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CalcMax

Calculatrice d’addition de vecteurs

Résultat

4,0000

Composante x de la résultante

Composante y de la résultante
6,0000
Composante z de la résultante
0,0000
Norme de la résultante
7,2111

Une calculatrice d’addition de vecteurs additionne ou soustrait deux vecteurs composante par composante et affiche le résultat sous la forme de trois composantes plus sa longueur. Saisissez chaque vecteur comme une liste de nombres — 3 4 et 1 2 — puis choisissez si vous voulez les additionner ou les retrancher. Additionner deux vecteurs revient à additionner les premières composantes, puis les deuxièmes, puis les troisièmes, et à laisser ces totaux devenir les composantes de la réponse. Il n’y a aucune multiplication entre eux et aucun angle à calculer, et c’est ce qui rend l’addition de vecteurs tellement plus simple que leur multiplication : l’opération ne mélange jamais une composante avec une autre. La soustraction de vecteurs est la même opération avec les signes du second vecteur inversés, si bien que u − v et u + (−v) sont un seul et même calcul écrit de deux façons, et les deux vivent ici derrière un seul contrôle parce que le signe est toute la différence. Deux ou trois composantes sont acceptées et les deux vecteurs doivent en avoir le même nombre. Le résultat peut parfaitement être le vecteur nul — ajouter un vecteur à son opposé est une somme correcte, pas un échec — donc rien sur cette page ne refuse une entrée pour avoir produit des zéros.

Vecteurs et leurs sommes

Vecteur uVecteur vComposante x de u + vComposante y de u + vComposante z de u + vNorme de u + v
3 41 24607.2111
1 00 11101.4142
1 1 11 1 12223.4641
2 -34 56206.3246
-1 23 -52-303.6056
1 0 01 0 02002
1 2 3-1 -2 -30000
3 4 -51 2 246-37.8102

Huit couples de vecteurs et leurs sommes, avec la longueur de chaque somme dans la dernière colonne. Ce tableau ne concerne que l’addition : l’option de soustraction de la page ne peut pas y figurer parce qu’il est produit sans savoir quelle option est choisie, la soustraction est donc laissée aux exemples et à une phrase — soustrayez en inversant les signes du second vecteur, puis additionnez. La première ligne est le couple avec lequel la page se charge. La deuxième est le couple posé sur les deux axes, perpendiculaires l’un à l’autre, et sa longueur est la plus petite du tableau par rapport aux deux entrées : √2 contre des longueurs de 1 et de 1. La troisième ligne est la première des deux lignes de même direction, où le second vecteur est une copie exacte du premier et où la réponse vaut le double de celui-ci ; ici la longueur de la somme est réellement la somme des longueurs, 2√3, et c’est le seul genre de couple pour lequel c’est vrai. Les quatrième et cinquième lignes font intervenir des composantes négatives selon deux motifs différents, l’un où les signes s’annulent dans la composante x et l’un où la première composante plus grande du second vecteur fait passer la somme de l’autre côté de zéro. La sixième ligne est le second cas de même direction, et le plus facile à vérifier à l’œil : les deux entrées mesurent une unité et la somme vaut deux. La septième ligne est un vecteur ajouté à son opposé exact, ce qui donne le vecteur nul et une longueur de 0 — l’extrême opposé, et un résultat ordinaire plutôt qu’une erreur. La huitième ligne est en trois dimensions sans composante nulle, sa troisième colonne fait donc un vrai travail. Chaque valeur est recalculée à la construction de la page ; les espaces contenus dans les deux premières colonnes sont des séparateurs et non des chiffres. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (7.2111 plutôt que 7,2111), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) u − v = u + (−v) |u + v| = √(w₁² + w₂² + w₃²)

vecteur u
Le premier vecteur, sous forme d’une liste de deux ou trois nombres séparés par des espaces ou des virgules. Lequel des deux champs il occupe ne change pas la réponse pour l’addition et ne fait que retourner le signe pour la soustraction, rien n’est donc perdu à le traiter simplement comme le premier
vecteur v
Le second vecteur, écrit de la même façon. Il doit avoir le même nombre de composantes que le premier : il n’existe pas de règle pour additionner un vecteur à deux composantes et un vecteur à trois composantes, puisque le troisième nombre n’aurait rien avec quoi s’apparier
u + v
La somme, calculée composante par composante. Chaque composante de la réponse n’utilise que les composantes situées à la même position dans les deux entrées — les premières ensemble, les deuxièmes ensemble, et ainsi de suite
u − v
La différence, qui est la somme après avoir inversé le signe de chaque composante du second vecteur. Retourner le signe du second vecteur est toute la différence entre additionner et soustraire, et c’est pourquoi un seul contrôle sert pour les deux
composantes x, y et z de la résultante
Les trois lignes de la réponse, à lire ensemble comme un seul vecteur. La troisième vaut 0 chaque fois que les deux entrées sont des vecteurs à deux composantes : ce zéro n’est pas du remplissage mais ce à quoi ressemble la même direction écrite en trois coordonnées
|u + v|
La longueur du vecteur obtenu, c’est-à-dire la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. C’est une question distincte des trois composantes et elle mérite sa propre ligne : les composantes disent où la réponse pointe, la longueur dit jusqu’où elle porte
addition ou soustraction
Le seul choix que cette page demande, et la seule chose qui change entre les deux modes. Les deux mêmes champs et les quatre mêmes lignes de résultat servent dans les deux cas ; seul le calcul change
vecteur nul
Un vecteur dont toutes les composantes valent 0. Une somme ou une différence peut être le vecteur nul et c’est une réponse correcte, pas un échec — ajouter un vecteur à son opposé donne exactement cela, et le tableau de référence contient une ligne où cela arrive
quatre décimales
La largeur avec laquelle les sorties sont écrites. Les composantes sont exactes chaque fois que les entrées sont des nombres entiers, puisqu’il n’y a que des additions et des soustractions ; l’arrondi concerne la longueur, qui est une racine carrée

Prenez cette page quand deux vecteurs agissent en même temps sur une même chose et que vous voulez leur effet combiné. Deux forces sur un objet, deux vitesses qui s’ajoutent dans un courant, deux déplacements faits l’un après l’autre — tout cela est de l’addition composante par composante, et la réponse est le vecteur unique qui ferait le travail des deux. La soustraction répond à l’autre moitié de la même question : u − v est le vecteur qui mène de l’extrémité de v à l’extrémité de u, et c’est pourquoi c’est l’opération qui se cache derrière tout calcul de position ou de vitesse relative. La raison pour laquelle les vecteurs s’additionnent si facilement est que les composantes ne se mélangent jamais — chaque position de la réponse ne dépend que de la même position dans les entrées et de rien d’autre — et cela vaut la peine d’être su parce que ce n’est pas vrai de la multiplication, où chaque composante de la réponse dépend de toutes les composantes des deux entrées et où un angle fait son apparition. Deux composantes et trois composantes conviennent également, et les deux entrées doivent s’accorder entre elles. Une somme nulle est un résultat ordinaire : un vecteur plus son opposé donne zéro, et zéro est un vecteur parfaitement valable. La seule chose à ne pas confondre est que la longueur affichée à côté est la longueur du résultat et non la somme des deux longueurs d’entrée — à moins que les deux vecteurs pointent dans la même direction, ce sont deux nombres différents, et l’écart entre les deux est exactement la raison pour laquelle on n’additionne pas des vecteurs en additionnant leurs longueurs.

Exemples détaillés

  1. 3 4 + 1 2

    1. Composante x : 3 + 1 = 4
    2. Composante y : 4 + 2 = 6
    3. Composante z : 0 + 0 = 0, puisque les deux entrées sont des vecteurs à deux composantes
    4. Norme : √(16 + 36 + 0) = √52 = 7,211103

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et un cas où chaque étape est visible. Les deux vecteurs pointent à peu près dans la même direction, la réponse est donc longue : 7,2111 contre des longueurs d’entrée de 5 et de 2,2361, dont la somme vaudrait 7,2361. Les deux sont proches ici mais pas égales, et elles ne sont égales que lorsque les deux vecteurs pointent exactement dans la même direction — deux lignes du tableau de référence sont ce cas, et partout ailleurs la somme y sort plus courte que les deux longueurs additionnées.

  2. 3 4 − 1 2

    1. Composante x : 3 − 1 = 2
    2. Composante y : 4 − 2 = 2
    3. Composante z : 0 − 0 = 0
    4. Norme : √(4 + 4) = √8 = 2,828427

    Les deux mêmes vecteurs que dans le premier exemple avec l’autre option choisie, et la seule chose qui a changé est le signe appliqué à la seconde entrée. La réponse vaut en pratique 2u − (u + v) et sort bien plus courte que chacune des deux entrées, parce que les deux vecteurs pointent dans des directions voisines et que les séparer laisse peu de chose. Passer de cet exemple au premier est le moyen le plus rapide de voir ce que fait le contrôle.

  3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

    1. Composante x : 1 + (−1) = 0
    2. Composante y : 2 + (−2) = 0
    3. Composante z : 3 + (−3) = 0
    4. Norme : √(0 + 0 + 0) = 0

    Un vecteur ajouté à son propre opposé, ce qui donne le vecteur nul. Rien n’a mal tourné : les deux flèches ont la même longueur et des directions opposées, le trajet qu’elles décrivent se termine donc là où il a commencé. La page le rapporte au lieu de le refuser, et la septième ligne du tableau de référence est le même cas. Basculez le contrôle sur la soustraction avec la même entrée et la réponse double à la place — 2 4 6 avec une longueur de 7,4833 — ce qui est l’illustration la plus claire qui soit de l’effet d’un signe.

  4. −1 2 − 3 −5

    1. Composante x : −1 − 3 = −4
    2. Composante y : 2 − (−5) = 2 + 5 = 7
    3. Composante z : 0 − 0 = 0
    4. Norme : √(16 + 49) = √65 = 8,062258

    Le cas où les signes ne s’annulent pas et où le calcul doit être fait avec attention. Soustraire moins cinq revient à ajouter cinq, la composante y monte donc jusqu’à 7, et la composante x devient négative parce que la première composante du second vecteur est plus grande. Le résultat est plus long que chacune des deux entrées, ce qui arrive chaque fois que les deux vecteurs pointent dans des directions opposées — et la longueur en est le signe le plus net, puisque des composantes −4 et 7 ne ressemblent pas à un long vecteur avant d’être mises au carré et additionnées.

Limites

Les deux vecteurs doivent avoir le même nombre de composantes, et chacun doit en avoir deux ou trois : le panneau comporte trois lignes de composantes, et un désaccord laisserait le troisième nombre d’une entrée sans rien avec quoi s’apparier. Un vecteur à deux composantes n’est pas complété jusqu’à trois — il est dans le plan, et le 0 affiché sur la troisième ligne est ce à quoi ressemble cette direction en trois coordonnées. Les composantes se lisent comme des nombres ordinaires : une virgule suivie d’un espace sépare deux composantes, une virgule sans espace après elle se lit comme un séparateur décimal (1,5 vaut un et demi), et un groupement de milliers est refusé plutôt que deviné — écrivez 1500, pas 1 500. Le tableau de référence ne montre que l’addition, parce qu’il est produit sans savoir quelle option est sélectionnée ; la soustraction, ce sont les mêmes lignes avec les signes du second vecteur inversés, et les exemples ci-dessus la couvrent. La longueur affichée à côté du résultat est la longueur du résultat et non la somme des deux longueurs d’entrée. Additionner les deux longueurs ne donne la bonne réponse que lorsque les vecteurs pointent exactement dans la même direction ; ajouter un vecteur à son opposé donne 0 plutôt que le double de la longueur, ce qui est aussi loin que possible de ce cas. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision. Rien ici ne sait dans quoi les composantes ont été mesurées, et la réponse porte l’unité qu’elles portaient — les composantes et la longueur sont toutes dans cette même unité, les trois composantes ne doivent donc pas se lire comme une longueur à elles seules.

Questions fréquentes

Que signifie additionner deux vecteurs ?
Additionner deux vecteurs signifie additionner leurs composantes position par position : les premières ensemble, puis les deuxièmes, puis les troisièmes, et les trois totaux sont les composantes de la réponse. Rien n’est multiplié et aucun angle n’est nécessaire, et c’est ce qui rend l’addition de vecteurs tellement plus facile que leur multiplication — les composantes ne se mélangent jamais, chaque terme de la réponse ne dépend donc que d’un seul terme de chaque entrée.
En quoi la soustraction de vecteurs diffère-t-elle de l’addition ?
Par un signe. Soustraire, c’est additionner après avoir inversé le signe du second vecteur, si bien que u − v et u + (−v) sont le même calcul écrit de deux façons. C’est pourquoi les deux vivent derrière un seul contrôle sur cette page : le calcul qui change tient en un signe, et les mettre côte à côte avec les mêmes entrées est la façon la plus claire de le voir. Retirez 1 2 de 3 4 et vous obtenez 2 2 ; additionnez-les et vous obtenez 4 6.
La somme peut-elle être le vecteur nul ?
Oui, et c’est une réponse correcte plutôt qu’un échec. Ajouter un vecteur à son opposé exact donne zéro : les deux flèches ont des longueurs égales et des directions opposées, le déplacement qu’elles décrivent revient donc à son point de départ. La page affiche 0 pour les trois composantes et une longueur de 0. La septième ligne du tableau de référence est ce cas, et la même entrée avec la soustraction donne 2u à la place.
Les deux vecteurs doivent-ils avoir le même nombre de composantes ?
Oui. Il n’existe pas de règle pour additionner un vecteur à deux composantes et un vecteur à trois composantes, parce que le troisième nombre n’aurait rien avec quoi s’apparier. Chaque entrée peut avoir deux ou trois composantes — c’est la limite du panneau, pas celle du calcul — mais les deux nombres de termes doivent correspondre, et la page le dit au lieu de traiter discrètement le terme manquant comme un zéro.
La longueur de la somme est-elle la somme des longueurs ?
Non, et c’est l’erreur que cette page veut le plus éviter. La longueur de la somme n’est égale à la somme des deux longueurs que lorsque les vecteurs pointent exactement dans la même direction ; quand ils pointent dans des directions opposées elle peut valoir la différence des longueurs, et quand ils sont perpendiculaires elle est plus petite que chacune des deux. La raison est que les composantes peuvent s’annuler en partie, et le sens de cette annulation dépend des directions plutôt que des longueurs.
Puis-je additionner un vecteur à deux dimensions et un vecteur à trois dimensions ?
Non, et la page le refuse plutôt que de remplir la troisième composante manquante par un zéro. Un vecteur à deux composantes est un vecteur du plan, ce qui revient à un vecteur à trois composantes dont la troisième vaut 0 — mais c’est un fait sur la façon dont le plan est plongé dans l’espace, et ce n’est pas une autorisation d’additionner un nombre avec rien. Écrivez explicitement la troisième composante si c’est ce que vous voulez dire.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de vecteursNorme, direction et composantes d’un vecteur.Calculatrice de norme de vecteurLongueur d’un vecteur en deux ou trois dimensions.Calculatrice de projection vectorielleProjection d’un vecteur sur un autre, et sa norme.