Calculatrice de risque relatif

RR = (a / n₁) ÷ (c / n₂) OR = (a · d) / (b · c)

a

Les cas du groupe exposé — les personnes qui ont à la fois l’exposition et l’événement. C’est le numérateur du premier risque du rapport, et c’est aussi la contribution du groupe exposé au rapport de cotes, raison pour laquelle un seul jeu d’effectifs alimente les deux réponses

n₁

L’effectif du groupe exposé, cas et non-cas compris. Le risque est le nombre de cas divisé par cet effectif, si bien que trente cas ne veulent pas dire la même chose sur cent que sur dix mille — le risque relatif compare des taux et non des effectifs, et ce sont les effectifs qui rendent les deux groupes comparables

c

Les cas du groupe non exposé, c’est-à-dire du groupe de comparaison. Avec a et c en main, les deux risques s’écrivent directement et le rapport est leur quotient. La page refuse de calculer quoi que ce soit si celui-ci vaut zéro, et ce refus est délibéré : un groupe de comparaison sans aucun cas a un risque nul, et diviser par lui est indéfini plutôt qu’infini

n₂

L’effectif du groupe non exposé. Les deux effectifs n’ont pas besoin d’être égaux, et ne le sont souvent pas — une étude de cohorte peut suivre bien plus de personnes non exposées que d’exposées, et la formule s’en accommode sans correction parce que chaque risque est calculé à l’intérieur de son propre groupe

b, d

Les non-cas de chaque groupe, que la page déduit au lieu de les demander. Ils n’apparaissent que dans le rapport de cotes, où b = n₁ − a et d = n₂ − c. C’est cette déduction qui rend les quatre entrées impossibles à contredire : quatre cellules libres pourraient décrire un tableau dans lequel les cas dépassent l’effectif du groupe

Servez-vous-en quand vous disposez d’effectifs issus de deux groupes suivis dans le temps et que vous voulez le rapport de leurs risques — la taille d’effet qu’une étude de cohorte est faite pour estimer. Les deux sorties répondent à des questions subtilement différentes, et le choix entre elles est généralement dicté par le plan d’étude plutôt que par une préférence. Le risque relatif est le plus lisible des deux : 2 veut dire que le groupe exposé avait deux fois plus de risque, et cette phrase ne demande aucune explication. Le rapport de cotes est celui qui sort d’une étude cas-témoins, où la proportion de cas est fixée par le chercheur et où les risques ne sont donc pas estimables du tout — seul le rapport de cotes est récupérable, et c’est aussi ce que rapporte une régression logistique. Quand l’événement est rare, les deux sont assez proches pour qu’on lise le rapport de cotes comme un risque relatif sans grand dommage, et c’est la justification habituelle de ce raccourci. Quand l’événement est fréquent, ils divergent, toujours dans le même sens : le rapport de cotes est plus éloigné de 1 que le risque relatif, si bien qu’une exposition protectrice paraît plus protectrice et une exposition délétère plus délétère. Cette page calcule les deux à partir du même tableau pour que l’écart se voie au lieu d’être passé sous silence. Lisez-la en gardant le plan d’étude en tête : une association n’est pas une causalité, et rien dans ces quatre nombres ne distingue une exposition qui a causé l’événement d’une exposition qui l’a seulement accompagné.

1. Le cas par défaut : 30 cas sur 100 exposés, 20 sur 100 non exposés

   1. Risque dans le groupe exposé : 30 / 100 = 0,30, soit 30 %
   2. Risque dans le groupe non exposé : 20 / 100 = 0,20, soit 20 %
   3. Risque relatif : 0,30 / 0,20 = 1,5 — le risque du groupe exposé est une fois et demie plus grand
   4. Non-cas déduits : b = 70 et d = 80, donc le rapport de cotes vaut (30 × 80) / (70 × 20) = 2 400 / 1 400 = 1,7143

   Les deux réponses diffèrent de 14 % sur un événement aussi fréquent, et les voir côte à côte est la raison pour laquelle la page calcule les deux. Le risque relatif dit 50 % de risque en plus ; le rapport de cotes dit 71 % de cotes en plus. Aucun des deux n’est faux — ce sont des grandeurs différentes — mais un rapport qui cite 1,71 comme une hausse de 71 % du risque a confondu les deux, et c’est l’une des erreurs les plus courantes de lecture des résultats médicaux et de sciences sociales. À noter aussi que des effectifs égaux ne sont pas exigés et n’ont été choisis ici que pour rendre les pourcentages ronds.

2. Une association plus forte élargit l’écart entre les deux mesures

   1. Risque dans le groupe exposé : 45 / 150 = 0,30
   2. Risque dans le groupe non exposé : 15 / 150 = 0,10
   3. Risque relatif : 0,30 / 0,10 = 3, un risque triplé
   4. Rapport de cotes : (45 × 135) / (105 × 15) = 6 075 / 1 575 = 3,8571

   Avec un risque relatif de 3, le rapport de cotes atteint 3,86, et l’écart absolu vaut maintenant presque une unité entière au lieu des 0,21 de l’exemple précédent. Le phénomène est systématique et non accidentel : le rapport de cotes se tient toujours plus loin de 1, et la distance croît à la fois avec la force de l’association et avec la fréquence de l’événement. C’est pourquoi la règle empirique de l’événement rare mérite d’être retenue — ce n’est pas une petite réserve technique mais la différence entre annoncer une hausse de 286 % des cotes et une hausse de 200 % du risque.

3. Une exposition associée à moins de risque

   1. Risque dans le groupe exposé : 10 / 100 = 0,10
   2. Risque dans le groupe non exposé : 25 / 100 = 0,25
   3. Risque relatif : 0,10 / 0,25 = 0,4 — une réduction de 60 % du risque
   4. Rapport de cotes : (10 × 75) / (90 × 25) = 750 / 2 250 = 0,3333, une réduction de 67 % des cotes

   La direction fonctionne de la même façon en dessous de 1 : le rapport de cotes est plus éloigné de 1 que le risque relatif, l’exposition paraît donc plus protectrice qu’elle ne l’est. Il vaut la peine d’énoncer la réduction avec soin, quelle que soit la formulation retenue. Un risque relatif de 0,4 signifie que le risque a baissé de 60 %, et non qu’il est tombé à 60 % — les deux lectures diffèrent d’un facteur qui grandit vite à mesure que le rapport s’éloigne de 1, et un rapport qui les confond peut faire passer un effet modeste pour spectaculaire, ou l’inverse.

4. Un événement rare, où les deux mesures coïncident presque

   1. Risque dans le groupe exposé : 2 000 / 100 000 = 0,02, soit 2 %
   2. Risque dans le groupe non exposé : 1 000 / 100 000 = 0,01, soit 1 %
   3. Risque relatif : 0,02 / 0,01 = 2
   4. Rapport de cotes : (2 000 × 99 000) / (98 000 × 1 000) = 198 000 000 / 98 000 000 = 2,0204 — à 1 % du risque relatif

   L’approximation de l’événement rare se voit ici comme de l’arithmétique plutôt que comme une règle à mémoriser. Avec un risque de 2 %, les non-cas dépassent tellement les cas que diviser par l’effectif des non-cas revient presque à diviser par l’effectif total du groupe, et le rapport de cotes se confond avec le risque relatif. Ces effectifs sont aussi la forme réaliste d’une étude de cohorte — cent mille personnes suivies pour observer deux mille événements — alors que les exemples précédents utilisaient de petits nombres ronds pour garder des pourcentages lisibles.

La page renvoie un rapport et ne dit rien de la question de savoir si l’exposition a causé l’événement. Un risque relatif de 3 dit que le groupe exposé avait trois fois plus de risque ; il ne dit pas que l’exposition a produit ce risque, et les quatre effectifs ne permettent pas de distinguer une cause d’un marqueur qui l’accompagne — le cas classique étant une variable associée à la fois à l’exposition et à l’événement. La page suppose aussi que les deux groupes ont été suivis pendant la même durée, ou que les effectifs ont déjà été ramenés à une période commune. L’incidence s’accumule, si bien qu’un groupe observé deux ans aura à peu près deux fois plus de cas qu’un groupe identique observé un an, et rien dans les entrées ne le révèle. Le refus des cellules nulles est une limite délibérée et non un oubli : ajouter une petite constante à chaque cellule ferait dépendre la réponse d’un demi-individu fabriqué, et la page préfère s’abstenir pour que l’utilisateur voie que les données sont trop maigres. Les données cas-témoins constituent la dernière frontière. Dans ce plan, c’est le chercheur qui fixe le nombre de cas à recueillir, la proportion de cas dans chaque groupe est donc un artefact de l’échantillonnage, et le risque relatif calculé sur ces effectifs n’aurait aucun sens — le rapport de cotes y survit parce qu’il est symétrique, et c’est exactement pour cela que c’est lui, et non le risque relatif, que rapportent les études cas-témoins.

Quelle différence entre le risque relatif et le rapport de cotes ?

Le risque relatif est un rapport de probabilités, le rapport de cotes un rapport de cotes, et les deux s’écartent à mesure que l’événement devient fréquent. Avec des risques de 30 % et 20 %, le risque relatif vaut 1,5 tandis que le rapport de cotes vaut 1,7143 ; avec des risques de 2 % et 1 %, ils valent 2 et 2,0204. Le rapport de cotes est toujours plus éloigné de 1, si bien qu’une exposition délétère paraît plus délétère et une exposition protectrice plus protectrice. Quand l’événement est rare, l’écart est négligeable, et c’est le fondement du raccourci bien connu qui consiste à lire un rapport de cotes comme un risque relatif. Ce raccourci est sans danger pour une maladie qui touche une personne sur mille et dangereux pour un événement qui touche une personne sur trois.

Pourquoi la page refuse-t-elle de calculer quand le groupe non exposé n’a aucun cas ?

Parce que le risque de ce groupe est nul et que le risque relatif reviendrait à diviser par lui. Certains logiciels traitent ce cas en ajoutant un petit nombre à chaque cellule — la correction de Haldane–Anscombe — mais la réponse dépend alors d’un demi-individu inventé, et le résultat se déplace sensiblement quand les effectifs sont petits, ce qui est précisément la situation où le problème se pose. La page renvoie une erreur à la place, pour que la difficulté reste visible : sans aucun cas parmi les non-exposés, les données ne permettent pas de borner l’effet par le haut, et n’importe quel nombre fini serait un artefact de la correction plutôt qu’un résultat. Recueillir davantage de données est la seule véritable réparation.

Puis-je m’en servir sur des données cas-témoins ?

Le rapport de cotes, oui ; le risque relatif, non. Dans une étude cas-témoins, c’est le chercheur qui décide combien de cas et combien de témoins recruter, la proportion de cas dans chaque groupe est donc fixée par le plan d’échantillonnage au lieu d’être observée. Cela rend les deux risques ininterprétables en tant qu’estimations — mais le rapport de cotes n’est pas affecté, parce qu’il est symétrique en cas et en témoins : échanger les lignes et les colonnes du tableau le laisse inchangé. C’est précisément pour cela que les études cas-témoins rapportent des rapports de cotes, et pourquoi un risque relatif calculé sur leurs effectifs ne doit pas être interprété même si l’arithmétique tourne.

Que signifie un risque relatif exactement égal à 1 ?

Que les deux groupes avaient le même risque dans cet échantillon, l’exposition ne montre donc aucune association avec l’événement. Cela ne signifie pas qu’il n’y a pas d’association dans la population — un échantillon peut très bien produire un rapport exactement égal à 1, ou n’importe quelle autre valeur, alors que le rapport vrai diffère. C’est à cela que sert un intervalle de confiance autour du rapport, et c’est pourquoi une étude qui ne rapporte que l’estimation ponctuelle est incomplète. La page s’arrête délibérément à l’estimation et à sa mesure compagne : un intervalle demande une erreur type du logarithme du rapport, ce qui est un calcul supplémentaire et non une autre lecture des mêmes quatre effectifs.

Un risque relatif de 3 signifie-t-il que l’exposition triple mon risque ?

Cela signifie que le risque du groupe exposé valait trois fois celui du groupe non exposé dans cette étude. Que cela se traduise ou non par une modification importante de votre propre risque dépend du risque de base, que le rapport ne porte pas. Si le risque des non-exposés est de 1 sur 100 000, le tripler le porte à 3 sur 100 000, ce qui reste faible ; s’il est de 1 sur 100, le tripler est un changement qui mérite d’être pris en compte. C’est la différence entre risque relatif et risque absolu, et c’est pourquoi une étude peut annoncer un rapport d’apparence frappante pour un événement qui demeure rare. Demandez toujours les deux risques sous-jacents à côté du rapport.

Pourquoi les quatre entrées sont-elles des cas et des effectifs plutôt que quatre cellules ?

Parce que quatre cellules libres peuvent décrire un tableau impossible. Si la page demandait les quatre effectifs séparément, rien n’empêcherait de saisir 30 cas sur 100 et 70 non-cas sur 100 dans le même groupe — un tableau dont les parties se contredisent, qui se calculerait sans protester et produirait un nombre dépourvu de sens. Demander les cas et l’effectif total par groupe fixe les deux autres cellules, si bien que les effectifs de non-cas utilisés par le rapport de cotes sont toujours cohérents avec les risques utilisés par le risque relatif. Le coût est une entrée en moins, et le bénéfice est qu’un tableau incohérent devient irreprésentable plutôt que simplement improbable.

• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (probability as a long-run proportion, which is what each group's risk is and what makes the ratio of two of them meaningful) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a count divided by a group total as an estimated probability, and the sampling variability that estimate carries) — National Institute of Standards and Technology (NIST)