Qu’appelle-t-on la norme d’un vecteur ?

C’est la longueur du vecteur : chaque composante au carré, les carrés additionnés, et la racine carrée de ce total. C’est un nombre unique, et il dit quelle taille fait le vecteur sans rien dire de la direction dans laquelle il pointe. Un vecteur tracé de l’origine à un point a la même norme que la distance de l’origine à ce point, ce qui explique que l’expression ressemble à la formule de la distance — c’est la formule de la distance.

Comment calculer la longueur d’un vecteur à la main ?

On met chaque composante au carré, on additionne les carrés et on prend la racine carrée du total. Pour 3 4, cela fait 9 plus 16, c’est-à-dire 25, et la racine de 25 vaut 5. Pour 1 1, cela fait 1 plus 1, c’est-à-dire 2, et la racine de 2 vaut 1,4142 à quatre rangs. L’étape du milieu est la seule où l’on peut se tromper, et c’est celle que le tableau de référence de la page détaille pour chaque ligne.

Puis-je saisir un vecteur du plan ou un vecteur de l’espace ?

L’un ou l’autre, et il n’y a aucun réglage à changer : deux termes font un vecteur à deux dimensions et trois termes un vecteur à trois dimensions. Le même champ accepte les deux parce que le calcul est le même — un vecteur du plan est un vecteur de l’espace dont la troisième composante vaut 0, et sa longueur est la même racine carrée avec deux termes dessous au lieu de trois.

Quelle est la norme du vecteur nul ?

Zéro, et cette page la rapporte au lieu de refuser l’entrée. Chaque composante vaut 0, donc chaque carré vaut 0, donc la somme vaut 0 et sa racine vaut 0. Rien dans le calcul n’a divisé par la longueur, ce qui est la raison pour laquelle il n’y a pas d’erreur ici — la page du vecteur unitaire refuse cette même entrée précisément parce que chez elle la longueur est un diviseur.

La norme me donne-t-elle la direction ?

Non, et elle ne le peut pas : c’est un nombre unique, et une direction en demande au moins deux. Les vecteurs 3 4, −3 4 et 0 5 ont trois directions différentes et tous les trois mesurent cinq, la longueur ne permet donc pas de les distinguer. Si c’est la direction qu’il vous faut, lisez les composantes directement ou normalisez le vecteur en un vecteur unitaire, qui garde la direction et jette la longueur à la place.

À quoi sert une norme de vecteur ?

À comparer des grandeurs et à alimenter l’étape suivante d’un calcul plus long. Deux forces ou deux vitesses se classent par leur norme quand les directions sont hors sujet. C’est aussi le nombre par lequel beaucoup d’autres formules divisent ou multiplient — la normalisation d’un vecteur, la projection d’un vecteur sur un autre et le produit scalaire le consomment tous — si bien qu’on le calcule souvent pour lui-même même quand la longueur n’est pas la réponse finale.

Calculatrice de norme de vecteur

Résultat

5,0000

Norme du vecteur

Une calculatrice de norme de vecteur donne la longueur d’un vecteur à partir de ses composantes. Saisissez deux ou trois nombres séparés par des espaces ou des virgules — 3 4, ou 2 3 6 pour un vecteur de l’espace — et la page met chaque composante au carré, additionne les carrés et prend la racine carrée. Ce nombre unique est la norme du vecteur, et c’est aussi la distance de l’origine au point que ces composantes désignent, puisque la longueur d’une flèche tracée depuis l’origine vaut exactement cette distance. Deux composantes et trois composantes sont acceptées l’une comme l’autre, et c’est le nombre de termes saisis qui dit laquelle vous vouliez. Le fait que la réponse tienne en un seul nombre est à la fois son usage et sa limite : c’est ainsi que l’on compare des grandeurs quand les directions n’entrent pas en jeu, et c’est exactement ce qui est jeté quand il faut savoir de quel côté quelque chose pointe. Trois vecteurs très différents partagent une longueur de 5 dans le tableau ci-dessous. Rien ici ne divise par quoi que ce soit, le vecteur nul est donc une entrée ordinaire et sa norme de 0 une réponse ordinaire.

Vecteurs et leurs normes

Vecteur	Norme du vecteur
3 4	5
5 12	13
1 1	1.4142
-3 4	5
2 3 6	7
1 1 1	1.7321
0 5	5
0 0	0

Huit vecteurs et leurs longueurs. La deuxième colonne est celle qu’il faut lire en premier, parce que trois des huit lignes portent la même valeur : 3 4, −3 4 et 0 5 sont trois vecteurs différents — l’un vers la droite et le haut, l’un vers la gauche et le haut, l’un droit vers le haut — et tous les trois mesurent 5. Cette répétition est justement ce que le tableau veut montrer. Une norme est un nombre unique et un nombre unique ne peut pas dire de quel côté un vecteur pointe, donc la page qui ne rapporte que la norme a jeté cette information par construction. Les deux premières lignes sont les cas entiers, 3-4-5 et 5-12-13, où la somme des carrés se trouve être un carré parfait et où rien n’est arrondi. Les troisième et sixième lignes sont les cas à composantes égales, dans le plan et dans l’espace, et toutes les deux donnent des racines qui ne se terminent jamais. La cinquième ligne est le cas entier en trois dimensions : 2-3-6 donne exactement 7. La septième ligne est posée sur un axe, sa longueur est donc simplement la composante qui n’est pas nulle. La huitième ligne est le vecteur nul, qui affiche 0 — cette page y répond au lieu de le refuser, parce qu’une longueur n’y est pas un diviseur. La première colonne contient l’entrée telle qu’elle a été saisie ; les espaces qu’elle contient sont des séparateurs et non des chiffres. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (1.4142 plutôt que 1,4142), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

|u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²)

vecteur u: Le vecteur dont on veut la longueur : deux ou trois nombres séparés par des espaces ou des virgules. Rien d’autre ne marque de quel genre il s’agit — c’est le nombre de termes qui dit si vous pensiez à un vecteur du plan ou à un vecteur de l’espace
|u|: La longueur elle-même : chaque composante au carré, les carrés additionnés, et la racine carrée de ce total. C’est le nombre affiché dans le panneau de résultat
u₁² + u₂² + …: La somme des carrés, que les exemples ci-dessous détaillent terme par terme. C’est la seule étape intermédiaire du calcul, et la voir écrite est ce qui rend le résultat vérifiable à la main
√: La racine carrée, qui explique pourquoi tant de réponses sont irrationnelles. 3 4 donne exactement 5 parce que 9 plus 16 vaut justement 25 ; 1 1 donne 1,4142 et aucun décimal fini n’est égal à ce nombre
deux composantes: Un vecteur du plan. Les deux nombres de termes sont acceptés et ni l’un ni l’autre n’est un cas particulier : un vecteur à deux dimensions est un vecteur à trois dimensions dont la troisième composante vaut 0
vecteur nul: Un vecteur dont toutes les composantes valent 0. Sa norme est 0, et c’est une réponse et non un refus — cette page ne divise par rien, ce qui est précisément la raison pour laquelle le vecteur nul est accepté ici et refusé par les pages qui normalisent
quatre décimales: La largeur avec laquelle la réponse est écrite. Exacte quand la somme des carrés est un carré parfait, arrondie à quatre rangs sinon
sans unité: Rien sur cette page ne sait dans quoi les composantes ont été mesurées, et la réponse porte l’unité qu’elles portaient. Une longueur de 5 signifie 5 de ce qui a été saisi

Prenez cette page quand la taille d’une chose compte et que la direction dans laquelle elle pointe n’entre pas en jeu. Le cas le plus net est la comparaison de grandeurs : deux forces, deux vitesses ou deux déplacements se classent par la seule longueur, et la direction ne fait que gêner. Le deuxième cas est une longueur qui n’est qu’une étape dans un calcul plus long — la norme est le diviseur quand on normalise un vecteur, le dénominateur dans la formule de la projection et l’un des deux facteurs d’un produit scalaire, si bien qu’on la calcule pour elle-même bien plus souvent qu’on ne l’utilise seule. Le troisième cas est le plus concret de tous : les composantes d’un vecteur sont les coordonnées d’un point, donc sa longueur est la distance de ce point à l’origine, et l’expression est la formule de la distance que vous connaissez peut-être déjà sous un autre nom. Ce que la réponse ne porte pas, c’est la direction, et cela vaut la peine d’être dit sans détour parce qu’il est facile de trop lui demander. Une longueur de 5 vient aussi bien de 3 4 que de −3 4 ou de 0 5. Si vous avez besoin de savoir lequel de ces trois vous avez, la longueur n’est pas la page qu’il vous faut — ce sont les composantes ou le vecteur unitaire. Une entrée à deux composantes est parfaitement valable et n’est pas complétée d’office : c’est un vecteur du plan, et sa longueur est la même formule de la distance avec deux termes. Le vecteur nul est accepté, et sa norme de 0 est une affirmation vraie plutôt qu’une erreur.

Exemples détaillés

3 4
1. On met chaque composante au carré : 3² = 9 et 4² = 16
2. On additionne les carrés : 9 + 16 = 25
3. On prend la racine carrée : √25 = 5
L’entrée avec laquelle la page se charge, et le cas le plus net qui soit. 9 plus 16 fait 25, un carré parfait, la réponse est donc un nombre entier sans rien d’arrondi — ce qui arrive parce que 3 et 4 sont les deux côtés de l’angle droit du triangle rectangle 3-4-5. Vérifiez-le dans l’autre sens : un point à trois vers la droite et quatre vers le haut est à cinq de l’origine, ce qui revient à dire que le vecteur 3 4 mesure cinq.
5 12
1. On met chaque composante au carré : 5² = 25 et 12² = 144
2. On additionne les carrés : 25 + 144 = 169
3. On prend la racine carrée : √169 = 13
Le triplet pythagoricien qui suit 3-4-5, et celui qui montre qu’une réponse exacte n’est pas un accident isolé. Les deux composantes sont plus grandes que dans le premier exemple et la réponse tombe encore juste. Il montre aussi que la réponse n’est bornée par aucune des deux composantes : 13 est plus grand que 5 et plus grand que 12, ce qui est ce que fait la racine carrée d’une somme.
1 1
1. On met chaque composante au carré : 1² = 1 et 1² = 1
2. On additionne les carrés : 1 + 1 = 2
3. On prend la racine carrée : √2 = 1,414214, affiché 1,4142
Le cas ordinaire plutôt que l’exception : la plupart des sommes de carrés ne sont pas des carrés parfaits, la plupart des réponses sont donc irrationnelles et arrondies à quatre rangs. √2 est la plus simple d’entre elles et celle qui mérite d’être reconnue — elle apparaît chaque fois qu’une unité se partage également entre deux composantes. Vérifiez que la définition tient à l’envers : 1,4142 au carré vaut 1,99996, c’est-à-dire 2 à l’arrondi près.
0 0
1. On met chaque composante au carré : 0² = 0 et 0² = 0
2. On additionne les carrés : 0 + 0 = 0
3. On prend la racine carrée : √0 = 0
Le vecteur nul, et cette page y répond au lieu de le renvoyer. La longueur d’un vecteur qui va de l’origine à l’origine vaut 0, et rien dans le calcul n’a divisé par quoi que ce soit, il n’y a donc aucune raison de refuser. Les pages qui normalisent un vecteur refusent cette même entrée, parce que chez elles la longueur est un diviseur — le verdict appartient à la question posée, pas à l’entrée.

Limites

Deux ou trois composantes sont acceptées, et seulement celles-là : un nombre seul est une grandeur signée plutôt qu’une direction, et quatre composantes ou plus ne correspondent à aucune longueur que l’on viendrait demander à cette page. Une entrée à deux composantes n’est pas complétée jusqu’à trois — elle est dans le plan, et la même direction écrite en trois coordonnées a une troisième composante de 0, ce qui explique que le champ n’ait pas besoin de demander de quel genre vous parliez. Les composantes se lisent comme des nombres ordinaires : une virgule suivie d’un espace sépare deux composantes, une virgule sans espace après elle se lit comme un séparateur décimal (1,5 vaut un et demi), et un groupement de milliers est refusé plutôt que deviné — écrivez 1500, pas 1 500. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision, et la réponse est calculée à partir de la somme des carrés non arrondie, le chiffre affiché peut donc ne pas redonner exactement le nombre de départ quand on le remet au carré. La longueur est un nombre pur : rien ici ne sait si les composantes étaient des mètres, des newtons ou rien du tout, et une norme porte l’unité qu’elles portaient. La seule chose que la réponse ne sait vraiment pas faire, c’est vous dire quoi que ce soit sur la direction. Une longueur de 5 est partagée par 3 4, par −3 4 et par 0 5, et une page qui ne rapporte que la longueur a, par construction, jeté cette distinction. Pour la direction, utilisez les composantes elles-mêmes ou le vecteur unitaire construit à partir d’elles ; pour une comparaison qui ignore la direction, cette page est la réponse entière, et c’est là son intérêt.

Questions fréquentes

Qu’appelle-t-on la norme d’un vecteur ?: C’est la longueur du vecteur : chaque composante au carré, les carrés additionnés, et la racine carrée de ce total. C’est un nombre unique, et il dit quelle taille fait le vecteur sans rien dire de la direction dans laquelle il pointe. Un vecteur tracé de l’origine à un point a la même norme que la distance de l’origine à ce point, ce qui explique que l’expression ressemble à la formule de la distance — c’est la formule de la distance.
Comment calculer la longueur d’un vecteur à la main ?: On met chaque composante au carré, on additionne les carrés et on prend la racine carrée du total. Pour 3 4, cela fait 9 plus 16, c’est-à-dire 25, et la racine de 25 vaut 5. Pour 1 1, cela fait 1 plus 1, c’est-à-dire 2, et la racine de 2 vaut 1,4142 à quatre rangs. L’étape du milieu est la seule où l’on peut se tromper, et c’est celle que le tableau de référence de la page détaille pour chaque ligne.
Puis-je saisir un vecteur du plan ou un vecteur de l’espace ?: L’un ou l’autre, et il n’y a aucun réglage à changer : deux termes font un vecteur à deux dimensions et trois termes un vecteur à trois dimensions. Le même champ accepte les deux parce que le calcul est le même — un vecteur du plan est un vecteur de l’espace dont la troisième composante vaut 0, et sa longueur est la même racine carrée avec deux termes dessous au lieu de trois.
Quelle est la norme du vecteur nul ?: Zéro, et cette page la rapporte au lieu de refuser l’entrée. Chaque composante vaut 0, donc chaque carré vaut 0, donc la somme vaut 0 et sa racine vaut 0. Rien dans le calcul n’a divisé par la longueur, ce qui est la raison pour laquelle il n’y a pas d’erreur ici — la page du vecteur unitaire refuse cette même entrée précisément parce que chez elle la longueur est un diviseur.
La norme me donne-t-elle la direction ?: Non, et elle ne le peut pas : c’est un nombre unique, et une direction en demande au moins deux. Les vecteurs 3 4, −3 4 et 0 5 ont trois directions différentes et tous les trois mesurent cinq, la longueur ne permet donc pas de les distinguer. Si c’est la direction qu’il vous faut, lisez les composantes directement ou normalisez le vecteur en un vecteur unitaire, qui garde la direction et jette la longueur à la place.
À quoi sert une norme de vecteur ?: À comparer des grandeurs et à alimenter l’étape suivante d’un calcul plus long. Deux forces ou deux vitesses se classent par leur norme quand les directions sont hors sujet. C’est aussi le nombre par lequel beaucoup d’autres formules divisent ou multiplient — la normalisation d’un vecteur, la projection d’un vecteur sur un autre et le produit scalaire le consomment tous — si bien qu’on le calcule souvent pour lui-même même quand la longueur n’est pas la réponse finale.

Références

Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the operation this page performs and the definition its table is built on — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for a length function on vectors, of which the square-root-of-sum-of-squares used here is the ordinary Euclidean case — Wolfram MathWorld (United States)
Distance — the distance between two points as the length of the vector joining them, which is why a vector's magnitude and the distance from the origin are the same calculation — Wolfram MathWorld (United States)
Norme — la définition de la norme d’un vecteur, ses propriétés et son calcul à partir des composantes — Bibm@th, encyclopédie des mathématiques (France)

Calculatrices liées

Calculatrice de vecteursNorme, direction et composantes d’un vecteur.Calculatrice d’addition de vecteursAdditionne ou soustrait des vecteurs et donne la résultante.Calculatrice de projection vectorielleProjection d’un vecteur sur un autre, et sa norme.