Calculatrice de chaleur massique

Q = m · c · ΔT (soit c = Q / (m · ΔT), m = Q / (c · ΔT), ΔT = Q / (m · c))

Q

L’énergie thermique apportée au matériau, en kilojoules. Elle peut être négative, et une valeur négative n’est pas une erreur : elle signifie que la chaleur a quitté le matériau, ce qui se produit chaque fois que quelque chose refroidit. La calculatrice conserve ce sens d’un bout à l’autre — un cas de refroidissement donne un Q négatif, un ΔT négatif, et une masse et une chaleur massique positives, exactement comme le dit la physique. Des kilojoules plutôt que des joules parce que les cas courants se comptent en centaines : élever deux litres d’eau de 50 degrés demande environ 419 kJ, et écrire cela 418 600 J n’aide personne.

m

La masse du matériau, en kilogrammes. Elle ne peut être ni nulle ni négative, et c’est une propriété de l’équation plutôt qu’une règle que la calculatrice aurait inventée : m et c se retrouvent tous deux au dénominateur lorsqu’ils sont l’inconnue, si bien qu’une masse nulle lui demanderait de diviser par zéro. La lecture physique est la même — une chose sans masse n’a pas de capacité thermique, il n’y a donc rien à résoudre. La masse est la moins spectaculaire des quatre, mais c’est là que l’intuition se trompe le plus souvent, parce que la capacité thermique lui est proportionnelle : deux fois plus d’eau, deux fois plus d’énergie pour la même élévation de température, ce qui explique qu’une bouilloire pleine mette tellement plus longtemps qu’une à moitié pleine.

c

La chaleur massique : l’énergie nécessaire pour élever d’un kelvin un kilogramme du matériau, en kJ/(kg·K). C’est le nombre qui fait d’un matériau un matériau, et la raison pour laquelle une cuillère en métal dans l’eau bouillante devient inutilisable alors que l’eau elle-même est simplement chaude. Le 4,186 de l’eau est célèbre pour sa taille — environ dix fois celui du fer et cinq fois celui du verre — ce qui explique qu’on utilise l’eau pour transporter de la chaleur et qu’un littoral tempère le climat de l’intérieur des terres. On rencontre aussi le nom plus formel de capacité thermique massique, qui désigne exactement la même grandeur. Les tables publiées donnent en général ces valeurs en J/(kg·K), où l’eau figure à 4 186 ; la table de référence ci-dessous emploie le kJ/(kg·K) pour correspondre au champ de saisie, et les deux sont le même nombre.

ΔT

La variation de température, en degrés Celsius — et comme il s’agit d’une variation et non d’une température, un degré Celsius et un kelvin ont la même taille, si bien que les deux échelles sont interchangeables ici. Elle peut être négative : refroidir quelque chose de 30 degrés donne ΔT = −30, et l’énergie ressort alors négative, ce qui est l’énoncé correct que de la chaleur a été libérée. C’est aussi le champ où se niche l’erreur la plus fréquente — saisir la température finale au lieu de la différence. De 20 °C à 80 °C, ΔT vaut 60, ni 80 ni 20.

trois des quatre

La page ne demande pas quelle grandeur vous cherchez : elle détermine laquelle vous avez laissée vide et la résout. Remplir les quatre est également permis, et elle fait alors quelque chose de plus utile que résoudre : elle les confronte l’une à l’autre, si bien qu’un nombre mal recopié d’une fiche technique apparaît comme un désaccord au lieu d’être absorbé en silence. Laissez-en deux vides et la page le dit plutôt que de deviner — aucune convention ne dit laquelle des deux grandeurs manquantes vous vouliez.

Utilisez-la chaque fois que l’énergie et la température se rencontrent : dimensionner un chauffe-eau ou une pompe à chaleur, calculer combien de temps une casserole met à bouillir, vérifier qu’une puissance thermique annoncée est plausible pour la masse qu’elle prétend chauffer, ou identifier la nature d’un échantillon de métal non étiqueté en mesurant l’énergie qu’il faut pour le réchauffer. La cuisine est la version domestique du même calcul — pourquoi une poêle en fonte garde sa chaleur et une poêle fine en aluminium non. Prenez-la quand la question porte sur un changement de température. C’est le mauvais outil pour un changement d’état : faire fondre de la glace et faire bouillir de l’eau demandent de l’énergie à température constante, ce que cette équation ne sait pas exprimer du tout, et c’est la façon la plus courante d’obtenir une réponse fausse avec l’assurance du calcul juste.

1. Premier écran : 2 kg d’eau, plus 50 degrés

   1. Q = m · c · ΔT = 2 · 4,186 · 50
   2. 2 · 4,186 = 8,372 kJ par kelvin
   3. 8,372 · 50 = 418,6 kJ

   418,6 kJ représentent environ 116 Wh, soit un dixième de kilowattheure — une forme utile à retenir, parce qu’elle dit que chauffer de l’eau à l’électricité prend du temps et qu’aucune ingéniosité n’y changera rien. Deux litres d’eau (2 kg) qui montent de 50 degrés, c’est le travail ordinaire d’une bouilloire et cela coûte environ 419 kJ ; la même énergie élèverait environ 9 kg d’aluminium des mêmes 50 degrés, parce que la chaleur massique de l’aluminium vaut moins du quart de celle de l’eau. Le panneau affiche les quatre lignes même si une seule manquait, ce qui permet de vérifier que les trois valeurs saisies ont été lues comme vous l’entendiez.

2. Résoudre pour la masse : 900 kJ dans du fer

   1. m = Q / (c · ΔT)
   2. c · ΔT = 0,45 · 20 = 9 kJ par kg
   3. 900 / 9 = 100 kg

   Un bloc de fer du poids d’une personne, réchauffé de 20 degrés, pour 900 kJ. Mettez-le à côté de l’exemple précédent : les mêmes 900 kJ auraient fait monter 2 kg d’eau de plus de 100 degrés, et déplacent à peine 100 kg de fer. Ce contraste est toute la raison pour laquelle la chaleur massique est une grandeur nommée — comparer des matériaux par leur réponse en température à la même énergie est exactement ce que fait cette équation quand la masse et le ΔT sont les données.

3. Le refroidissement, où les signes passent en négatif : du cuivre qui perd 30 degrés

   1. Q = 0,5 · 0,385 · (−30)
   2. 0,5 · 0,385 = 0,1925 kJ par kelvin
   3. 0,1925 · (−30) = −5,78 kJ

   Un demi-kilogramme de cuivre qui refroidit de 30 degrés libère 5,78 kJ. Le signe moins est l’intérêt de cet exemple : la chaleur s’en va, et la calculatrice le dit au lieu de renvoyer silencieusement la valeur absolue, ce qui se produirait si le signe était traité comme une erreur. Les deux négatifs — le ΔT que vous avez saisi et le Q qui revient — constituent aussi un contrôle utile du sens d’un problème : si vous vouliez décrire un chauffage et que l’énergie ressort négative, l’une de vos entrées a le mauvais signe.

4. Résoudre pour c : quel est ce métal ?

   1. c = Q / (m · ΔT)
   2. m · ΔT = 2 · 100 = 200 kg·K
   3. 179,4 / 200 = 0,897 kJ/(kg·K)

   C’est le sens « mesure » de la même équation, et c’est ainsi qu’une chaleur massique se mesure réellement : on apporte une quantité d’énergie connue à une masse connue, on mesure l’élévation de température, et on divise. La réponse ici vaut 0,897 kJ/(kg·K), ce qui est l’aluminium — la table de référence ci-dessous le porte, et une valeur qui tombe entre deux lignes est la façon de distinguer un échantillon pur d’un alliage. En pratique la mesure est plus difficile que la division parce que la chaleur fuit vers la pièce, ce qui explique que des tables publiées existent et que cette page préfère que vous y cherchiez une valeur plutôt que de la mesurer.

L’équation suppose qu’il n’y a pas de changement d’état, et cette hypothèse échoue bruyamment en cuisine : faire fondre un kilogramme de glace demande 334 kJ et faire bouillir un kilogramme d’eau 2 257 kJ, les deux à température constante, et aucun de ces deux nombres n’apparaît dans Q = m · c · ΔT. Si votre problème traverse 0 °C ou 100 °C, il vous faut en plus la chaleur latente, et une page comme celle-ci vous donnera volontiers une réponse fausse sans avertissement. Elle traite par ailleurs c comme une constante, ce qu’il n’est pas — la chaleur massique d’un matériau varie avec la température (celle de l’eau monte d’environ 4,18 à 20 °C à 4,22 près de l’ébullition), si bien que la valeur d’un manuel est une moyenne sur la plage qui vous intéresse, et l’employer sur un écart de 500 degrés est une extrapolation. Les valeurs tabulées dépendent aussi de la pression, et pour les gaz la distinction entre cp et cv vaut un facteur d’environ 1,4 pour l’air — le 1,005 de cette page est cp, la valeur à pression constante, et l’utiliser pour un gaz dans un récipient rigide fermé serait faux. Reste le modèle lui-même : Q = m · c · ΔT décrit un corps à une seule température, alors que les objets réels ont des gradients en leur sein et perdent de la chaleur vers leur environnement en permanence. La valeur renvoyée est l’énergie qui est entrée dans le matériau, pas l’énergie qu’il vous a fallu payer — isolation, temps de montée en température et rendement sont tous en dehors de l’équation.

Quelle est la formule de la chaleur massique ?

Q = m · c · ΔT : l’énergie thermique est égale à la masse fois la chaleur massique fois la variation de température. Réarrangée, elle donne c = Q / (m · ΔT) pour la chaleur massique, m = Q / (c · ΔT) pour la masse, et ΔT = Q / (m · c) pour la variation de température. Les quatre formes sont le même énoncé sur les mêmes quatre grandeurs, ce qui explique que cette calculatrice prenne les trois que vous avez et renvoie la quatrième. L’unité de c découle de la forme réarrangée : des kilojoules divisés par des kilogrammes fois des kelvins. Le nom plus formel de la grandeur est capacité thermique massique — c’est exactement la même chose que la chaleur massique, et les deux termes désignent la même case de cette page.

Pourquoi la chaleur massique de l’eau est-elle si élevée, et qu’est-ce que cela change ?

Les 4,186 kJ/(kg·K) de l’eau valent à peu près dix fois ceux du fer et cinq fois ceux du verre, parce qu’une molécule d’eau peut stocker de l’énergie de plusieurs façons à la fois — les liaisons entre molécules se réorganisent en plus du mouvement des molécules elles-mêmes. Conséquences pratiques : l’eau met longtemps à chauffer et longtemps à refroidir, ce qui explique qu’on l’emploie pour transporter la chaleur dans un bâtiment et qu’une casserole d’eau soit la dernière chose à se mettre à bouillir ; les grandes masses d’eau tempèrent le climat des terres voisines ; et un être humain est fait largement d’eau, ce qui contribue à ce qu’une fièvre mette des heures à s’installer et des heures à tomber.

Pourquoi ai-je obtenu un nombre négatif ?

Parce que de la chaleur s’en va, et que le calcul n’a pas d’autre façon de le dire. Une variation de température négative (un refroidissement) multipliée dans l’équation donne une énergie thermique négative, et c’est une réponse correcte et non une erreur. Les deux signes sont autorisés en entrée précisément pour cette raison — la page serait inutile pour la moitié de ses usages si un refroidissement devait être saisi comme un nombre positif. Seules la masse et la chaleur massique sont interdites de zéro ou de valeur négative, parce que l’équation divise par elles.

Puis-je laisser deux champs vides ?

Non. Trois des quatre grandeurs doivent être connues — l’équation compte quatre inconnues et une seule relation, donc une inconnue est le maximum qu’elle puisse déterminer. Laisser deux champs vides n’est d’ailleurs pas ambigu de la façon dont cela en a l’air : aucune règle ne dit laquelle des deux vous vouliez omettre, et plusieurs réponses seraient compatibles avec les deux nombres que vous avez fournis. La page signale que les entrées sont incomplètes au lieu de choisir à votre place.

Et si je remplis les quatre champs ?

Elle les vérifie au lieu de résoudre. Tout ce que vous laissez vide est résolu ; s’il ne reste rien de vide, les quatre valeurs sont confrontées les unes aux autres et la page signale un désaccord si elles ne concordent pas. Cette vérification n’est pas décorative — recopier une chaleur massique depuis la mauvaise ligne d’une fiche technique, ou saisir une température finale là où il faut une différence de température, produit quatre nombres qui ont l’air corrects et qui se contredisent, et c’est le seul endroit où cette contradiction devient visible.

La chaleur massique d’un matériau est-elle constante ?

Non, et les tables ne donnent jamais qu’une valeur par matériau. La chaleur massique varie avec la température — celle de l’eau monte d’environ un pour cent entre la température ambiante et l’ébullition — et avec la pression, et pour les gaz elle dépend de si c’est la pression ou le volume qui est maintenu constant (cp de l’air vaut 1,005 et son cv 0,718, un rapport de 1,4). Le nombre unique d’un manuel est une valeur représentative aux conditions ordinaires. Sur une plage de température modérée il est exact à quelques pour cent près ; sur une plage de four, c’est une extrapolation, et la réponse est une meilleure estimation qu’elle n’en a l’air, mais ce n’est pas une mesure.

• 14.2 Temperature change and heat capacity — the equation with its definition, a table of representative specific heats, and worked examples — OpenStax (Rice University)
• Specific heat of common materials — the reference values this page's table is drawn against (water, air, aluminium, copper, iron and more) — The Engineering ToolBox