Calculatrice du nombre de Reynolds

Re = ρ · v · D / μ = v · D / ν, avec ρ en kg/m³, v en m/s, D en m, μ en Pa·s et ν en m²/s

ρ

La masse volumique du fluide, en kg/m³ — la masse par unité de volume que l’écoulement doit entraîner avec lui. Elle entre en facteur, donc doubler la masse volumique double le nombre de Reynolds : un fluide plus dense porte plus de quantité de mouvement à vitesse égale, et plus de quantité de mouvement signifie plus d’inertie contre laquelle la viscosité doit lutter. L’eau à 20 °C vaut 998,2 et l’air sec 1,205, soit un facteur 800, et c’est l’essentiel de la raison pour laquelle le même conduit à la même vitesse donne à l’air un nombre de Reynolds environ quinze fois plus faible qu’à l’eau plutôt que huit cents fois plus faible — le reste de la raison est que la viscosité de l’air est elle aussi bien plus petite. La masse volumique est en outre la grandeur que les conditions de procédé déplacent le plus : celle de l’eau change d’environ 4 % entre 0 °C et 100 °C, ce que montre la table de l’eau ci-dessous, tandis que celle d’un gaz dépend aussi de la pression, si bien qu’une conduite sous pression pose un autre problème de nombre de Reynolds que la même conduite à l’atmosphère.

v

La vitesse moyenne de l’écoulement le long du tuyau, en m/s — le débit volumique divisé par la section, et non la vitesse d’une parcelle de fluide en particulier. Deux avertissements l’accompagnent. C’est une moyenne sur tout ce que contient le tuyau, et elle n’est nulle part la même partout : en écoulement laminaire en conduite, le fluide de l’axe avance deux fois plus vite que ce nombre, et en écoulement turbulent le profil est bien plus plat, si bien que la vitesse d’un vrai tuyau n’est jamais qu’une moyenne. Et c’est la grandeur qui change quand le tuyau change : le même débit comprimé dans un diamètre deux fois plus petit donne une vitesse quatre fois plus grande et donc un nombre de Reynolds deux fois plus grand, ce qui est le moyen le plus rapide de transformer une conduite laminaire tranquille en conduite bruyante.

D

Le diamètre intérieur du tuyau, en millimètres dans l’unité que vous choisissez. C’est l’alésage que le fluide voit réellement, et non le diamètre nominal de la commande : un tuyau en acier DN 50 et un tuyau en plastique DN 50 appartiennent à la même classe de taille et ne sont pas le même trou, parce que le chiffre nominal décrit une dimension plutôt qu’un passage mesuré, et que l’alésage dépend de l’épaisseur de paroi. C’est la longueur de référence de la formule — un tuyau est rond, son diamètre s’impose donc — et pour un conduit qui n’est pas rond, ce rôle est tenu par le diamètre hydraulique, quatre fois la section divisée par le périmètre mouillé. Utiliser ici une mesure extérieure surestime le nombre de Reynolds du rapport des deux diamètres, ce qui sur une conduite à paroi épaisse atteint facilement dix pour cent.

μ

La viscosité dynamique (absolue), en mPa·s — la résistance interne du fluide au cisaillement, et la grandeur qui fait le travail de tenir un écoulement en ligne. C’est elle qui fait que le miel est du miel et que l’eau est de l’eau : l’eau à 20 °C vaut 1,002 mPa·s, l’air 0,018, et une huile de boîte de vitesses se compte en centaines. Comme elle est au dénominateur, un fluide plus visqueux a un nombre de Reynolds plus faible à la même vitesse dans le même tuyau, ce qui revient à dire qu’il est plus difficile à remuer. L’unité mérite d’être fixée une fois pour toutes : 1 mPa·s = 0,001 Pa·s = 1 cP, si bien que le centipoise des anciens tableaux de génie chimique et le millipascal-seconde du Système international sont le même nombre sous deux noms.

ν

La viscosité cinématique, en cSt, affichée en second résultat parce que le nombre de Reynolds n’utilise jamais la viscosité autrement que dans cette combinaison : ν = μ / ρ, la viscosité dynamique divisée par la masse volumique. C’est la grandeur qui répond à la question de savoir avec quelle facilité un fluide s’écoule sous son propre poids, et son unité est définie plutôt que mesurée — 1 cSt = 1 mm²/s exactement — si bien que les mm²/s que donnent les manuels européens pour l’eau à 20 °C (environ 1,0) et les cSt affichés ici sont un même nombre écrit de deux façons. Les tables ci-dessous montrent pourquoi il vaut la peine de l’avoir sous les yeux. Le ν de l’eau est divisé par six entre 0 °C et 100 °C, ce qui est en grande partie sa viscosité qui baisse, alors que celui de l’air augmente avec la température parce que sa masse volumique chute plus vite que sa viscosité ne monte — un liquide chaud et un gaz chaud vont donc en sens opposés le long de cet axe, et le nombre de Reynolds suit.

2 300 / 4 000

Les deux lignes qui transforment un nombre en nom, et la seule partie de cette page qui soit une convention plutôt qu’une mesure. En dessous de 2 300, un écoulement en conduite est dit laminaire, au-dessus de 4 000 turbulent, et entre les deux transitoire — la plage où l’écoulement peut rester stable, osciller, ou basculer parce qu’un raccord en amont l’a perturbé. Les bandes sont semi-ouvertes, donc 2 300 est déjà dans le transitoire et 4 000 déjà dans le turbulent, et le badge affiché se lit sur la valeur arrondie du panneau de résultats plutôt que sur le nombre exact qui la précède : une réponse affichée 2 300 est étiquetée transitoire même si la valeur non arrondie valait 2 299,6. Ce choix est délibéré — un panneau affichant 2 300 sous un badge laminaire serait une erreur que le lecteur verrait sans pouvoir l’expliquer.

Utilisez-la avant de faire confiance à un débitmètre, parce que la plupart des débitmètres sont étalonnés en écoulement turbulent et lisent trop bas en écoulement laminaire, et que le nombre de Reynolds est le moyen le moins coûteux de savoir dans lequel des deux vous êtes. Utilisez-la pour dimensionner un tuyau ou une pompe, parce que le régime décide quelle corrélation de perte de charge s’applique — le laminaire est un propre 64/Re et le turbulent a besoin en plus de la rugosité de la conduite. Utilisez-la quand le transfert thermique compte, car un écoulement turbulent mélange et évacue la chaleur plusieurs fois plus vite qu’un écoulement laminaire à la même vitesse, ce qui explique qu’un échangeur soit conçu pour être turbulent et qu’une conduite chaude qui coule à peine se comporte comme une conduite isolée. Et utilisez-la quand quelque chose doit rester mélangé, en suspension ou au contraire se déposer : savoir si le sable d’une suspension reste dans le tuyau est une question de nombre de Reynolds, comme l’est la vitesse à laquelle il faut tester une maquette en soufflerie pour pouvoir dire quoi que ce soit de vrai d’un avion grandeur nature. C’est une question sur le caractère d’un écoulement — elle ne dit rien par elle-même de la pression que cet écoulement coûte.

1. Premier écran : de l’eau à 20 °C dans un tuyau DN 50, à 2 m/s

   1. Re = ρ · v · D / μ = 998,2 · 2 · 0,050 / 0,001002
   2. 998,2 · 2 = 1 996,4 kg/(m²·s)
   3. 1 996,4 · 0,050 = 99,82 kg/s par mètre
   4. 99,82 / 0,001002 = 99 621
   5. ν = μ / ρ = 0,001002 / 998,2 = 1,004 × 10⁻⁶ m²/s = 1,004 cSt

   Quatre-vingt-dix-neuf mille, confortablement turbulent, ce qu’on attend d’une conduite d’eau à deux mètres par seconde : les tuyaux qui transportent de l’eau pour vivre sont presque toujours turbulents, et les cas intéressants sont ceux du bout tranquille du tableau. Les deux nombres imprimés ici se trouvent dans la table de l’eau ci-dessous — 998,2 et 1,002 sont sa ligne des 20 °C, et le 1,004 cSt de la deuxième ligne des résultats est la dernière colonne de cette même ligne recalculée — vous pouvez donc vérifier la page contre un manuel sans quitter la page. Notez que le panneau n’imprime aucune unité à côté du nombre de Reynolds : c’est un rapport de deux forces et il n’en a pas.

2. Le même tuyau, ralenti : 0,02 m/s

   1. Re = 998,2 · 0,02 · 0,050 / 0,001002
   2. 998,2 · 0,02 = 19,964 kg/(m²·s)
   3. 19,964 · 0,050 = 0,9982 kg/s par mètre
   4. 0,9982 / 0,001002 = 996
   5. Même fluide, même tuyau : ν est inchangé à 1,004 cSt

   Exactement un centième de la vitesse précédente et exactement un centième du nombre de Reynolds : 996 au lieu de 99 621, et le badge passe de turbulent à laminaire. Cette proportionnalité est tout l’intérêt de la chose — Re varie avec la vitesse et rien d’autre ne change ici — et elle dit aussi combien peu il en faut. Vingt millimètres par seconde sont un mince filet, le genre d’écoulement que donne une vanne à moitié fermée ou un drain gravitaire, et c’est déjà un autre fluide sur le plan mécanique. C’est le couple à retenir quand un débitmètre qui lit juste à plein débit se met à mentir à faible débit.

3. Un gaz plutôt qu’un liquide : de l’air dans un conduit de 300 mm à 10 m/s

   1. Re = 1,205 · 10 · 0,300 / 0,00001813
   2. 1,205 · 10 = 12,05 kg/(m²·s)
   3. 12,05 · 0,300 = 3,615 kg/s par mètre
   4. 3,615 / 0,00001813 = 199 393
   5. ν = μ / ρ = 0,00001813 / 1,205 = 15,046 × 10⁻⁶ m²/s = 15,046 cSt

   De l’air dans un conduit de ventilation à dix mètres par seconde, et toujours turbulent — mais regardez comment il y arrive. L’air est huit cents fois plus léger que l’eau, ce qui à lui seul rendrait son nombre de Reynolds huit cents fois plus petit ; sa viscosité est en plus cinquante-cinq fois plus petite, ce qui pousse dans l’autre sens. Le résultat net est un ν de 15,046 cSt contre 1,004 pour l’eau, si bien qu’à diamètre et vitesse égaux un gaz donne à peu près un quinzième du nombre de Reynolds d’un liquide. Toutes les valeurs employées ici sont la ligne des 20 °C de la table de l’air ci-dessous, qui est là pour que ce calcul puisse être refait à la main depuis la page.

4. Sur la ligne elle-même : Re = 2 300 exactement

   1. Re = 1 000 · 2,3 · 0,001 / 0,001
   2. 1 000 · 2,3 = 2 300 kg/(m²·s)
   3. 2 300 · 0,001 = 2,3 kg/s par mètre
   4. 2,3 / 0,001 = 2 300
   5. ν = 0,001 / 1 000 = 1 × 10⁻⁶ m²/s = 1 cSt

   Mille kilogrammes par mètre cube, un millipascal-seconde, un millimètre : les nombres sont choisis pour que l’arithmétique se réduise à Re = 1 000 × v, et à 2,3 m/s la réponse tombe exactement sur la ligne basse. Le badge indique transitoire, parce que les bandes sont semi-ouvertes et que 2 300 appartient déjà à la plage au-dessus. Poussez le même montage à 4,0 m/s et vous obtenez exactement 4 000 et le badge turbulent : les deux lignes s’explorent donc depuis un seul champ. Dans un vrai tuyau, il serait imprudent de faire confiance à l’une ou l’autre étiquette juste sur la ligne : c’est la plage où une vanne en amont, un cordon de soudure ou une vibration décident de la réponse.

Les lignes de 2 300 et 4 000 sont une convention et non une loi de la nature, et les sources ne s’accordent pas entièrement à leur sujet : le manuel cité en référence donne environ 2 000 pour la ligne basse et environ 3 000 pour la haute, et appelle la plage intermédiaire instable plutôt que transitoire. Ce que fait réellement la transition dépend de choses que cette page ne demande pas — la façon dont l’écoulement est entré dans le tuyau (un col d’entrée arrondi et une entrée à arête vive ne se comportent pas pareil), la rugosité de la paroi rapportée au diamètre, les vibrations, et la distance depuis le dernier raccord. Un tuyau de laboratoire à entrée lisse peut tenir un écoulement laminaire bien au-delà de 2 300, et le même tuyau après une vanne à moitié fermée peut être turbulent en dessous. Ces lignes sont en outre propres au tuyau circulaire : le nombre de Reynolds critique est une propriété de la géométrie autant que du fluide, et une couche limite le long d’une plaque plane reste laminaire jusqu’à des valeurs deux ordres de grandeur plus élevées, tandis que l’écoulement autour d’un cylindre ou d’une sphère a son comportement propre. Pour un conduit qui n’est pas rond, le diamètre doit être remplacé par le diamètre hydraulique, quatre fois la section divisée par le périmètre mouillé, ce qui vaut le côté pour un conduit carré et deux fois l’entrefer pour une fente large et mince. Le diamètre doit être l’alésage intérieur réel à la température de service, et non la dimension nominale : DN est une classe de taille, et l’alésage d’un DN 50 dépend de savoir s’il est en acier, en cuivre ou en plastique et de son épaisseur de paroi. Le fluide doit être newtonien — le sang, la peinture, les suspensions et les polymères fondus ont une viscosité qui dépend de la vitesse à laquelle ils sont cisaillés, si bien qu’un nombre de Reynolds unique ne les décrit pas et que les bandes ci-dessus n’ont aucun sens pour eux. Rien ici ne dit si l’écoulement est stationnaire, s’il se décolle de la paroi, ni ce qu’il coûte en pression : le nombre de Reynolds est l’entrée de ces corrélations et non leur réponse, et pour un gaz assez rapide pour se comprimer il faut lui adjoindre le nombre de Mach, comme il faut le nombre de Froude pour une surface libre en canal ouvert. Enfin, les valeurs de propriétés ci-dessous valent pour l’eau pure et l’air sec à une atmosphère entre 0 °C et 100 °C ; la viscosité cinématique de l’eau varie d’un facteur six sur cette plage, si bien qu’un nombre calculé avec des propriétés de température ambiante n’est pas le nombre d’une conduite chaude.

Quelle est la formule du nombre de Reynolds ?

Re = ρ · v · D / μ — la masse volumique fois la vitesse fois le diamètre, divisé par la viscosité dynamique — que l’on écrit aussi Re = v · D / ν, la viscosité cinématique ν = μ / ρ faisant à elle seule le travail de deux grandeurs. Toutes les longueurs et toutes les unités s’annulent, ce qui est la raison pour laquelle Re est sans dimension : 99 621 reste 99 621 que le tuyau se mesure en millimètres ou en miles. La formule est un rapport déguisé. La ligne du haut est l’inertie — de la matière en mouvement, la tendance d’un écoulement rapide, dense et large à continuer et à se mettre à tourbillonner — et celle du bas la viscosité, la tendance du fluide à être ramené en ligne par ses voisins. Savoir laquelle gagne vous dit dans quel régime vous êtes.

Quelles sont les plages laminaire, transitoire et turbulente ?

Pour un écoulement en conduite, la convention des ingénieurs est laminaire en dessous de 2 300, turbulent au-dessus de 4 000, et transitoire entre les deux — une bande où l’écoulement peut rester stable, osciller entre les deux, ou être poussé d’un côté par un raccord en amont. Sachez que les manuels diffèrent : la référence citée ci-dessous utilise environ 2 000 et environ 3 000 pour un tube et appelle la bande intermédiaire instable, et ces nombres se défendent aussi bien que les nôtres. Les deux jeux décrivent la même physique et aucun n’est exact, parce que la transition dépend des conditions d’entrée et de la rugosité de la paroi autant que du nombre. Cette page utilise 2 300 / 4 000, applique les bandes en semi-ouvert (2 300 est déjà transitoire) et lit le badge sur la valeur arrondie qu’affiche le panneau.

Que signifie réellement le nombre de Reynolds ?

C’est le rapport des forces d’inertie aux forces de viscosité dans un écoulement, et c’est la raison pour laquelle deux écoulements de fluides différents dans des tuyaux différents peuvent se comporter de façon identique. Aux faibles valeurs la viscosité l’emporte et le fluide glisse en couches ordonnées — perturbez-le et la perturbation est amortie. Aux valeurs élevées l’inertie l’emporte, l’écoulement se brise en tourbillons, se mélange lui-même, et la perturbation grandit au lieu de mourir. Ce nombre n’est ni une vitesse ni un débit : c’est une propriété de l’arrangement complet du fluide, de la vitesse et de la géométrie, et doubler le diamètre du tuyau a sur lui le même effet que doubler la vitesse.

La longueur de la formule est-elle le diamètre du tuyau ou son rayon ?

C’est le diamètre ici — plus précisément le diamètre intérieur, le trou que le fluide traverse. La forme en rayon existe aussi et porte un facteur deux : un manuel peut écrire la forme pour un tube 2ρvr/η, qui est le même nombre que ρvD/η puisque D = 2r. Choisissez l’une et tenez-vous-y, car mélanger les deux donne une réponse fausse d’un facteur deux qui a l’air parfaitement raisonnable. Deux pièges liés : un tuyau DN 50 est une classe de taille et non un alésage, si bien que le diamètre intérieur réel dépend de la matière et de l’épaisseur de paroi, et un conduit non circulaire demande son diamètre hydraulique — quatre fois la section divisée par le périmètre mouillé — à la place de ce champ.

Quelle viscosité faut-il utiliser, dynamique ou cinématique ?

L’une ou l’autre, à condition de l’associer à la bonne formule : la viscosité dynamique μ avec la masse volumique, ou la viscosité cinématique ν seule, puisque ν = μ / ρ. Cette page prend la dynamique en mPa·s et affiche la cinématique en cSt pour vous, parce que c’est en général le nombre dont le calcul suivant a besoin. Les unités méritent d’être fixées : 1 mPa·s = 1 cP, et 1 cSt = 1 mm²/s par définition, si bien que les mm²/s des tableaux européens et les cSt de la littérature américaine plus ancienne sont la même unité. L’eau à 20 °C vaut 1,002 mPa·s et 1,004 cSt, l’air 0,01813 mPa·s et 15,046 cSt, et les deux tables ci-dessous donnent les deux colonnes pour six températures.

Pourquoi la réponse change-t-elle quand l’eau chauffe ?

Parce que la viscosité cinématique d’un liquide baisse quand on le chauffe — l’eau passe de 1,787 cSt à 0 °C à 0,294 cSt à 100 °C, un facteur six — si bien qu’à tuyau et vitesse identiques le nombre de Reynolds est multiplié par six et qu’un écoulement laminaire à froid peut devenir turbulent à chaud. C’est l’inverse pour les gaz : la viscosité cinématique de l’air monte de 13,3 à 23,0 cSt sur la même plage, parce que sa masse volumique chute plus vite que sa viscosité ne monte, si bien que chauffer un gaz abaisse son nombre de Reynolds. Les deux tables de propriétés ci-dessous existent exactement pour cette raison : un nombre de Reynolds ne vaut pas mieux que le couple de propriétés qui le porte, et les deux varient avec la température bien plus que la plupart des gens ne l’imaginent.

Un nombre de Reynolds élevé signifie-t-il que l’écoulement est bruyant ou rugueux ?

Pas nécessairement. Le nombre de Reynolds prédit le régime, pas le bruit : un écoulement turbulent dans un tuyau bien isolé peut être silencieux, et un écoulement laminaire rencontrant un obstacle anguleux peut siffler. Ce que le nombre vous dit, en revanche, c’est que le mélange, le transfert thermique et la perte de charge ont changé de nature, et qu’une corrélation établie pour l’autre régime ne s’appliquera pas. Il ne dit pas non plus si l’écoulement reste attaché à la paroi, s’il est stationnaire dans le temps, ni — pour un gaz rapide — si la compressibilité compte. Ce sont des questions séparées avec des nombres séparés, et c’est pourquoi le nombre de Reynolds est mieux pensé comme la première chose à calculer sur un écoulement que comme la dernière.

• 12.5 The Onset of Turbulence — the Reynolds number for flow in a tube, the definitions of its terms, and the threshold values this page treats as a convention (about 2000 and about 3000, with the band between them described as unstable) — OpenStax (Rice University)
• Reynolds Number — the definition as the ratio of inertial to viscous forces, the derivation down to Re = ρVL/μ, the dimensionless reading (about 10 million for essentially inviscid flow, a few hundred where viscosity cannot be ignored) and the kinematic form Re = VL/ν — NASA Glenn Research Center
• Water — Dynamic and Kinematic Viscosity at Various Temperatures and Pressures — the viscosity column of the water table below — The Engineering ToolBox
• Water — Density, Specific Weight and Thermal Expansion Coefficients — the density column of the water table below — The Engineering ToolBox
• Air — Dynamic and Kinematic Viscosity at Various Temperatures and Pressures — the viscosity column of the air table below — The Engineering ToolBox
• Air — Density, Specific Weight and Thermal Expansion Coefficients at Varying Temperatures and Pressures — the density column of the air table below — The Engineering ToolBox