Calculatrice de gaz parfait

pV = nRT, réarrangée selon celle des quatre grandeurs que vous laissez vide

p

La pression absolue, en kilopascals par défaut, avec les pascals, les bars, les millibars, les hectopascals, les atmosphères, les psi, les millimètres de mercure, les torrs et les pouces de mercure dans la même case. C’est une pression absolue et non une pression relative : un manomètre de gonflage lit l’écart avec l’air ambiant, si bien que les 200 kPa affichés sur un pneu de voiture correspondent à environ 300 kPa de la grandeur que cette équation demande. Le kilopascal est l’unité de base pour une raison qui vaut la peine d’être connue : un litre-kilopascal vaut exactement un joule, donc la constante des gaz vaut 8,314 aussi bien en J/(mol·K) qu’en L·kPa/(mol·K), et le litre et le kilopascal forment le couple qui fait tomber la constante sur le 8,314 familier en une seule multiplication

V

Le volume occupé par le gaz, en litres, avec les millilitres, les mètres cubes, les centimètres cubes, les pieds cubes, les pouces cubes et les gallons américains dans la même case. Le litre est l’unité de base parce qu’il s’associe au kilopascal comme expliqué ci-dessus. Zéro est accepté et constitue une vraie réponse plutôt qu’une erreur : sans volume, l’équation n’a pas de gaz à décrire, et la page annonce une pression indéfinie au lieu d’inventer un nombre pour elle. Les volumes négatifs sont refusés, un gaz ne pouvant occuper moins que rien

n

La quantité de gaz en moles, avec les millimoles et les kilomoles sélectionnables dans la même case. La mole est un compte et non une masse : 6,02214076 × 10²³ particules, si bien qu’une mole d’azote pèse environ 28 grammes tandis qu’une mole d’hélium en pèse environ 4, et que les deux occupent les mêmes 22,414 litres dans les mêmes conditions. C’est tout l’intérêt de compter les particules plutôt que de les peser, et c’est ce qui relie cette case à la chimie. Si vous disposez d’une masse en grammes plutôt que d’un nombre de moles, divisez d’abord par la masse molaire

T

La température absolue, en degrés Celsius, en degrés Fahrenheit ou en kelvin. Seul le kelvin fonctionne dans le calcul, et la raison est physique plutôt que conventionnelle : l’équation décrit la violence avec laquelle les particules frappent les parois, et le zéro de l’échelle kelvin est l’endroit où ce mouvement s’arrête. Doubler 20 °C pour passer à 40 °C ne double donc pas la pression : on passe de 293 K à 313 K et la pression augmente d’environ 6,8 %. La case convertit ce que vous saisissez et refuse le zéro absolu lui-même, car à −273,15 °C l’équation prévoit un volume nul : elle vous prévient qu’elle a cessé de décrire quelque chose de réel

R

La constante des gaz, 8,314462618 J/(mol·K), qui vaut aussi 8,314 L·kPa/(mol·K) — le même nombre, puisqu’un litre-kilopascal est un joule. Sous d’autres unités de pression, elle cesse de valoir 8,314 : le premier tableau ci-dessous en donne six valeurs, dont le 0,08206 que les anciens manuels impriment pour les litres et les atmosphères. R est mesurée et non définie : c’est la constante de Boltzmann multipliée par la constante d’Avogadro, autrement dit la pression d’un gaz est un effet par particule compté en masse

pV / nT

Les quatre grandeurs ne varient pas indépendamment, et la façon utile de lire l’équation est d’y voir une affirmation sur le couple de rapports : pV divisé par nT donne le même nombre pour n’importe quel gaz dans n’importe quelles conditions, tant que le gaz est parfait. Fixez ce rapport et tout le reste en découle. Doublez les moles à température et pression fixées et le volume double ; doublez les kelvins à volume fixé et la pression double ; et chauffer un récipient fermé de 20 °C à 40 °C fait monter la pression de 6,8 %, pas de 100 %, parce que l’échelle part du zéro absolu et non du point de fusion de l’eau

Utilisez cette page pour tout problème de gaz où trois des quatre grandeurs sont connues ou recherchées et où le gaz est assez éloigné de la condensation pour que l’équation des gaz parfaits tienne, ce qui couvre l’air, l’azote, l’oxygène, le dioxyde de carbone et les produits de combustion aux températures ordinaires du laboratoire et de l’atelier, et sous des pressions allant d’un vide grossier à quelques atmosphères. C’est la même équation que la loi combinée des gaz, à une différence près : la loi combinée fixe la quantité de gaz et compare deux états, tandis que cette page traite la quantité comme une grandeur que l’on peut résoudre, ce qui lui permet aussi de répondre à des questions comme le nombre de moles restant dans une bouteille. Le premier tableau n’est là que pour une raison : la constante des gaz est le seul nombre de l’équation que les gens se trompent à écrire, et s’ils se trompent, c’est qu’elle vaut 8,314 dans certaines unités et 0,08206 dans d’autres. À 0 °C et une atmosphère, le volume molaire d’un gaz vaut 22,414 litres, un nombre qui tombe directement de l’équation avec n fixé à un, et c’est pourquoi il figure dans le second tableau et dans les exemples ci-dessous.

1. Les valeurs par défaut : une mole à 0 °C dans 22,414 litres

   1. Volume 22,414 L, température 0 °C, quantité 1 mol — pression laissée vide
   2. Conversion de la température en kelvins : 0 °C + 273,15 = 273,15 K
   3. Réarrangement pour la grandeur laissée vide : p = nRT / V
   4. p = (1 × 8,314 × 273,15) / 22,414 = 101,325 kPa
   5. Le panneau affiche 101,325 kPa, soit une atmosphère normale

   C’est l’état autour duquel toute l’équation est calibrée, et il vaut la peine de voir pourquoi il tombe exactement sur une atmosphère. La constante des gaz n’a pas été choisie pour que cela fonctionne — elle a été mesurée — mais la mole a été définie pendant la majeure partie du vingtième siècle comme la quantité de matière contenue dans 12 grammes de carbone 12, et l’atmosphère comme une pression fixe de 101 325 pascals. La loi des gaz parfaits se tient entre ces deux définitions, et les 22,414 litres par mole à 0 °C en sont la conséquence observable : le volume molaire d’un gaz, identique pour tout gaz suffisamment proche de l’état parfait. C’est aussi pourquoi le second tableau ci-dessous le donne, et pourquoi 22,4 est le nombre dont presque tout le monde se souvient à moitié de l’école.

2. Deux moles à 25 °C et une atmosphère : quel volume occupent-elles

   1. Pression 101,325 kPa, température 25 °C, quantité 2 mol — volume laissé vide
   2. Conversion de la température en kelvins : 25 + 273,15 = 298,15 K
   3. Réarrangement pour le volume : V = nRT / p
   4. V = (2 × 8,314 × 298,15) / 101,325 = 48,9308 L
   5. Le panneau affiche 48,9308 L ; la ligne du volume porte quatre décimales parce que le litre est une grande unité à côté de la mole

   Deux choses se produisent en même temps ici, et il vaut la peine de les séparer. Passer d’une mole à deux double le volume, car la quantité et le volume sont directement proportionnels à température et pression fixées : c’est la loi d’Avogadro, la même équation avec les deux autres variables immobilisées. Passer de 0 °C à 25 °C fait quelque chose de plus petit : de 273,15 K à 298,15 K, le facteur vaut 1,092, donc le volume croît de 9,2 % et non de 25 %. C’est le travail de l’échelle kelvin, et c’est exactement l’arithmétique qui se casse quand quelqu’un saisit 25 dans la case de température et le traite comme 25 degrés d’énergie thermique. Le résultat vaut 48,93 litres, soit aussi 2 × 24,4654 — le volume molaire à 25 °C du second tableau.

3. Une mole à 101,325 kPa dans 22,414 litres : quelle température

   1. Pression 101,325 kPa, volume 22,414 L, quantité 1 mol — température laissée vide
   2. Réarrangement pour la température : T = pV / nR
   3. T = (101,325 × 22,414) / (1 × 8,314) = 273,15 K
   4. Conversion vers l’unité de la case : 273,15 K − 273,15 = 0,00 °C
   5. Le panneau affiche 0,00 °C ; c’est le premier exemple parcouru dans l’autre sens

   Les trois mêmes nombres que dans le premier exemple, avec une grandeur manquante différente, et la réponse revient à 0 °C avec deux décimales. Faire l’aller-retour est le contrôle le moins coûteux que vous ayez compris la page : deux réarrangements quelconques concordent, et les conversions vers le kelvin et retour doivent s’annuler exactement pour que ce soit le cas. Le résidu n’est pas nul dans le calcul — il vaut 0,0004 °C — et il s’affiche comme 0,00 parce que la ligne de température est arrondie à deux décimales. C’est un artefact d’arrondi de l’affichage et non une erreur de calcul, et c’est la raison pour laquelle la page n’affiche pas −0,00.

4. Les quatre cases remplies et cohérentes

   1. Les quatre cases remplies avec un état cohérent
   2. La page n’a plus rien à résoudre : elle inverse donc l’équation quatre fois — une fois par grandeur — et compare chaque résultat au nombre que vous avez saisi
   3. Les quatre concordent à l’arrondi de l’affichage près, et le panneau annonce l’état plutôt qu’une erreur
   4. Modifiez une seule des quatre et le même contrôle échoue : 102 kPa à la place de 101,325 donne un écart de 0,67 % et la page le dit

   Remplir les quatre cases est autorisé, et c’est le moyen le plus rapide de contrôler une série de mesures, car la page ne les moyenne pas et ne désigne pas de gagnant : elle signale le désaccord. Cela compte plus qu’il n’y paraît. Si vous mesurez pression, volume et température dans un récipient puis calculez les moles à partir d’une constante supposée, le résultat intéressant n’est pas le nombre, mais la question de savoir si les quatre sont cohérents : une page qui privilégierait silencieusement trois d’entre eux masquerait exactement l’hypothèse fausse que vous cherchiez à débusquer. Ne remplir que deux cases n’est pas permis du tout, et c’est le comportement qui surprend : pV = nRT est une seule équation, donc deux grandeurs laissent deux inconnues et il n’y a pas de réponse unique à donner.

La loi des gaz parfaits est une approximation, et tout gaz réel s’en écarte. Les molécules d’un gaz réel occupent un volume, ce qui compte lorsqu’elles sont serrées, et elles s’attirent, ce qui compte lorsqu’elles se déplacent lentement : l’équation est donc au plus mal à pression élevée et à basse température, exactement là où les gaz sont stockés et liquéfiés. L’équation de van der Waals ajoute un terme pour chacun de ces deux effets et constitue l’étape suivante habituelle. L’air est un mélange et non un gaz pur, même s’il se comporte assez bien comme tel en dessous de quelques atmosphères. La vapeur d’eau est le composant délicat : elle se condense, si bien que l’air humide cesse d’obéir à l’équation dès que l’eau commence à en sortir, et une pression suffisante pour liquéfier une partie d’un mélange modifie la quantité de gaz restant en phase gazeuse. Tout ce qui figure sur cette page est enfin un état d’équilibre unique, sans aucune indication sur la vitesse à laquelle le gaz y parvient. Une dernière réserve porte sur le volume molaire : les 22,414 litres à 0 °C correspondent à une atmosphère, valeur retenue par la définition historique, alors que l’état standard recommandé aujourd’hui par l’IUPAC et le BIPM se définit à 100 kPa et donne 22,711 litres.

Quelle est la formule des gaz parfaits ?

pV = nRT : la pression multipliée par le volume égale la quantité de gaz en moles multipliée par la constante des gaz et par la température absolue. Toutes les autres formes de l’équation des gaz parfaits sont cette seule affirmation réarrangée, et la page la réécrit trois fois de plus parce que le réarrangement utile dépend de la case que vous avez laissée vide — p = nRT / V pour la pression, V = nRT / p pour le volume, T = pV / nR pour la température et n = pV / RT pour la quantité. La lire comme une phrase plutôt que comme une formule aide : la pression qu’un gaz exerce augmente avec la quantité de gaz et avec la température, et diminue à mesure que le volume dans lequel on l’enferme grandit. Ce sont les deux rapports de l’équation qui restent réellement constants, et c’est pourquoi pV / nT a la même valeur pour n’importe quel gaz dans n’importe quelles conditions.

Qu’est-ce que la constante des gaz parfaits et quelle valeur employer ?

La constante des gaz parfaits vaut 8,314462618 J/(mol·K), et si ce n’est pas un nombre rond, c’est qu’il s’agit d’une constante mesurée de la nature : la constante de Boltzmann multipliée par la constante d’Avogadro. Si votre pression est en kilopascals et votre volume en litres, ce même 8,314 fonctionne tel quel, car un litre-kilopascal vaut exactement un joule. Passez la pression en atmosphères et elle devient 0,08206 ; passez le volume en mètres cubes et la pression en pascals et elle vaut toujours 8,314, puisque cette combinaison redonne des joules. Le premier tableau de la page en liste six appariements, et il vaut la peine d’y jeter un œil avant de recopier une valeur d’un manuel : recopier 8,314 à côté d’une pression en atmosphères est la façon la plus courante d’obtenir une réponse qui a l’air raisonnable et qui est fausse d’un facteur cent.

Qu’est-ce que le volume molaire d’un gaz ?

C’est le volume qu’occupe une mole de n’importe quel gaz parfait dans des conditions données, et le second tableau le donne pour quatre d’entre elles. À 0 °C et une atmosphère, il vaut 22,414 litres ; à 0 °C et 100 kPa, 22,711 litres ; à 25 °C, 24,465 ou 24,790 litres selon la pression retenue. L’écart de 1,3 % entre les deux lignes à 0 °C n’est ni une erreur ni un arrondi : l’état standard a deux définitions en circulation, l’une fondée sur une atmosphère et l’autre, plus récente, sur 100 kPa, et les deux volumes molaires en découlent. C’est pourquoi 22,4 et 22,7 figurent tous deux dans les manuels, et pourquoi il vaut la peine de savoir lequel un énoncé utilise. La valeur tombe de l’équation avec la quantité fixée à une mole : rien ici n’est à mémoriser, saisissez les conditions et lisez la ligne du volume.

Pourquoi la température doit-elle être en kelvin ?

Parce que l’équation porte sur l’énergie cinétique des particules, et que l’échelle kelvin est celle dont le zéro marque l’arrêt de ce mouvement. Utiliser des degrés Celsius ferait donner au calcul une réponse positive pour un gaz à −100 °C, ce qui n’a aucun sens, et ferait aussi que doubler la température ne doublerait pas la pression. Faites le calcul avec de vrais nombres : chauffer un récipient fermé de 20 °C à 40 °C le fait passer de 293 K à 313 K, soit une hausse de 6,8 %, et non de 100 %. La page accepte les degrés Celsius, les degrés Fahrenheit ou les kelvins dans la case de température et convertit avant toute autre chose, si bien que la case est une commodité et non un piège — mais c’est le chiffre en kelvins qu’il faut avoir en tête pour contrôler un résultat.

Comment utiliser cette calculatrice de gaz parfait ?

Remplissez exactement trois des quatre cases et laissez la quatrième vide : la case vide est la réponse. Deux cases ne suffisent pas et quatre correspondent à une autre opération : avec deux grandeurs connues il n’y a pas de solution unique, et avec les quatre la page les contrôle l’une par l’autre au lieu de résoudre. Si l’énoncé dont vous partez vous donne une masse de gaz plutôt qu’une quantité, divisez par la masse molaire avant de la saisir, et s’il vous donne une pression relative plutôt qu’absolue, ajoutez d’abord la pression atmosphérique : un manomètre qui affiche 200 kPa sur un pneu correspond à environ 300 kPa de la grandeur que la calculatrice attend. Laissez la case vide plutôt que d’y taper un zéro, car un zéro est une valeur à part entière et la page le traitera comme telle.

Quand la loi des gaz parfaits cesse-t-elle de fonctionner ?

À pression élevée et à basse température, c’est-à-dire malheureusement là où les gaz sont le plus souvent stockés et toujours là où on les liquéfie. Deux hypothèses se brisent : les molécules réelles occupent un volume, donc l’espace disponible pour se déplacer est plus petit que le récipient, et elles s’attirent, donc la pression qu’elles exercent est plus faible que ne le prévoit l’équation. L’effet reste faible pour l’air à température ambiante jusqu’à quelques atmosphères et devient important à l’approche des conditions où le gaz se condenserait. La vapeur d’eau est un cas particulier, puisqu’elle se condense aux températures ordinaires : une fois l’air saturé, tout refroidissement supplémentaire retire de l’eau au lieu d’abaisser la température du gaz, et l’équation ne décrit plus ce que contient le récipient. Dans ces cas, l’équation de van der Waals ou un facteur de compressibilité constitue l’étape suivante habituelle.

• The Ideal Gas Law (College Physics 2e, §13.3) — the equation in both the pV = NkT and pV = nRT forms, the value of the gas constant in several unit systems, and the molar volume at standard temperature and pressure — OpenStax
• Ideal gas law — the derivation from the kinetic theory of gases, the statement of Avogadro's law as the constant-temperature and constant-pressure case, and the list of ways real gases deviate from it — Wikipedia
• Brochure sur le SI — Le Système international d’unités, 9e édition : les définitions du kelvin, de la mole, du pascal et du litre, et la valeur exacte de la constante de Boltzmann sur laquelle repose la constante des gaz — Bureau international des poids et mesures (BIPM)