Calculatrice de la loi de Hooke

force du ressort = raideur × déplacement

k

La constante de raideur, ou raideur, en N/m. C’est la force nécessaire par mètre d’allongement — un stylo rétractable tourne autour de 10 N/m, un pèse-lettre à 100 N/m, un ressort de suspension automobile à 30 N/mm, un ressort industriel de presse à 100 kN/m. Le champ accepte aussi les kN/m, les N/mm et les lbf/in, et le tableau ci-dessous écrit une même raideur dans trois de ces unités à la fois. Elle doit être positive : une raideur nulle n’est pas un ressort

x

Le déplacement, en centimètres — de combien le ressort a été écarté de sa longueur au repos. Le champ accepte aussi les mètres, les millimètres et les pouces. C’est une longueur et non une grandeur signée, donc compression et extension ne sont pas distinguées : un ressort tiré de 10 cm et un ressort poussé de 10 cm rappellent tous deux avec les mêmes 10 N, en sens opposés. Zéro est une valeur légale et signifie que le ressort est au repos

F

La force du ressort, en newtons, en kilonewtons, en livres-force et en kilogrammes-force. C’est la force que le ressort exerce, qui est aussi celle qu’il faut fournir pour le maintenir où il est. Laissez ce champ vide et la page le déduit des deux autres ; remplissez-le avec l’un des deux autres et elle résout le troisième

Prenez cette page quand vous voulez la lecture et non l’énergie : quelle force un pèse-lettre exerce à un allongement donné, si un ressort donné est assez raide pour tenir une porte ouverte, quelle force une corde d’arc impose à ses branches à pleine allonge, de combien un ressort de suspension se comprime sous un poids de roue connu, ou quelle raideur doit avoir un ressort s’il doit produire une force annoncée à une course annoncée. Ce dernier cas est la direction pour laquelle cette page est construite et que la plupart des calculatrices ne font pas : deux des trois champs peuvent rester vides, et le choix des deux que vous remplissez décide de ce qui sera résolu. Les deux habitudes à prendre concernent les unités et le domaine de validité. Sur les unités, le champ est libellé en centimètres alors que la formule réclame des mètres, donc la page convertit en interne — mais la raideur peut arriver en N/mm ou en lbf/in depuis la fiche technique d’un fournisseur, et ces unités diffèrent du N/m par des facteurs de mille et de 175 respectivement, ce qui est exactement à quoi sert le tableau ci-dessous. Sur le domaine, la loi de Hooke n’est vraie que jusqu’à la limite d’élasticité du ressort, et tout ressort réel quitte la droite quelque part ; un ressort tiré au-delà donne une force inférieure à ce que cette page prédit et ne revient pas à sa longueur d’origine. L’énergie emmagasinée par ce même ressort pendant qu’on l’étire est calculée sur la page de l’énergie potentielle élastique, qui prend les deux mêmes entrées et décrit le même ressort.

1. Le ressort par défaut, étiré de 10 cm

   1. Raideur : 100 N/m. Déplacement : 10 cm, soit 0,1 m — la formule réclame des mètres
   2. Force du ressort : 100 × 0,1 = 10 N
   3. Les deux autres lignes ne font que reprendre les entrées, parce que rien n’avait à être résolu
   4. À comparer avec une masse de 1 kg suspendue au même ressort : elle tirerait avec 9,81 N et l’allongerait de 9,81 cm

   Dix newtons, c’est le poids d’un litre d’eau, et cette comparaison est le moyen le plus rapide de se faire une idée de ce que veut dire 100 N/m : suspendez une bouteille d’un litre à ce ressort et il s’allonge d’environ un centimètre par 100 grammes. L’autre chose à retenir de cette ligne est le piège d’unités qu’elle traverse — 10 cm devait devenir 0,1 m avant la multiplication, et le faire dans l’autre sens donne 1 000 N, cent fois trop. C’est l’erreur de calcul la plus fréquente sur cette page, et la raison pour laquelle le champ est libellé en centimètres alors que la formule ne l’est pas.

2. La force est connue, la raideur non : 25 N à 10 cm

   1. Laissez le champ de raideur vide et remplissez les deux autres : déplacement 10 cm, force 25 N
   2. Réarrangez F = kx pour k : k = F ÷ x
   3. Convertissez d’abord : 10 cm = 0,1 m
   4. Raideur : 25 ÷ 0,1 = 250 N/m

   C’est la direction pour laquelle la page existe. Une force et une distance se mesurent facilement avec une balance de cuisine et une règle, et la raideur est le nombre qu’on ne peut pas mesurer directement — tirer un ressort et lire la force est donc la façon dont la constante s’obtient réellement en pratique. La même arithmétique en unités impériales est la source des raideurs en lbf/in de tous les catalogues automobiles : 25 lbf sur 10 pouces donneraient 2,5 lbf/in. Remarquez que les deux champs laissés remplis sont le déplacement et la force, et que la page a pourtant résolu les trois grandeurs, parce que F = kx a trois variables et que deux quelconques fixent la troisième.

3. Un ressort connu, une force connue : de combien se déplace-t-il ?

   1. Raideur 1 000 N/m — un ressort de suspension automobile vaut environ trente fois cela, un ressort de presse industriel une centaine de fois
   2. Réarrangez F = kx pour x : x = F ÷ k
   3. Déplacement : 30 ÷ 1 000 = 0,03 m
   4. Reconverti pour l’affichage : 3 cm

   La réponse sort en mètres et la page l’affiche en centimètres, ce qui est la conversion que le premier exemple faisait dans l’autre sens. Il vaut la peine de remarquer combien la course est petite : 30 N — le poids de trois litres d’eau — ne déplacent ce ressort que de trois centimètres, alors que les mêmes 30 N déplaceraient de trente centimètres le ressort de 100 N/m des deux premiers exemples. La raideur est exactement ce rapport, et c’est pourquoi un ressort raide paraît inflexible sous une petite charge et qu’un ressort souple s’écrase sous une grosse. Ni l’un ni l’autre n’est meilleur : le choix est fixé par la course dont dispose le mécanisme.

La loi de Hooke est une approximation linéaire et tout ressort réel cesse de la respecter. Au-delà de la limite d’élasticité, la force croît plus lentement que kx et le ressort ne revient pas à sa longueur d’origine, donc une réponse calculée à partir d’une raideur de fiche technique n’est valable qu’à l’intérieur de la course nominale — laquelle peut être de quelques millimètres pour un ressort de presse et représenter une grande fraction de sa longueur pour une corde d’arc. Les ressorts hélicoïdaux ne sont d’ailleurs pas parfaitement linéaires dans leur plage : les spires se touchent en fin de compression, si bien que la raideur effective augmente vers la pleine compression, et un ressort étiré suffisamment finit par se redresser complètement. La page traite le ressort comme sans masse et sans frottement, ce qui est faux pour un ressort lourd ou qui doit coulisser sur une tige de guidage. Elle ne distingue ni la compression de l’extension, ni un sens de l’autre, parce que le modèle ne le fait sincèrement pas : si l’application dépend de cette différence, ce n’est pas dans cette équation qu’elle se trouve. Il y a aussi un piège pratique dans le fonctionnement des champs. Comme les deux premiers sont remplis au départ, celui qui veut résoudre pour la raideur doit d’abord en vider un — s’il saisit une force par-dessus les valeurs par défaut, la page signalera que les nombres ne concordent pas plutôt que d’utiliser silencieusement la nouvelle, ce qui est délibéré mais surprend. Et la réponse ne contient aucune énergie : le travail fourni pour étirer le ressort jusqu’ici vaut ½kx², plus grand que ne le laisserait croire F × x parce que la force n’était pas à sa valeur finale sur tout le trajet.

Quelle est la formule de la loi de Hooke ?

F = kx : la force du ressort est égale à la constante de raideur multipliée par le déplacement. Un ressort de 100 N/m étiré de 10 cm (0,1 m) rappelle avec 100 × 0,1 = 10 N. La relation est linéaire, donc deux fois le déplacement font deux fois la force, et elle vaut dans les deux sens — en tirant et en poussant — ce qui permet d’utiliser un ressort comme balance. Le carré célèbre dans les calculs de ressorts appartient à l’énergie emmagasinée, ½kx², et non à la force.

Comment trouver la constante de raideur si on ne peut pas la mesurer directement ?

Suspendez un poids connu au ressort, mesurez de combien il s’allonge, et divisez. Une masse de 2 kg donne 19,62 N de force ; si le ressort s’allonge de 4 cm, alors k = 19,62 ÷ 0,04 = 490,5 N/m. Deux précautions. Mesurez entre la longueur au repos et la longueur en charge, et non depuis le haut du ressort, et relevez la valeur une fois le ressort stabilisé plutôt que pendant qu’il oscille encore. Si le ressort est trop raide pour s’allonger de façon mesurable avec un poids dont vous disposez, ajoutez du poids ou utilisez un levier — l’arithmétique est identique, et c’est l’incertitude d’une mesure au millimètre sur 4 cm d’allongement qui limite la réponse.

Quels deux champs faut-il remplir ?

Deux quelconques des trois, et la page résout le troisième. Raideur et déplacement donnent la force, ce qui est la direction ordinaire. Déplacement et force donnent la raideur, ce qui est la façon dont on mesure une raideur de ressort. Raideur et force donnent la course, ce dont on a besoin pour dimensionner un mécanisme. Ne remplissez les trois que si vous voulez les confronter : s’ils ne concordent pas, la page le dit au lieu d’en choisir un, parce qu’afficher dans le panneau de résultats une force qui contredit une force saisie sur le même écran est pire que d’afficher une erreur.

Quelle est la différence entre N/m, N/mm et lbf/in ?

Ce sont trois façons d’écrire la même raideur, et les facteurs entre elles sont grands. 1 N/mm vaut 1 000 N/m, parce que la force et la longueur sont toutes deux mises à l’échelle par mille. 1 lbf/in vaut environ 175,13 N/m, et ce n’est pas un nombre rond parce que ni la livre-force ni le pouce ne sont définis par le système métrique. La conséquence pratique est qu’un ressort annoncé à 30 N/mm fait 30 000 N/m — trente fois plus raide que le ressort de 1 000 N/m du troisième exemple, et non trente fois plus souple — et qu’une raideur recopiée d’un catalogue impérial sans conversion se trompe d’un facteur 175.

Cela change-t-il quelque chose que le ressort soit comprimé ou étiré ?

Pas pour cette équation. F = kx utilise la longueur du déplacement, donc un ressort poussé de 10 cm et un ressort tiré de 10 cm rappellent tous deux avec la même intensité — la force pointe simplement dans l’autre sens. Les ressorts réels ne sont pas parfaitement symétriques : un ressort hélicoïdal peut être bobiné de façon à se comporter légèrement différemment en compression, et un ressort comprimé au point que ses spires se touchent devient de fait rigide et cette équation cesse de s’appliquer. À l’intérieur de la course nominale, en revanche, traiter les deux sens comme identiques est ce que fait le modèle et suffit à la plupart des travaux.

Pourquoi l’énergie vaut-elle ½kx² et non kx² ?

Parce que la force n’est pas à sa valeur finale pendant qu’on étire le ressort — elle part de zéro et croît régulièrement, donc la force moyenne sur tout le trajet vaut la moitié de la force finale, et le travail est la force moyenne multipliée par la distance. En développant, on obtient ½kx². C’est la même raison qui fait que l’aire d’un triangle vaut la moitié de sa base multipliée par sa hauteur. Cette page n’affiche délibérément pas ce nombre : l’énergie emmagasinée dans un ressort est son propre calcul avec ses propres exemples, et mettre un terme au carré à côté d’un terme linéaire sur le même écran invite le lecteur à croire que les deux sont deux résultats d’une même formule.

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — the linear region, the spring constant, and where real springs leave the straight line — OpenStax
• Hooke's law — the force-displacement relation, the elastic limit, and why the constant is a property of the spring rather than of the material — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the newton, the pound-force and kilogram-force factors, and the unit prefixes used by the stiffness field and the reference table — National Institute of Standards and Technology