette et la cible celui sur lequel on projette. Les échanger produit une autre réponse qui a l’air parfaitement raisonnable, donc si un résultat vous surprend, vérifiez les deux champs avant de vérifier le calcul. Le vecteur cible ne doit pas être le vecteur nul, parce qu’il fournit à la fois la direction et le diviseur ; le vecteur source peut être nul, et sa projection est alors nulle. Les composantes se lisent comme des nombres ordinaires : une virgule suivie d’un espace sépare deux composantes, une virgule sans espace après elle se lit comme un séparateur décimal (1,5 vaut un et demi), et un groupement de milliers est refusé plutôt que deviné — écrivez 1500, pas 1 500. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision, et le vecteur projeté est calculé à partir du scalaire non arrondi, si bien que relire une composante et la diviser par la composante correspondante de la cible peut ne pas redonner exactement le scalaire affiché. Le tableau de référence montre les vecteurs cible et source tels qu’ils ont été saisis et les quatre sorties, et il n’a délibérément aucune ligne pour un vecteur cible nul, que cette page ne sait pas calculer. Un recoupement mérite d’être nommé : le produit scalaire apparaît dans la formule de la projection comme numérateur, et le vecteur unitaire apparaît dans la seconde formule comme la direction que l’on remultiplie — cette page s’appuie donc sur ces deux outils sans être ni l’un ni l’autre, et la projection est le quotient, ni le produit scalaire ni un vecteur normalisé.

Quelle est la différence entre la projection scalaire et le vecteur projeté ?

La projection scalaire est un nombre signé unique : jusqu’où la source porte le long de la direction de la cible, négatif quand les deux penchent à l’écart l’un de l’autre. Le vecteur projeté est cette même distance écrite sous forme de vecteur pointant le long de la droite de la cible. Le scalaire sait dans quel sens pointe la cible et le vecteur ne le sait pas — inversez la cible et le scalaire change de signe tandis que le vecteur projeté reste inchangé. Utilisez le scalaire dans la suite des calculs et le vecteur quand la réponse doit être un vecteur.

Pourquoi la projection scalaire est-elle parfois négative ?

Parce que le vecteur source penche à l’écart de la cible plutôt que vers elle. La projection scalaire se mesure le long d’une orientation, donc quand les deux vecteurs pointent globalement dans des directions opposées la réponse est négative. Ce n’est pas une erreur et ce n’est pas une convention de signe que l’on pourrait abandonner : une force qui tire vers l’arrière le long d’une direction a réellement une composante négative le long de celle-ci, et un travail peut sortir négatif pour la même raison.

Lequel des deux vecteurs est celui que l’on projette ?

Le vecteur source, dans le premier champ. Le second champ est le vecteur cible, qui fournit la direction le long de laquelle l’ombre tombe. Les deux ne sont pas interchangeables sur cette page : projeter u sur v et projeter v sur u sont deux nombres différents, et si vous échangez les deux champs la réponse change sans que rien n’ait l’air cassé. C’est pourquoi les champs sont étiquetés par leur rôle au lieu de s’appeler vecteur u et vecteur v.

Que se passe-t-il quand les deux vecteurs sont perpendiculaires ?

Les deux sorties sont nulles, et c’est une vraie réponse plutôt qu’un échec. Un produit scalaire nul signifie que les deux vecteurs sont perpendiculaires — c’est le seul moyen d’obtenir une projection scalaire nulle sans que l’un des vecteurs soit lui-même nul — et une projection nulle dit que la source n’a aucune part qui pointe le long de la cible. La quatrième ligne du tableau de référence est ce cas. Des forces perpendiculaires ne travaillent pas l’une sur l’autre, ce qui est la même affirmation en physique.

Le vecteur que l’on projette peut-il être le vecteur nul ?

Oui, et les deux sorties sont nulles : chaque produit du produit scalaire est nul, et la division se fait par la longueur de la cible, ce qui ne pose aucun problème. Le refus, sur cette page, va dans l’autre sens. C’est le vecteur cible qui ne doit pas être nul, parce qu’il fournit la direction et le diviseur, et il n’y a aucune droite sur laquelle projeter le vecteur nul.

Quelle est la formule de la projection ?

La projection scalaire est le produit scalaire des deux vecteurs divisé par la longueur de la cible : s = (u · v) ÷ |v|. Le vecteur projeté multiplie ce scalaire par le vecteur unitaire de la cible, ce qui revient au produit scalaire fois la cible divisé par la longueur de la cible au carré. Quand la cible a déjà une longueur de 1, les deux formules se simplifient et la projection scalaire est simplement le produit scalaire, ce qui explique que la première ligne du tableau de référence soit celle à vérifier à la main.

• Scalar projection — the length of the shadow one vector casts along another, signed, which is the first of this page's two outputs — Wolfram MathWorld (United States)
• Dot product — the sum of the products of corresponding components, which is the numerator of the projection and the quantity whose being zero means the vectors are perpendicular — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing along the target, which is what the scalar projection is multiplied by to give the projection vector — Wolfram MathWorld (United States)
• Projection — la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre, et son écriture à partir du produit scalaire — Bibm@th, encyclopédie des mathématiques (France)