Calculatrice de vecteurs

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) û = u ÷ |u|

vecteur u

La seule entrée : deux ou trois nombres séparés par des espaces ou des virgules. Deux termes font un vecteur du plan et trois un vecteur de l’espace, et c’est le nombre de termes qui dit ce que vous vouliez — il n’y a aucun réglage de dimension à changer

u = (u₁, u₂, u₃)

Les composantes : les nombres que vous avez saisis, relus sous forme de vecteur. La troisième vaut 0 pour une entrée à deux composantes, ce qui n’est pas du remplissage — c’est à cela que ressemble la même direction écrite en trois coordonnées

|u|

La norme : chaque composante au carré, les carrés additionnés, et la racine carrée prise. C’est la première ligne de résultat et la réponse à la question de la taille du vecteur

û

Le vecteur unitaire, appelé aussi la direction : chaque composante divisée par la norme. Il pointe exactement sur la même droite que l’entrée et a une longueur de 1 par construction, les valeurs qu’il porte sont donc la direction et rien d’autre

u ÷ |u|

La division qui sépare les deux lectures. Les composantes sont ce qui est entré, les composantes du vecteur unitaire sont cela divisé par la longueur, et cette page affiche les deux pour que l’étape soit visible plutôt que sous-entendue — ce que les pages voisines ne font pas

vecteur nul

Refusé, et la raison est étroite : sa norme vaut 0, la division qui donne le vecteur unitaire serait donc 0 ÷ 0 et il n’y a aucune direction à rapporter. Le vecteur nul n’est pas une entrée illégale — la page de la norme répond 0 à la même liste de zéros — mais cette page promet trois lectures et ne peut en fournir que deux

deux composantes

Accepté. Un vecteur à deux composantes est un vecteur du plan, sa norme est la même racine carrée avec deux termes dessous, et la troisième composante de chaque sortie vaut 0

quatre décimales

La largeur avec laquelle les sorties sont écrites. Les lignes de composantes reproduisent l’entrée exactement chaque fois qu’elle était un nombre entier ou un décimal fini ; la norme est souvent un nombre entier ; le vecteur unitaire est presque toujours arrondi, puisqu’une division par une racine carrée se termine rarement

sans unité

Les composantes, la norme et les composantes du vecteur unitaire sont toutes des nombres purs. Rien ici ne sait dans quoi les composantes ont été mesurées, et les trois lectures portent cette même unité inconnue — sauf le vecteur unitaire, qui est sans dimension

Utilisez cette page quand vous avez un seul vecteur et que vous voulez tout ce qui peut s’en dire sans en faire intervenir un second. Les lignes de composantes sont l’entrée relue sous forme de nombres, utiles quand la saisie a été écrite à la main et que vous voulez voir comment elle a été interprétée ; la ligne de la norme dit quelle taille il fait ; les lignes du vecteur unitaire disent de quel côté il pointe. Ces deux dernières forment le couple qui compte le plus en pratique, parce qu’à elles deux elles sont les deux moitiés d’un vecteur — une taille et une direction — et que cette page est l’endroit où elles se comparent directement. C’est un résumé plutôt qu’un substitut : si vous ne voulez que la longueur, une page qui n’affiche que la longueur répond plus vite, et il en va de même pour la direction, tandis que pour tout travail à deux vecteurs — additionner, projeter, faire un produit scalaire — il vous faut une page à deux champs. Ce que cette page ajoute est la vue côte à côte. Les lignes du vecteur unitaire sont les lignes de composantes divisées par la norme, affichées dans un même panneau, la division peut donc se lire au lieu d’être prise sur parole. Deux ou trois composantes sont acceptées l’une comme l’autre, et la troisième composante d’un vecteur à deux composantes vaut 0 partout. Le vecteur nul est la seule entrée refusée, et il est refusé parce que l’une des trois lectures promises n’existe pas pour lui, et non parce que l’entrée serait invalide.

1. 3 4

   1. Composantes : l’entrée relue vaut (3, 4, 0)
   2. Norme : √(9 + 16) = √25 = 5
   3. Vecteur unitaire, composante x : 3 ÷ 5 = 0,6
   4. Vecteur unitaire, composante y : 4 ÷ 5 = 0,8
   5. Vecteur unitaire, composante z : 0 ÷ 5 = 0

   L’entrée avec laquelle la page se charge, et la ligne qui montre pourquoi les composantes sont affichées. Chaque nombre du second groupe est un nombre du premier groupe divisé par 5, et avoir les deux groupes à l’écran signifie que la division se lit directement au lieu d’être refaite. La norme est ici un nombre entier parce que 3-4-5 est un triangle rectangle, ce qui explique aussi que les deux composantes du vecteur unitaire tombent juste. Vérifiez la division dans l’autre sens : 0,6 fois 5 vaut 3 et 0,8 fois 5 vaut 4, donc multiplier le vecteur unitaire par la norme redonne le vecteur.

2. 0 0 5

   1. Composantes : l’entrée relue vaut (0, 0, 5)
   2. Norme : √(0 + 0 + 25) = 5
   3. Vecteur unitaire, composante x : 0 ÷ 5 = 0
   4. Vecteur unitaire, composante y : 0 ÷ 5 = 0
   5. Vecteur unitaire, composante z : 5 ÷ 5 = 1

   Un vecteur posé sur l’axe des z, et le cas où les lignes de composantes gagnent leur place le plus clairement. L’entrée telle qu’elle a été saisie, 0 0 5, pourrait se lire comme un vecteur à un seul nombre ; les lignes de composantes montrent clairement qu’il s’agit d’un vecteur à trois dimensions dont les deux premières composantes se trouvent être nulles. Le vecteur unitaire est alors la direction de l’axe elle-même, 0 0 1, et la troisième lecture est la vérification la plus simple possible de la division : 5 divisé par 5 vaut 1 et 0 divisé par 5 vaut 0.

3. 2 3 6

   1. Composantes : (2, 3, 6)
   2. Norme : √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   3. Vecteur unitaire, composante x : 2 ÷ 7 = 0,285714
   4. Vecteur unitaire, composante y : 3 ÷ 7 = 0,428571
   5. Vecteur unitaire, composante z : 6 ÷ 7 = 0,857143

   Le cas ordinaire en trois dimensions, et celui qui montre que les trois lectures sont réellement des nombres différents. La norme est un nombre entier, 7, alors qu’aucune composante du vecteur unitaire ne l’est : toutes les trois sont des décimaux périodiques arrondis à quatre rangs. Les composantes elles-mêmes sont exactes, et les comparer au groupe du vecteur unitaire est tout le calcul — 2 sur 7, 3 sur 7, 6 sur 7. Remarquez aussi que la plus grande composante, 6, donne la plus grande composante du vecteur unitaire, puisque diviser trois nombres par une même valeur ne peut pas les réordonner.

4. −3 4

   1. Composantes : (−3, 4, 0)
   2. Norme : √(9 + 16) = 5, la même que pour 3 4
   3. Vecteur unitaire, composante x : −3 ÷ 5 = −0,6
   4. Vecteur unitaire, composante y : 4 ÷ 5 = 0,8
   5. Vecteur unitaire, composante z : 0 ÷ 5 = 0

   Le premier exemple avec un signe changé, et la ligne qui montre jusqu’où le signe porte parmi les trois lectures. La norme ne change pas, elle vaut 5, parce que changer le signe d’une composante ne modifie pas la somme de ses carrés. Les composantes gardent le signe, évidemment. Le vecteur unitaire le garde aussi, parce que diviser par une longueur positive ne peut pas retourner un vecteur — donc sur les trois lectures, seules les lignes des composantes et du vecteur unitaire portent la direction, et la norme est celle qui ne le peut pas. Reconstituez le tableau de la page à côté de cet exemple : les deux lignes se suivent et ne diffèrent que par un signe.

Deux ou trois composantes sont acceptées et rien d’autre. Les recoupements avec les outils voisins sont réels et méritent d’être nommés, puisque cette page est un résumé et que les voisines sont des spécialistes : la ligne de la norme porte exactement le même nombre que la page de la norme d’un vecteur, les trois lignes du vecteur unitaire portent exactement les mêmes nombres que la page du vecteur unitaire, et aucune de ces deux pages n’affiche les composantes. Si ce que vous voulez est l’une de ces réponses isolées, la page plus courte la donne plus vite ; ce que cette page ajoute, ce sont les composantes à côté du vecteur unitaire, seul endroit où la division est visible en tant que division. Elle traite un seul vecteur, donc tout ce qui en implique deux — additionner, soustraire, projeter, faire un produit scalaire, un angle — appartient aux pages à deux champs. Le vecteur nul est refusé : sa norme vaut 0 et il n’a pas de direction, les lignes du vecteur unitaire ne pourraient donc pas être remplies, et le panneau affiche un nombre pour chaque ligne ou pour aucune. Ce refus concerne la promesse de cette page et non l’entrée, à laquelle la page de la norme répond 0. Les composantes se lisent comme des nombres ordinaires : une virgule suivie d’un espace sépare deux composantes, une virgule sans espace après elle se lit comme un séparateur décimal (1,5 vaut un et demi), et un groupement de milliers est refusé plutôt que deviné — écrivez 1500, pas 1 500. Un vecteur à deux composantes est accepté et sa troisième composante vaut 0 partout plutôt que d’être absente. Rien ici ne sait dans quoi les composantes ont été mesurées — le vecteur unitaire est sans dimension, et les composantes comme la norme portent l’unité que l’entrée portait. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision.

Qu’est-ce que cette page apporte que les autres pages de vecteurs n’apportent pas ?

Les composantes, affichées sous forme de nombres à côté du vecteur unitaire dans lequel elles ont été divisées. La ligne de la norme porte le même nombre que la page de la norme d’un vecteur et les lignes du vecteur unitaire portent les mêmes nombres que la page du vecteur unitaire, les lectures elles-mêmes ne sont donc pas nouvelles. Ce qui est nouveau, c’est de les avoir dans un même panneau avec les composantes, seul endroit où l’on voit 3 et 4 dans un groupe et 0,6 et 0,8 dans le suivant et où l’on lit la division directement.

Lequel de ces nombres est la direction ?

Les trois lignes du vecteur unitaire, et elles doivent se lire ensemble : une composante seule n’est pas une direction. Le vecteur unitaire pointe exactement sur la même droite que le vecteur que vous avez saisi, la longueur en ayant été retirée, sa propre longueur vaut donc 1 dans tous les cas et les valeurs qu’il porte ne concernent que la direction. La ligne de la norme au-dessus est un nombre unique et ne peut pas du tout exprimer une direction, ce qui explique que les trois lignes soient nécessaires.

Pourquoi afficher les composantes alors que je les ai saisies moi-même ?

Parce que voir l’entrée sous forme de nombres à côté du vecteur unitaire est tout l’intérêt de la page. Cela règle aussi la façon dont la saisie a été lue : 0 0 5 telle quelle pourrait passer pour un vecteur à un seul nombre, et les lignes de composantes montrent qu’il s’agit d’un vecteur à trois dimensions dont deux composantes sont nulles. Sans elles, le panneau afficherait une norme et une direction sans lien visible entre l’entrée et l’une ou l’autre.

Pourquoi le vecteur nul est-il refusé ici alors que la page de la norme l’accepte ?

Parce que cette page promet trois lectures et que deux seulement existent pour le vecteur nul : les composantes valent 0 0 0 et la norme vaut 0, mais il n’y a pas de direction — le normaliser reviendrait à diviser par une longueur nulle. La page de la norme promet une seule lecture et peut la fournir, la même entrée y reçoit donc une réponse. Le panneau affiche une valeur pour chaque ligne, un résultat partiellement vide n’est donc pas quelque chose que cette page sait montrer.

En quoi est-ce différent de la calculatrice de norme de vecteur ?

Cette page-là répond à une question et celle-ci à trois ; le nombre de la norme lui-même est identique sur les deux. Si la longueur est tout ce que vous voulez, la page plus courte y arrive plus vite. Cette page-ci est pour le cas où vous voulez la longueur et la direction et où vous voulez voir comment elles se rapportent l’une à l’autre — les composantes du vecteur unitaire sont les composantes divisées par la norme, et avoir les deux à l’écran transforme cela en quelque chose que l’on vérifie plutôt qu’en quelque chose que l’on croit sur parole.

Puis-je saisir un vecteur à deux dimensions ?

Oui, et la troisième composante de chaque ligne revient à 0. Un vecteur à deux composantes est un vecteur du plan, ce qui revient à un vecteur à trois dimensions dont la troisième composante vaut 0, un seul panneau sert donc aux deux sans réglage de dimension. La norme est la même racine carrée avec deux termes dessous, et le vecteur unitaire est les deux composantes divisées par cette longueur.

• Vector — the object this page describes, including the definition of its components and of the two quantities derived from them here, its magnitude and its direction — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the first of this page's three readings — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is how the direction reading is expressed and what the division by the magnitude produces — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; les vecteurs du plan et leurs opérations linéaires ne relèvent pas des cycles de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部