Calculatrice de dilatation thermique

ΔL = α · L · ΔT et, pour un solide isotrope, ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

Le coefficient de dilatation thermique linéique, en parties par million et par degré — une constante du matériau, mesurée en observant une barre s’allonger sous une variation de température connue. C’est un petit nombre qu’il faut dire à voix haute : le 23,1×10⁻⁶ de l’aluminium signifie qu’un mètre d’aluminium gagne 23,1 micromètres par kelvin, ce qui explique que rien dans la vie courante n’ait l’air de se dilater. Les coefficients s’étalent sur plus d’un facteur trente parmi les matériaux ordinaires, d’environ 1,5×10⁻⁶ pour l’Invar — un alliage conçu pour être insensible à cet effet, employé pour les tiges de pendule et les instruments de précision qui en avaient besoin — jusqu’à 55×10⁻⁶ et au-delà pour le PVC et les autres plastiques. Choisir la bonne ligne représente donc l’essentiel du travail ; l’arithmétique qui suit tient en une multiplication.

L

La longueur à la température de départ, en millimètres, dans l’unité que vous choisissez. C’est la longueur d’origine, et non la longueur finale ni la longueur moyenne — une distinction qui n’apparaît qu’au moment de remonter d’une longueur finale mesurée vers un coefficient, et c’est là qu’un nombre surprenant de calculs à la main dérapent en silence. L’unité de base est ici le millimètre parce que c’est celle qui garde la réponse lisible : un mètre d’aluminium chauffé de 40 K s’allonge de 0,924 mm, et écrire cela 0,000924 m n’aide personne. Zéro est une entrée légale — une barre de longueur nulle ne se dilate pas — mais une valeur négative ne l’est pas, ce qui explique que la borne inférieure du champ soit fermée en zéro et que la vérification plus loin refuse tout ce qui passe en dessous.

ΔT

La variation de température en kelvins (ou en degrés Celsius — les deux ont la même taille, et il s’agit ici d’une variation et non d’une température, donc l’une ou l’autre convient). Les valeurs négatives sont normales et signifient un refroidissement : de l’acier qui perd 40 K se contracte, et l’allongement ressort négatif, ce que l’arithmétique doit exactement dire. Les bornes de ±500 K couvrent la plage de l’azote liquide au four et laissent le champ largement ouvert au lecteur qui travaille dans les dizaines de degrés, ce qui est le cas de la quasi-totalité des situations réelles.

ΔL

L’allongement, en millimètres, affiché à côté de la nouvelle longueur pour que l’on voie à la fois la quantité et le résultat de son addition. Le nombre est petit en valeur absolue et c’est précisément le piège : 0,9 mm paraît anodin jusqu’à ce que la barre n’ait nulle part où aller. Une barre bridée ne peut pas simplement ne pas se dilater — la dilatation se transforme alors en contrainte, et comme le module d’élasticité est grand, la force ne l’est pas du tout. C’est la raison pour laquelle les rails sont posés en tension avec des joints entre eux, et pourquoi un long pont a un joint de chaussée à une extrémité plutôt qu’un tablier continu. Cette page donne l’allongement libre ; la contrainte qui apparaît quand la dilatation est empêchée est un second calcul, et c’est là que se trouve le vrai dommage.

3 · α · ΔT

La part volumique, donnée comme une déformation en pour cent plutôt que comme un volume, parce que c’est ce que la même mesure offre gratuitement : chacune des trois dimensions croît de α · ΔT, donc le volume d’un cube plein croît d’environ 3 · α · ΔT. Deux réserves accompagnent ce facteur trois. Il vaut pour les matériaux isotropes — métaux, verres, et plastiques traités comme uniformes — mais pas pour le bois, qui se dilate différemment dans le fil et en travers, ni pour les composites stratifiés, ni pour les monocristaux. Et c’est une approximation des petites déformations : le facteur exact est (1 + α·ΔT)³ − 1, qui coïncide avec 3αΔT à de nombreuses décimales à ces ordres de grandeur, et ne coïnciderait plus pour une variation de température assez grande pour compter.

Utilisez-la avant de fixer les deux extrémités d’une pièce à un bâti rigide : poser un rail, suspendre une conduite entre deux points d’ancrage, vitrer une vitre ajustée serrée, boulonner une pièce en aluminium sur de l’acier, ou choisir le jeu d’un joint de dilatation sur un tablier de pont. Elle sert aussi pour la version quotidienne de la même question — un couvercle métallique qui se dévisse après un rinçage chaud, ou un bocal qui refuse de s’ouvrir avant d’être réchauffé — où le mécanisme est que le couvercle se dilate le premier parce que son coefficient est plus grand ou sa masse plus petite. Elle ne répond qu’à une question de dilatation libre et non entravée. Si la pièce est bridée aux deux bouts, cette page vous dit la longueur qu’elle voudrait atteindre, et le nombre bien plus utile — la contrainte qui s’accumule à la place — vient du module d’élasticité du matériau, pas d’ici.

1. Premier écran : un mètre d’aluminium, 40 K plus chaud

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23,1×10⁻⁶ · 1 000 mm · 40 K
   2. 23,1×10⁻⁶ · 1 000 = 0,0231 mm par kelvin
   3. 0,0231 · 40 = 0,924 mm
   4. Nouvelle longueur : 1 000 + 0,924 = 1 000,924 mm
   5. Déformation volumique : 3 · 23,1×10⁻⁶ · 40 = 0,2772 %

   Un peu moins d’un millimètre sur un mètre, pour une variation de température qu’un après-midi ensoleillé suffit à produire — ce qui explique que la page existe et que le résultat soit affiché à trois décimales. La ligne de la déformation est le même résultat vu de l’autre côté : 0,28 % de volume est peu, mais ce n’est pas zéro, et une pièce contrainte dans les trois directions ne peut pas l’absorber. Notez aussi que le panneau vous réaffiche le coefficient : cette ligne est le matériau que vous avez choisi, et elle est là pour que vous puissiez vérifier la liste déroulante avant de faire confiance au reste.

2. Le cas d’école : un rail d’acier de 25 m, 60 K de soleil

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25 000 mm · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25 000 = 0,3 mm par kelvin
   3. 0,3 · 60 = 18 mm
   4. Nouvelle longueur : 25 000 + 18 = 25 018 mm

   Dix-huit millimètres sur une seule longueur de rail, entre une nuit d’hiver et un après-midi d’été. C’est le nombre qui décide de la largeur d’un joint de rail, et c’est pourquoi les voies sont posées avec les joints qu’elles ont plutôt qu’en un ruban soudé continu — et pourquoi les voies soudées en continu modernes sont mises en tension et ancrées sous effort contrôlé, de sorte que ces mêmes 18 mm deviennent une contrainte gérable répartie sur tout le rail au lieu de 18 mm de flambement en un seul joint. Le choix ne porte pas sur le fait de savoir si l’acier se dilate ; il se dilate toujours.

3. Le refroidissement, et une réponse négative : de l’inox, 40 K plus froid

   1. ΔL = 17,3×10⁻⁶ · 500 mm · (−40 K)
   2. 17,3×10⁻⁶ · 500 = 0,00865 mm par kelvin
   3. 0,00865 · (−40) = −0,346 mm
   4. Nouvelle longueur : 500 − 0,346 = 499,654 mm

   Rien ne change sinon le signe de la variation de température, et la calculatrice rapporte la contraction comme un allongement négatif et une longueur finale plus courte. C’est la convention honnête, et c’est celle à conserver quand on assemble des pièces : un manchon en inox refroidi à l’azote liquide entre dans un arbre sur lequel il ne rentrerait pas à température ambiante, et sa nouvelle longueur est le 499,654 mm ci-dessus plutôt que les 500 mm pour lesquels il a été usiné. Les deux lignes sont affichées parce que les deux comptent — la quantité de retrait pour l’ajustement, la longueur finale pour le plan d’assemblage.

4. L’extrémité haute du tableau : de la fonte, 100 m, +500 K

   1. ΔL = 10,8×10⁻⁶ · 100 000 mm · 500 K
   2. 10,8×10⁻⁶ · 100 000 = 1,08 mm par kelvin
   3. 1,08 · 500 = 540 mm
   4. Nouvelle longueur : 100 000 + 540 = 100 540 mm
   5. Déformation volumique : 3 · 10,8×10⁻⁶ · 500 = 1,62 %

   Un demi-mètre, sur cent mètres, pour un passage de la température ambiante à un four. Le faible coefficient de la fonte explique qu’elle ait été le matériau des blocs-moteurs et des bancs de machines — c’est celui qui bouge le moins parmi les métaux courants — et l’exemple est là pour montrer l’échelle à laquelle l’effet cesse d’être négligeable : 540 mm n’est pas une tolérance, c’est une caractéristique de conception. Il montre aussi pourquoi les bornes du champ sont aussi larges : la page doit survivre à un lecteur qui a réellement cent mètres de conduite passant du froid au chaud, et elle préfère répondre plutôt que refuser.

La ligne volumique suppose que le matériau se dilate de la même façon dans toutes les directions, ce qui est vrai des métaux et des verres et faux du bois, des monocristaux et des composites stratifiés — pour ceux-là, chaque axe demande son propre coefficient et le facteur trois ne veut rien dire. Les coefficients eux-mêmes sont donnés à une température de référence proche de 20 °C, et α augmente lentement avec la température, si bien qu’une réponse pour une excursion de 500 K est une extrapolation depuis une mesure à température ambiante plutôt qu’une mesure à cette température. Les valeurs publiées ne concordent pas non plus : l’aluminium vaut 23×10⁻⁶ dans l’une des deux sources ci-dessous et 25×10⁻⁶ dans l’autre, une différence de plusieurs pour cent, donc traitez la troisième décimale de n’importe quelle réponse comme un ornement et le premier chiffre comme la vraie information. Cette page donne l’allongement libre et ne dit rien de ce qui se passe quand la pièce est tenue aux deux bouts — la même dilatation, contrariée, devient une contrainte de l’ordre de E·α·ΔT, qui pour de l’acier sur 60 K dépasse largement la centaine de mégapascals, de quoi faire flamber un rail ou fissurer une soudure, et rien de tout cela n’apparaît dans les nombres ci-dessus. Elle ne dit rien non plus du temps : une pièce coulée épaisse chauffe de façon inégale, si bien que la dilatation arrive sous forme de gradient et de gauchissement plutôt que de variation uniforme de longueur. Et elle suppose que le changement se produit sous le point de ramollissement du matériau — un plastique proche de sa transition vitreuse, ou quoi que ce soit proche de la fusion, sort de ce qu’un coefficient unique peut décrire.

Quelle est la formule de la dilatation thermique ?

ΔL = α · L · ΔT : l’allongement est égal au coefficient de dilatation linéique du matériau fois la longueur d’origine fois la variation de température. Pour un solide qui se dilate de la même façon dans toutes les directions, le volume croît trois fois plus en valeur relative, si bien que la déformation volumique vaut 3 · α · ΔT — la même relation avec un facteur qui vient de l’existence de trois dimensions et non d’une physique supplémentaire. Les deux sont affichées sur cette page, et la seconde est donnée comme une déformation en pour cent plutôt que comme un volume, parce que c’est la forme que le coefficient fournit directement.

De combien l’acier se dilate-t-il par degré ?

Environ 12×10⁻⁶ par kelvin, donc un mètre d’acier s’allonge de 0,012 mm par degré — 12 micromètres, à peu près un huitième de l’épaisseur d’une feuille de papier, qui fait elle-même environ 0,1 mm. Sur les 60 K qui séparent une nuit d’hiver d’un après-midi d’été, un rail de 25 m s’allonge de 18 mm, ce qui explique que des joints de rails existent et que la voie soudée en continu doive être mise en tension et ancrée plutôt que simplement posée. L’aluminium est environ deux fois plus sensible à 23×10⁻⁶, et le PVC plus de quatre fois plus que l’acier à 55×10⁻⁶, ce qui explique que la tuyauterie plastique demande plus de points de support et des boucles de dilatation plus généreuses que la tuyauterie métallique de même longueur.

Pourquoi la variation de volume vaut-elle trois fois celle de longueur ?

Parce qu’un solide croît dans trois directions à la fois. Chaque dimension croît de la fraction α·ΔT, donc le volume d’un cube croît de (1 + α·ΔT)³ − 1, ce qui, pour les petits nombres en jeu, vaut 3·α·ΔT avec bien plus de décimales que nécessaire. Le facteur trois est cependant une conséquence de l’isotropie : il suppose que le matériau se dilate identiquement selon chaque axe. Le bois ne le fait pas (il bouge bien plus en travers du fil que dans le fil), ni les monocristaux, ni les composites stratifiés, si bien que pour ceux-là la ligne volumique de cette page n’est pas une approximation de la bonne réponse mais la réponse à une autre question.

La longueur que je saisis est-elle la longueur d’origine ou la longueur finale ?

C’est la longueur d’origine — la longueur à la température de départ, avant tout échauffement. Cela compte plus qu’il n’y paraît : remonter d’une longueur finale mesurée vers un coefficient suppose de diviser par la longueur d’origine, et utiliser la longueur finale introduit une erreur relative d’environ α·ΔT, négligeable pour l’acier et pas du tout négligeable pour un plastique sur une grande variation de température. La page affiche à la fois l’allongement et la nouvelle longueur pour que vous voyiez lequel est lequel, et l’allongement est toujours relatif à ce que vous avez saisi.

Où interviennent les joints de dilatation ?

Ce sont ce que l’on construit quand on ne peut pas laisser la dilatation libre. Une pièce tenue aux deux bouts ne reste pas à la longueur qu’elle voudrait atteindre ; la dilatation est contrariée et se transforme en contrainte, de l’ordre du module d’élasticité du matériau fois α·ΔT — pour de l’acier sur 60 K, cela dépasse largement la centaine de mégapascals, de quoi faire flamber un rail, bomber une conduite ou fissurer une soudure. Les joints de dilatation, les boucles, les trous oblongs et les appuis glissants sont autant de façons de donner au matériau un endroit où aller, et ils existent parce que le calcul de cette page doit être payé d’une manière ou d’une autre.

Pourquoi différentes tables donnent-elles des coefficients différents ?

Parce que le coefficient n’est ni parfaitement constant ni parfaitement consensuel. α varie avec la température, si bien qu’une valeur donnée à 20 °C et une valeur moyennée sur 0–100 °C sont deux nombres différents pour le même matériau, et les manuels citent des alliages différents sous le même nom — l’aluminium vaut 23×10⁻⁶ dans l’une des sources ci-dessous et 25×10⁻⁶ dans l’autre, et l’expression « acier inoxydable » recouvre une famille dont les coefficients vont d’environ 10 à 18×10⁻⁶. Pour la plupart des usages, ce désaccord vaut quelques pour cent et ne change pas la décision. Quand il compte — instruments de précision, grandes longueurs, ajustements serrés — c’est une raison de mesurer le lot réel plutôt que de choisir une autre table.

• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids — ΔL = αLΔT with the definition of the coefficient, the β ≈ 3α relation for volume, and a table of coefficients for common metals — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — the handbook values this page's table is drawn against, including cast iron, brass, stainless and PVC — The Engineering ToolBox